CHAPITRE I. - THEORIE GENERALE

cùne circonscrit. Une partie réelle ed de la courbe de contact rencontre cet arc en C, et devient utile a ce point qui est analogue au point C de tefig. 358. Ainsi, la tangente //est la projection d'une génératrice double du cùne. Les mêmes circonstances se présentent au point (V

Va spectateur placé au points ne verrait pas les parties de terrain situées au delà des lignes yGG.B et y2G2G:JCr/G4.

Lignes de plus grande pente.

1072. De toutes les courbes tracées sur une surface et qui se croisent à un point, la moins inclinée en ce point est celle dont la tangente est la ligne de plus grande pente du plan tangent, et qui par suite rencontre à angle droit la courbe de niveau. On a donc une ligne de plus grande pente d'une surface, en traçant une courbe qui, en chaque point, rencontre normalement la ligne de niveau, c'està-dire une trajectoire orthogonale des courbes horizontales.

Il ne passe par un point déterminé d'une surface qu'une seule ligne de plus grande pente, car on ne peut mener en un point qu'une normale à une courbe. Cette règle comporte plusieurs exceptions, comme nous allons le voir.

1073. Surfaces de révolution. — Quand la surface considérée est de révolution autour d'un axe vertical, les méridiens sont les lignes de plus grande pente. Ces courbes se coupent, en général, sur l'axe. Un point de rencontre doit être regardé comme un cercle horizontal évanouissant, et par suite tout plan contenant Taxe est normal à la ligne de niveau que représente ce point.

Suivant que l'axe coupe la méridienne normalement ou obliquement, la surface a un plan tangent unique, ou en possède une infinité; mais la disposition des lignes de plus grande pente est toujours la même.

1074. Surfaces dont les courbes horizontales sont des ellipses homothètiques ayant leurs centres sur une même verticale. — Supposons que l'ellipse AD (fig. /| 4 7 ) soit la projection de la courbe de niveau sur laquelle se trouve le point de départ M; sur le plan horizontal la normale MT est tangente à la ligne de plus grande pente, et le point M, où elle coupe l'ellipse voisine A,Df appartient à cette ligne. Le point par lequel on peut considérer que la projection de la ligne de plus grande pente est décrite rencontre ainsi successivement toutes les ellipses de la série ; il arrive donc à leur centre commun 0, que Ton doit regarder comme étant leur limite.

La droite MT rencontre le grand axe en un point T de l'abscisse OP; le point M, est donc à une moindre distance du grand axe AD que le point N homologue de M. Nous voyons ainsi que le rayon vecteur OM fait des angles de plus en plus petits avec la droite OD lorsque le point mobile se rapproche du centre 0.

A ce point la trajectoire est normale à l'ellipse infiniment petite, et par suite tangente k l'un de ses axes. Il résulte de la qu'une ligne de plus grande pente, de quelque point qu'elle parte, passe au centre commun des ellipses, tangentiellement à la droite des grands axes. Il faut excepter le cas où le point donné appartient a la droite des petits axes, car cette ligne est évidemment une trajectoire orthogonale des ellipses.

I(ï7ka. Une ellipse quelconque de la série peut être représentée par l'équation

dans laquelle a et b sont des longueurs déterminées, et n un coefficient arbitraire. On obtient, en diflférenliant,

dx a* y

L'équation différentielle de la trajectoire orthogonale est donc

dy a* y

dx ~~ l^x

Intégrant, et appelant xi et/, les coordonnées du point de départ, on a

à1 log b* log — — o.

*vi fi

Telle est l'équation de la projection de la ligne de plus grande pente; x et y doivent toujours avoir respectivement les mêmes signes que xx et >,; chaque ligne s'arrête d'une part au point O, de l'autre à l'infini. Les courbes qui traduisent en Géométrie les fonctions logarithmiques présentent, en général, des singularités de ce genre. \on< avons déjà signalé cette circonstance dans une Note de l'article 85.

1074//. Lzjïg- 44 1 représente les projections de plusieurs lignes de plus grande pente. Nous les avons obtenues en traçant un assez grand nombre des ellipses de la série, et construisant la normale à chacune d'elles au point où elle est rencontrée par la normale précédente. Nous avons d'ailleurs numériquement vérifié les coordonnées de quelques points à l'aide de la formule donnée à l'article 1074*.

1075. Si dans l'espace la directrice des ellipses est l'ellipse A'lO'B'lO"', dont un des axes est sur la verticale du point 0(/ig. 44 2)» la surface est un ellipsoïde scalène, et les trajectoires sont parasites dans les parties situées au delà de l'ellipse A, B, qui forme le contour apparent (fig. 440- Quand la directrice est une hyperbole \'\"WW"(fig. 443)» ayant pour axe non transverse la verticale du point O, la surface est un hvperboloïde gauche et les trajectoires sont parasites dans les parties situées à l'intérieur de l'ellipse de gorge A2B2 [fig. l\\\).