CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. I

le cylindre : le plan cherché contient cette horizontale et sa parallèle D; il est par conséquent facile de tracer et de graduer son échelle de pente P.

Pour déterminer la droite AB, on peut tracer une parallèle E,X, à EX, et chercher le point de division A, qui sépare deux segments A, F, et A, II,, l'un plus grand et l'autre plus petit que les intervalles de la droite EX.

Canes et cylindres circonscrits.

1069. Déterminerai courbe de contact et la trace horizontale d'un cône circonscrit à une surface donnée, connaissant le sommet S de ce cône {fig. 438).

Nous traçons par le point S une droite SD, et nous la considérons comme la projection d'une génératrice. Pour avoir le point où cette génératrice touche la surface, nous menons dans une direction arbitraire une seconde droite SB, nous la graduons de manière qu'elle représente une droite passant par le point S de l'espace; nous joignons par des droites respectivement ses points de division à ceux où la droite SD rencontre les horizontales ayant les mêmes cotes, et nous cherchons parmi ces lignes la droite MC qui fait un angle maximum ou minimum avec SD : la droite MC est une arête du conoïde horizontal dont les directrices sont la droite SB et la section de la surface par le plan vertical SD. Le plan tangent a cette surface gauche le long de l'arête MC contient les droites MC et BS. La droite qui passe par les points S et M s'y trouve tout entière; elle touche donc la surface au point M, et par suite ce point appartient à la courbe de contact cherchée.

Pour avoir la trace du cène sur un plan horizontal déterminé, celui qui est à la cote 3o, il suffit de mener par le point A, qui a cette cote sur la droite SB, une droite AN parallèle à CM : cette droite est l'horizontale passant par A du plan tangent en M; elle fait trouver le point cherché N.

La droite auxiliaire SB étant tracée et graduée, on déterminera ainsi le point de contact et la trace horizontale de chaque génératrice dont on se donnera la projection. On pourra obtenir ces points en faisant glisser l'équerre et sans tracer aucune ligne.

La trace du cône a des branches infinies lorsque la courbe de contact a des points à la même hauteur que le sommet S. On détermine facilement ces points. A chacun d'eux le plan tangent à la surface topographique touche le^cône le long d'une génératrice horizontale, et son intersection avec le plan de la trace est l'asymptote d'une branche infinie de cette courbe.

Cylindre circonscrit. — La construction que nous venons d'expliquer est applicable au cas du cylindre circonscrit. La droite de parallélisme remplace la

droite SB; on trace diverses droites parallèles à sa projection et Ton opère sur chacune d'elles comme nous l'avons fait sur la droite SD.

1070. Quelquefois on n'a pas besoin de connaître la totalité de la ligne de contact du cône circonscrit, mais seulement l'endroit où elle coupe une zone donnée, par exemple celle qui est comprise entre les courbes horizontales dont les cotes sont 3i et 32 (feg. 438). Dans ce cas, après avoir établi comme précédemment les droites SB et SD, on tracera les génératrices du conoïde situées dans les plans qui limitent la zone, c'est-à-dire les droites GE et HF. On donnera ensuite diverses positions à la projection horizontale SD, en la faisant tourner autour du point S, et l'on opérera delà même manière sur chacune d'elles. Si le sens de la convergence des génératrices qui passent aux points G et H vient à changer, on sera assuré qu'elles sont parallèles pour une position intermédiaire de la ligne SD, et alors la droite EF, sensiblement tangente à la zone, passera par le point S de l'espace et sera une génératrice du cône circonscrit.

En général la méthode de Meusnier ne peut être avantageusement employée que quand les formes des courbes horizontales ne se modifient pas d'une manière brusque. Dans le cas contraire, pour déterminer les génératrices d'un cône circonscrit, il faut faire des sections par des plans verticaux contenant le sommet donné, et leur mener des tangentes de ce point.

1071. Exercice pour la détermination d'un cône circonscrit. — Nous présentons sur la PI. XLI la courbe de contact et la courbe de section d'un cône circonscrit à une surface topographique. Le sommet S est à la cote i33in,5o à i^So audessus du point culminant du sol.

En général, les courbes horizontales se succèdent avec une grande concordance de formes, et par suite on peut employer la méthode de l'article 1069, qui est très expéditive. Dans la partie voisine du point G4, les formes des courbes sont assez différentes; il faut alors recourir à la méthode des sections par des plans verticaux : les résultats qu'elle donne n'ont pas d'ailleurs une grande précision, en cet endroit, car les formes du terrain sont peu accusées.

Les considérations que nous avons présentées dans le IIIe Chapitre du Livre VIII, pour les arcs réels et les arcs virtuels des courbes de contact et de section, font comprendre comment les diverses parties de ces lignes se rencontrent et se succèdent.

La ligne. A/iG//wi|G|/i,H est une courbe de contact: en lui menant des tangentes du point S, on détermine les points limites G et G, (art. 892) : Tare G/ft//z,G, est seul utile. La courbe de section <7/yv/iB passe aux points limites; elle y touche la courbe de contact et elle y est divisée comme celle-ci en arcs réels et en arcs virtuels. Nous retrouvons la même disposition aux points G2, G3 et G4 situés sur d'autres branches de la courbe de contact.

La ligne G3C est un arc réel de la courbe d'intersection de la surface par le