CHAPITRE I. - THEORIE GENERALE. jgj

couples une droite FF, qui rencontre de côtés différents celle qui la précède CC, et celle qui la suit EE,; cette droite est voisine des deux génératrices consécutives parallèles du conoïde, et par suite le point F est approximativement celui où le plan cherché touche la surface. La droite FF, est une ligne de niveau de ce plan dont l'échelle de pente est P.

Si Ton veut déterminer la position'du point de contact avec plus d'exactitude, on pourra intercaler des courhes de niveau, ou mieux tracer la tangente FN à la courbe de contact au point F, construire la section du terrain par le plan vertical FN et lui mener une tangente du point N de la droite D. Nous n'avons pas fait cette construction, qui, en général, n'est pas nécessaire, eu égard à la nature des problèmes que l'on a à résoudre sur les surfaces topographiques.

La génératrice FF,, parallèle à la génératrice infiniment voisine, est une arête du conoïde (art. 658). Elle fait un angle maximum ou minimum avec la projection de la droite D (et avec toute autre droite du plan). On peut la déterminer en faisant glisser une équerre et comparant les positions des différentes génératrices réunies en couples consécutifs; on peut aussi tracer une parallèle LT à D, et chercher le point de division F, qui sépare deux segments E,F, et FG,, l'un plus grand, l'autre plus petit, que les intervalles de la droite D (' ).

On examinera la position du plan tangent par rapport a la surface, comme il a été dit plus haut (art. 106o) : nous ne reviendrons pas sur cette question.

1067. Quand la droite D est peu inclinée, les points où elle rencontre les plans des différentes courbes horizontales sont presque tous hors de la feuille de dessin. Userait d'ailleurs difficile de faire une réduction d'échelle, vu le grand nombre des courbes. Dans ce cas, on préfère prendre pour plan directeur du conoïde un plan oblique a l'horizon : on fait dans la surface une série de sections par des plans parallèles à celui qui a été pris pour plan directeur, et l'on mène à chacune d'elles une tangente du point où son plan est percé par la directrice rectiligne. Nous allons donner un exemple de cette construction.

On trace une série de droites AB, CE, FH, ... (fig. 436) parallèles et équidistantes, et on les considère comme les projections des horizontales d'un plan. Pour plus de commodité, on fait passer l'une d'elles par un point A de la droite donnée D, ayant pour cote un nombre entier iG; les autres sont cotées, à partir de celle-là, comme les courbes horizontales. On construit l'intersection mn de ce plan et de la surface, et on lui mène du point A une tangente A a qui est une génératrice du conoïde. On transporte ensuite le plan sécant parallèlement h lui-même ; pour cela, on augmente les cotes de toutes les horizontales AB, CE, —

(^D'après des traditions conservées dans lo corps du Génie militaire, la construction que nous venons d'exposer est duo à Mousnier. Co géomètre, dont nous avons déjà parlé plusieurs fois, était général du Génie.

ig3 LIVRE X. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES.

d'une quantité égale à l'équidistance des plans des courbes horizontales, c'està-dire à l'unité, et on cherche le point de rencontre a du nouveau plan avec la droite D (art. 275); on détermine ensuite la section kl de la surface et on lui mène une tangente a/3 du point a.

En portant sur D des longueurs aan ata.i9 ... égales à Aa, on a les points où la droite D de l'espace coupe le plan sécant lorsque l'on augmente successivement les cotes de ses horizontales dune unité. Quand on a obtenu les génératrices du conoïde qui correspondent aux différentes sections, on cherche celle de ces droites qui rencontre de côtés différents les deux entre lesquelles elle est comprise : son point de contact |3 est celui où le plan cherché touche la surface. On détermine la cote du point |3 (arU 1056), et l'on fait passer un plan par ce point et par la droite D. Pour cette dernière opération, on calcule les cotes des points a et ]3, on cherche sur la droite afi la position du point Ç dont la cote est 17, et, le joignant au point I, qui a la même cote sur la droite D, on a une horizontale du plan.

Il est bon de tracer les droites ÀB, CE, FH, . . . perpendiculaires à D (ou à peu près); alors, pour une inclinaison donnée des plans sécants, leur [angle avec la droite D a sa valeur maximum, l'intervalle aaK est minimum, et on a de nombreux points de division dans le cadre du dessin.

1068. La construction expliquée dans l'article précédent est applicable lorsque la droite donnée D est horizontale, mais on peut alors opérer d'une manière plus simple {fig. 4^7).

Nous menons aux différentes courbes de niveau des tangentes parallèles à la droite D ; ces lignes appartiennent à un cylindre circonscrit à la surface, et on aura résolu le problème si l'on mène à ce cylindre un plan tangent par la droite D, parallèle aux génératrices. Nous prenons un plan vertical auxiliaire EY: la tangente menée du point E de la droite G à la trace du cylindre sur ce plan est dans le plan cherché. On aurait donc facilement le résultat en construisant la section du cylindre par le plan EY; mais une construction, qui appartient comme la précédente à la méthode de Meusnier, va nous permettre de déterminer sans cela une position approchée de la génératrice de contact.

Nous graduons la partie EX de la projection D, de manière qu'elle représente une ligne inclinée quelconque passant par le point E de la droite donnée D dont nous connaissons la cote 58m,5o; puis nous joignons par des droites les points où les tangentes rencontrent EY, avec ceux qui orçt les mêmes cotes sur EX. Si AB est une arête du conoïde oblique formé dans l'espace par ces droites, la tangente à la directrice curviligne en B rencontrera la directrice rectiligne EX au point E de la droite D. Les considérations indiquées à l'article 1066 font voir que la droite AB, qui rencontre de côtés différents les génératrices voisines FG etllj, est peu éloignée de l'arête. La tangente BC est la génératrice de contact sur