CHAPITRE 1Y. — PROBLÈMES RELATIF» AUX ANGLES TRIÈDRES. 3f

Quatrième cas.

79. Connaissant une face /3 d'un angle trièdre et les deux angles dièdres adjacents A et C, trouver les deux autres faces a et 7 et le troisième angle dièdre B.

Après avoir tracé deux droites Se et Sa (fig. 60) comprenant entre elles l'angle donné j3, nous prenons deux plans verticaux respectivement perpendiculaires à ces deux lignes; leurs traces, que noqs considérons comme des lignes de terre, sont PE et QD. Nous plaçons ensuite sous les inclinaisons voulues les traces E/n' et Dm\ des plans des faces inconnues sur les plans verticaux qui leur correspondent. Toutes les données sont maintenant sur la figure.

Nous coupons les deux faces par un plan horizontal dont les traces verticales sont les droites xy et xKyK respectivement parallèles aux lignes de terre et situées au-dessus d'elles à une même hauteur, d'ailleurs arbitraire. Les droites d'intersection se projettent sur le plan horizontal suivant des lignes respectivement parallèles à Se et Sa; leur point de rencontre m appartient à la troisième arête, dont la projection est par conséquent S m.

Il est maintenant facile de voir que, si nous rabattons les faces sur le plan horizontal en les frisant tourner, Tune autour de Se, l'autre autour de Sa, le point m 4e l'espace sera transporté d'un côté en M et de l'autre côté en M, , et que par suite les angles plans cherchés sont bSc et b2Sa.

Le problème a toujours une solution.

Résolution des problèmes par l'angle trièdre supplémentaire.

80. Nous montrerons plus loin (art. 137 et 140) comment on résout directement te cinquième et le sixième cas de l'angle trièdre, mais nous ferons connaître dès à présent une méthode qui peut servir à ramener les trois derniers cas aux trois premiers, et réciproquement.

Concevons que d'un point s pris dans l'intérieur d'un angle trièdre S (fîg. 63) on abaisse des droites sa, sb et se respectivement perpendiculaires sur les faces BSC, CSA et ASB de l'angle, et qu'on prenne ces lignes polir lefe arêtes d'un second angle trièdre dont les faces seront prolongées jusqu'à leur intersection avec celles du premier.

Le plan <*6P, contenant les droites sb et se respectivement perpendiculaires aux faces ASC et ASB, est perpendiculaire à leur intersection AS. L'angle plan cFb mesure donc l'angle dièdre dont l'arête est AS, et comme les angles b et c du quadrilatère Pbsc sont droits, on voit qu'un angle plan du deuxième angle trièdre est supplémentaire de l'angle dièdre correspondant du premier*

3* LIVRE 1er.— DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

Nous avons vu que l'arête SA était perpendiculaire au plan Vbsc. Toutes les arêtes de l'angle S sont ainsi respectivement perpendiculaires aux faces de s, et par suite les angles plans de S sont supplémentaires des angles dièdres de s. Ces deux angles trièdres sont dits supplémentaires l'un de l'autre.

Si l'on connaît les trois dièdres d'un angle trièdre, en prenant leurs suppléments on aura les angles plans de l'angle trièdre supplémentaire, que Ton résoudra par les constructions des articles 71 et 73. On aura alors les suppléments des angles plans de l'angle dièdre donné.

On pourrait par le même procédé ramener au troisième cas celui où Ton donne un angle plan, l'angle dièdre opposé et l'un des deux autres, et le quatrième au second; mais il est généralement préférable de traiter directement ces divers problèmes.

Observations générales.

81. Les constructions exposées dans les articles précédents éprouvent des modifications et deviennent généralement plus simples quand un des angles est droit. Cette hypothèse conduit à des exercices intéressants dont plusieurs ont des applications en stéréotomie.

On rencontre dans diverses questions l'angle dièdre birectanglè et l'angle trièdre trirectangle. Le premier a quatre angles droits a, |3, A, B, et les deux autres angles y, C sont égaux. Dans l'angle trièdre trirectangle les six angles sont droite. Nous allons résoudre quelques problèmes importants sur cet angle trièdre.

Angle trièdre trirectangle.

82. Connaissant les projections des trois arêtes d'un angle trièdre trirectangle f trouver les angles que ces droites forment avec le plan de la figure.

Nous supposons que les droites Sx, Sy et Sz (fig. 64) sont les projections des arêtes d'un triangle trirectangle, sur un plan que nous considérons comme horizontal.

La hauteur du plan de projection étant arbitraire, nous pouvons prendre «A point quelconque C de la droite Sz pour trace de l'arête projetée sur cette ligne. Les traces des plans zSoc et zSy sont alors les droites CA et CB respectivement perpendiculaires à Sy et à Sa? (art. 40). La trace AB de la troisième face doit se trouver perpendiculaire à S*.

Nous prenons un plan vertical dont la ligne de terre XY est parallèle à d&z. La projection de l'arête SC passera par C, et la trace du plan opposé par d'\ ces deux lignes sont d'ailleurs à angle droit, et par suite la projection S' du sommet est