CHAPITRE IL — TABLEAUX GRAPHIQUES

Revenons au paraboloïde qui remplace la Table de Pythagore (art. 1085); son équation est

z = xy.

Nous posons

a?'=log#, y=logj, et par suite nous avons

log* = x'-\~y.

Si nous considérons x', y' et z comme trois coordonnées variables, cette nouvelle équation représentera un cylindre horizontal, surface dont les lignes de niveau sont des droites parallèles, et que, par conséquent, nous pouvons représenter facilement {fig. 45a). Pour trouver le produit de deux nombres a l'aide du Tableau que Ton obtient ainsi, il faut prendre pour coordonnées horizontales les logarithmes des valeurs données de x et de y. Cette opération exige l'emploi d'une Table numérique; mais, pour qu'il n'en résulte aucune gêne, on transporte cette Table sur la figure, en donnant aux axes une graduation logarithmique, comme nous l'avons expliqué à l'article 1084. Les cotes sont les nombres dont les abscisses sont les logarithmes. Il résulte de là que les coordonnées de l'origine sont cotées i et non pas o.

1091. Cet exemple montre en quoi consiste V anamorphose des Tableaux graphiques; on cherche a simplifier l'équation des courbes de niveau en prenant de nouvelles coordonnées qui soient fonctions des premières, et l'on place, sur les axes, des cotes qui font connaître les valeurs de celles-ci. La complication du problème est alors reportée sur la graduation des axes.

Nous allons indiquer un autre exemple emprunté à l'art des constructions. Dans le calcul d^s terrassements pour les routes, on doit résoudre un grand nombre de fois l'équation

En y considérant x,y et s comme des coordonnées, elle représente un hyperboloïde dont les lignes de niveau sont des paraboles. Si l'on pose

x' = log( A - x), y = log(B -h y)9 on aura

y=x+i[»og2+iog(5+c)j.

Cette équation est celle d'un cylindre horizontal; on peut facilement construire le Tableau graphique qui le représente, pour des valeurs déterminées des constantes À, B et C. Les cotes de l'origine correspondent aux valeurs nulles de x et de y, et sont, par conséquent, les logarithmes de A et de B.

1092. Suivant la nature des relations qui existent entre les anciennes coordonnées et les nouvelles, il peut arriver que les valeurs de x\ ou les abscisses,

2 l4 LIVRE X. - SURFACES TOPOGRAPHIQUES.

augmentent quand les grandeurs de x, qui sont leurs cotes, diminuent. Lorsque l'abscisse x\ considérée comme fonction de x, a un maximum ou un minimum, la série naturelle des cotes se développe d'abord dans un certain sens, puis dans le sens opposé.

Considérons, par exemple, l'hyperboloïde représenté par l'équation

yz -+- x2 — zox -+- i o4 = o ;

les courbes horizontales sont des paraboles, mais, si nous posons

x' = x2 — 2ox -+- 104, nous aurons

yz-hx'=o,

et les lignes de niveau seront des droites.

A la valeur 4 de x' correspond pour x une grandeur minimum égale à 10. La cote 10 sera, par conséquent, au point dont l'abscisse est4> et les cotes 1 1, 12, i3, . . ., 9, 8, 7, . . . seront sur la partie de l'axe qui s'étend au delà de ce point. Les valeurs de x sont imaginaires pour les abscisses inférieures à 4» et par suite les droites transformées des paraboles sont parasites au delà de la parallèle à l'axe des ordonnées dont l'abscisse est 4.

1093. On est quelquefois conduit à employer deux Tableaux distincts pour résoudre une même formule. Considérons l'équation

^ ax*

on ne peut pas la simplifier en prenant des variables qui soient des fonctions distinctes des anciennes, car ces dernières sont réunies dans le dénominateur; si cependant on veut avoir des droites pour lignes de niveau, on posera

x'=ax2, y = x -f- y,

et l'on construira deux Tableaux sur les formules

Le premier fera connaître l'ordonnée auxiliaire y'\ le second, dont l'axe des abscisses aura été convenablement gradué, donnera ensuite l'inconnue z'.

application de V anamorphose à la représentation graphique de certaines lois naturelles.

1094. Lorsque l'on connaît une loi mathématique entre trois variables x'9 y et z, on peut représenter par des courbes de niveau la surface qui en est l'exprès-