CHAPITRE I. - THEORIE GENERALE. ig

zone comprise entre les deux lignes horizontales serait trop inclinée pour qu'on put y tracer une ligne ayant la pente donnée.

En général, un cercle, tel que celui qui a son centre en C, coupe la courbe voisine en deux points F et D; il passe donc, par un point, deux courbes ayant la pente donnée. Si, dans le tracé d'an sentier, on se trouve conduit à s'éloigner du point auquel on désire arriver, on peut, a un point C, abandonner la ligne suivie pour prendre l'autre ligne ayant la même pente. On dit qu'un sentier a des lacets quand il est ainsi établi suivant une ligne brisée.

1062. Tracer sur une surface topographique une ligne d'égale pente entre deux points donnés A et B(y?g. 434)- — Ce problème ne peut être résolu que par tâtonnement.

La distance verticale des points A et B est 5m; on trouve que leur distance

horizontale est a peu près 19™; la pente doit donc être peu éloignée de —

et l'intervalle de -—-• Nous essayons d'abord une longueur de 4m> et nous obtenons la courbe AD, puis, prenant des intervalles égaux k 4,n>5, k 3m,5, a 3m, noustraçons les courbes AG, AE et AF. Nous portons ensuite sur un axe ox des longueurs of% oe, od et og égales a3m,a 3m,5, à 4m et à 4m»5, et nous élevons des ordonnées^', eë, dd' et gg' égales aux longueurs H- BF, -h BE, — BD et — BG. La courbe qui passe par les points/', e\ d' et gf coupe l'axe en un point b dont l'abscisse est l'intervalle de la ligne d'égale pente cherchée. Si le tracé de la courbe qui a cet intervalle ne conduit pas exactement au point B, on déplacera un peu les points obtenus sur les dernières lignes de niveau, de manière a satisfaire à cette condition.

On pourrait disposer la courbe d'erreur de manière qu'elle se trouvât sur la figure même, mais cela n'aurait aucun avantage.

Plans tangents.

i 063 . Construire un plan tangent à une surface topo graphique en un point donné.

Quand le point donné a est sur une courbe de niveau {fig. 432), on obtient immédiatement une horizontale du plan, en traçant la tangente al à cette ligne. Pour trouver une autre droite qui soit contenue dans le plan, nous construisons le rabattement b AG de la section faite dans la surface par le plan vertical Lag perpendiculaire a la droite aT. La tangente AL a cette courbe est, dans l'espace, une ligne de plus grande pente du plan tangent. On détermine sans difficulté l'échelle de pente de ce plan.

Si les segments a/etae étaient égaux, leur longueur commune serait l'intervalle de l'échelle P.

ig(5 LIVRE X. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES.

1064. Pour étendre la construction au cas où le point donné a n'est pas sur une ligne de niveau, il suffit de construire la courbe intercalaire passant par ce point (fig. 439).

Quand on peut tracer par le point a une droite mn sensiblement normale aux courbes mb et ne, la tangente à la courbe intercalaire est perpendiculaire à mn; on l'obtient donc sans avoir besoin de déterminer cette ligne.

On se dispense généralement de construire la section par un plan vertical; on considère la ligne mn de la surface comme droite : le plan tangent contient alors les droites qui passent par les points m et n et qui sont parallèles à la tangente de la courbe intercalaire. Ces lignes ml et nt sont tangentes aux courbes mb et ne dans le cas où la droite mn les rencontre normalement.

1065. Lorsque Ton a déterminé l'intersection d'une surface par son plan tangent en un point, on peut construire les asymptotes de l'indicatrice de ce point comme tangentes à la courbe au point double.

Sur l'dfig. 43a, la section verticale bG tourne sa concavité vers le sol, la tangente AL est extérieure, et les parties du terrain qui sont coupées par le plan tangent sont indiquées par de petites hachures.

Si la surface était convexe, les horizontales du plan ne rencontreraient pas les courbes de niveau qui ont respectivement les mêmes cotes.

D'après les suppositions qui ont été faites à l'article précédent pour la détermination du plan P [fig. 439), ce plan est tangent tout le long de la ligne mn, et par suite il n'y a pas de raison pour que le point double de l'intersection soit en a plutôt qu'en un autre point de mn. Pour se conformer aux hypothèses, il faudrait réunir les branches de l'intersection en m et les séparer en n.

10G6. Mener un plan tangent à une surface par une droite donnée 1)

;fig- 43^).

Des points de division de la droite nous menons des tangentes aux courbes do niveau qui ont les mêmes cotes. Ces lignes sont des génératrices d'un conoïdr oblique qui a pour plan directeur le plan horizontal, dont la droite D est la directrice rectiligne, et qui est circonscrit à la surface. Si la tangente FN à la courbe de contact AK, en un point F, rencontre la directrice D, le plan tangent au point F contiendra cette droite et sera le plan cherché. Au contraire, lorsque la tangente à la courbe AK, en un point J, ne rencontre pas la droite D, cette ligne ne peut avoir, dans le plan tangent au point considéré J, que le point,/ où elle coupe la génératrice Jy.

Quand la directrice D et une tangente à la courbe AK sont dans un même plan, deux génératrices consécutives du conoïde sont parallèles; or, il est facile de voir quelle est à peu près la position de ces lignes : les génératrices qui passent par les points A et B se rencontrent en projection vers la gauche, celles qui passent par les points K et J convergent vers la droite; il y a donc entre ces deux