CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. IC

cote 20 est plus élevé que la droite ms qui est à la cote i5, et par suite le terrain se trouve du côté de la courbe M* où nous avons mis des hachures; il est par conséquent convexe dans le sens vertical.

En général, un terrain est convexe dans le sens vertical quand les intervalles sr, rq, qp, .. ., mesurés sur une droite à peu près normale aux courbes horizontales, augmentent de longueur du côté où les courbes vont en s'élevant.

Un terrain est concave dans le sens horizontal quand une courbe de niveau a sa convexité tournée du côté de la projection de la courbe voisine qui est plus élevée qu'elle.

Une surface peut être à courbures opposées en un point, bien qu'elle soit convexe dans le sens vertical et dans le sens horizontal, ou concave dans les deux sens. Cela arrive quand la tangente à la ligne de niveau et sa perpendiculaire sont dans le même angle des asymptotes de l'indicatrice. La considération du plan tangent fait seule reconnaître le sens des courbures d'une manière certaine.

1058. Section plane cl une surface topo graphique. — Nous avons vu, à l'article précédent, comment on détermine la section d'une surface par un plan vertical; lorsque le plan sécant P est incliné {fig. 429), on trace celles de ses horizontales qui ont les mêmes cotes que les courbes données; ces droites sont respectivement dans les plans horizontaux des courbes, et leurs rencontres appartiennent à la ligne d'intersection.

Quand une courbe perce le plan en deux points m et n et que celle qui la suit ne, le coupe pas, l'intersection a une tangente horizontale. La construction qui présente le plus d'exactitude pour déterminer un point de la courbe entre m et n consiste à couper le plan et la surface par un plan vertical auxiliaire GQ.

On reconnaît facilement de quel côté de la ligne AmnC est le terrain coupé.

1059. Intersection de deux surfaces topo graphiques. — On obtient l'intersection de deux surfaces topographiques en faisant passer une ligne par les points de rencontre des courbes horizontales qui ont les mêmes cotes {fig. 428). Dans les parties où le tracé laisse quelque incertitude, on intercale des lignes de niveau, ou bien on fait des sections par un plan vertical auxiliaire.

Si l'on veut dresser, suivant ta surface A, un terrain qui aurait la surface B, il faudra enlever des terres du côté de la ligne d'intersection où sont les petites hachures.

1060. Intersection d'une droite et d'une surface topo graphique. — On fait passer par la droite AB un plan quelconque et l'on détermine son intersection CD avec la surface {fig. 43o). Le point cherché M est celui où la ligne CD coupe la droite AB.

Intersection d'une courbe et d'une surface topo graphique. — On trace des droites parallèles, dans une direction quelconque, par les points de la courbe AB qui

Iq4 LIVRE X. - SURFACES TOPOGRAPIHQUES.

ont les mêmes cotes que les courbes de niveau de la surface {fig. 43 1). On prend les rencontres respectives de ces lignes; leur lieu CD est l'intersection de la surface et d'un cylindre qui contient la courbe donnée ABet auquel appartiennent, comme génératrices, les droites que nous venons de tracer. Les points cherchés sont ceux où les lignes AB et CD se coupent.

Lorsque les points de division de la courbe qui ont les mêmes cotes que les lignes de niveau de la surface ne sont pas immédiatement donnés, on les détermine en rectifiant la projection horizontale de chaque division et en opérant ensuite comme il est expliqué à l'article 265.

Lignes d'égale pente.

1061. La pente d'une ligne en un point est la pente de sa tangente en ce point, ou la tangente trigonométrique de l'angle que cette droite fait avec le plan horizontal (art. 266).

Une ligne est dite d'égale pente quand toutes ses tangentes sont également inclinées sur l'horizon. Une ligne d'égale pente devient droite quand on rectifie son cylindre projetant, et par suite ceux des points d'une telle courbe dont les cotes sont entières partagent sa projection en arcs dont les longueurs sont égales. Nous appellerons intewalle la longueur horizontale curviligne qui sépare deux points dont les hauteurs diffèrent de im. La pente et Fintervalte sont réciproques (art. 266).

Tracer sur une surface topo graphique, à partir d'un point déterminé A [fig. 4^3), une courbe dont la tangente fasse un angle constant et donné avec le plan horizontal.

Si la courbe doit être inclinée à on,,22 de hauteur pour im de base, sa pente

sera •-""' > et l'intervalle constant aura une longueur de ^- ou 4m, 54- Du point A

comme centre, avec un rayon égal à 4ra>54, on trace un arc de cercle qui coupe la courbe voisine au point B; puis, transportant te centre en ce point, on décrit un autre arc qui coupe la courbe suivante en D, et, continuant ainsi, on obtient la ligne AE qui satisfait aux conditions du problème. Les arcs AB, BC, CD, etc., sont un peu plus grands que leurs cordes, et par suite les intervalles sont tous plus grands que 4m>54f ils ne sont pas d'ailleurs parfaitement égaux. On peut, pour avoir égard à cette circonstance, diminuer un peu les rayons, surtout dans les parties où la projection de la ligne présente une courbure assez grande.

Le problème que nous venons de résoudre est utile pour tracer sur un terrain escarpé un sentier d'une pente déterminée.

Si le cercle décrit de l'un des centres ne rencontrait pas la courbe suivante, la