CHAPITRE I. - THÉORIE GÉNÉRALE. 2o
On détermine facilement les projections verticales des lignes de plus grande pente, en relevant de la projection horizontale les points où ces courbes rencontrent quelques ellipses.
1076. Surfaces dont les courbes horizontales sont des hyperboles homothëtiques ayant leurs centres sur une verticale. — Sur le plan horizontal, les droites OL et OP, asymptotes communes des hyperboles {fig. 444) forment un système géométrique qui appartient à la série de ces courbes. Si nous prenons sur l'asymptote OL le point de départM, l'élément de la trajectoire sera dirigé sur la perpendiculaire GF, et Ton voit, d'après le sens de la courbure des hyperboles, que, d'un côté comme de l'autre, la trajectoire s'éloignera du point 0. Les axes sont les seules projections des lignes de plus grande pente qui passent à ce point.
A partir du point M situé sur l'asymptote OL, la trajectoire se rapproche constamment d'un côté de l'axe AB, de l'autre de l'axe OY; on reconnaît facilement, à l'aide de son équation, qu'elle a ces droites pour asymptotes.
1076a. Dans le cas qui nous occupe, a2 est négatif. Si nous mettons son signe en évidence, l'équation que nous avons trouvée à l'article 1074a deviendra
a* log t- bl log -*— — o.
x et r sont de mêmes signes que a\ et yx : nous pouvons les supposer positifs.
Quand x est supérieur à xu y est inférieur à yl9 et réciproquement. Si l'une des coordonnées croît indéfiniment, l'autre décroît indéfiniment : les deux axes sont donc asymptotes de la courbe. Chaque trajectoire se termine à l'infini sur chaque axe.
1077. Nous avons représenté sur les fig. 445 et 44^ les projections verticales d'un hyperboloïde et d'un cône dont les sections horizontales sont les hyperboles dessinées sur hjîg. 444- H est facile de construire les projections verticales des lignes de plus grande pente d'après leurs projections horizontales. Ces courbes dans l'espace sont asymptotes de l'hyperbole principale A'B'A"B" pour l'hyperboloïde, et des génératrices A"B', B"A' pour le cône.
A chacun des sommets 0' et 0" de l'hyperboloïde il passe deux lignes de plus grande pente, qui sont l'hyperbole principale A'B'A"B"et l'ellipse de gorge. Ces deux courbes divisent les autres lignes de plus grande pente en quatre groupes. Les lignes d'un même groupe sont asymptotes les unes des autres des deux côtés, et de celles d'un groupe voisin d'un côté seulement. La hauteur du sommet 0' est un maximum pour l'ellipse de gorge, et un minimum pour l'hyperbole A'B'.
Sur le cône les lignes de plus grande pente forment également quatre groupes qui sont séparés par les deux génératrices A"B' et B" A'.
1078. Indication des diverses dispositions que peuvent présenter les lignes de plus grande pente aux points ou le plan tangent est horizontal.— En remplaçant la sur-
face considérée par une surface du second ordre osculatrice en un de ses sommets, on reconnaît, pour chaque forme de l'indicatrice, comment les lignes de plus grande pente sont disposées aux points où le plan tangent est horizontal.
Si l'indicatrice est un cercle, la surface osculatrice est un ellipsoïde de révolution, et dans chaque azimut une ligne de plus grande pente arrive au point (art. 1075).
Si l'indicatrice est une ellipse, la surface osculatrice est un ellipsoïde scalène, et une infinité de lignes de plus grande pente arrivent au point; une d'elles est tangente à la section principale qui a le plus petit rayon de courbure, et toutes les autres à celle qui a le plus grand rayon (art. 1075).
Si l'indicatrice est une hyperbole, deux lignes de plus grande pente se croisent au point; elles sont respectivement tangentes aux sections principales. La hauteur du point est un maximum sur l'une d'elles et un minimum sur l'autre (1077). On appelle cols les points où le plan tangent est horizontal, et pour lesquels l'indicatrice est une hyperbole.
Quand l'indicatrice est composée de deux droites, la surface osculatrice est un cylindre, et l'on reconnaît facilement qu'une seule ligne de plus grande pente passe au point.
1079. Surfaces dont les courbes horizontales sont des ellipses identiques coupées suivant un de leurs axes par un plan vertical.
Les projections horizontales des lignes de plus grande pente sont les trajectoires orthogonales d'une série d'ellipses identiques qui ont un de leurs axes sur une même droite VX (fig. 44o)« Si l'on prend pour point de départ un point M de l'une des ellipses DD,, la tangente à la trajectoire sera dirigée sur la normale MT; en appelant y l'angle PTM qu'elle fait avec l'axe VX, a et b les longueurs des demi-axes des ellipses, etj l'ordonnée MP, on a
tangy =
Il est facile de voir que le point mobile par lequel on peut supposer la trajectoire décrite se rapproche constamment de Taxe lorsque, quittant sa position initiale, il s'avance vers la gauche; son ordonnée diminue donc indéfiniment, et, en vertu de la formule que nous venons d'écrire, l'angle y diminue aussi, y et y sont nuls en même temps; mais alors le point mobile a une abscisse infinie, car la seule trajectoire qui passe par un point de l'axe à distance finie est l'axe luimême; la droite VX est donc asymptote de la courbe.
Si maintenant nous supposons que le point M se meuve vers la droite, son ordonnée/ augmentera progressivement, et l'on voit par la formule que, quand il sera en un point 0 de la droite LO dont l'ordonnée est b, y aura atteint la
