CHAPITRE III. — PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TR1ÈDRES

le demi-cercle qui a C'df pour diamètre. L'angle sCS' donne l'inclinaison de l'arête Sz; on obtient les inclinaisons des autres arêtes en faisant tourner leurs plans projetants autour de la verticale du point S, jusqu'à les rendre parallèles au plan vertical.

83. On ne trouvera une solution que quand la perpendiculaire abaissée du point S sur XY rencontrera le demi-cercle; mais on doit se demander si, cette condition étant satisfaite, le trièdre que l'on obtiendra sera nécessairement tri rectangle.

Reprenons les constructions. Nous menons d'un point C de Sz deux droites CA et CB respectivement perpendiculaires à Sy et Sa?, et nous traçons AB; cette droite sera toujours perpendiculaire à S s, parce que les trois perpendiculaires abaissées des sommets d'un triangle sur les côtés opposés se rencontrent en un même point. Nous sommes ainsi assuré que la ligne AB se projette verticalement en un point d\ et nous pouvons déterminer une hauteur sS' du sommet, pour laquelle l'arête Sz est perpendiculaire à la face xSy, et par conséquent aux deux arêtes S^retSj; mais chacune de celles-ci est déjà perpendiculaire à la trace horizontale de la face qui lui est opposée (art. 46); elle est donc perpendiculaire à cette face, et le trièdre déterminé est trirectangle.

Pour que la verticale sS' rencontre le demi-cercle, il faut que chacun des angles ASB, BSC et CSA soit compris entre 90 et 180 degrés. Il est facile de voir, en effet, que si l'on fait tourner la droite Sœ, de manière qu'elle fasse un angle aigu avec Sj' ou avec Sz, les points d et C se trouveront d'un même côté de S (i).

Quand deux des droites données Sx et Sy sont à angle droit, la troisième Sz doit être confondue avec l'une d'elles ou sur son prolongement, et le problème est indéterminé.

84. En modifiant l'ordre dans lequel les différentes lignes de la figure 64 sont tracées, on y trouvera la solution des problèmes qui consistent à obtenir la projec-

ion d'un trièdre trirectangle quand on connaît la projection Sz d'une arête, son inclinaison et l'inclinaison d'une autre arête, ou bien les projections Sz et Sy de deux arêtes, et l'inclinaison de l'une d'elles.

Dans la première de ces questions on ne peut pas se donner arbitrairement les inclinaisons de deux arêtes. La figure 64 montre que l'on a

SB>Srf;

(1) Si deux droites qui se rencontrent à angle droit dans l'espace percent le plan horizontal, Tune en A et l'autre en B, l'angle ASB de leurs projections est nécessairement obtus; il serait droit si les lignes étaient dans le plan de projection, mais il ne peut pas être aigu. Les deux angles BSC et CSA supplémentaires à 3Go degrés doivent être obtus par la même raison»

34 LIVRE 1er. — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS.

d'où successivement

s ff, > sd', sd' S' > sB'^' ,

et enfin

iVt & + sC SF <yf>.

La somme des angles que deux quelconques des arêtes forment avec le plan de la figure est donc toujours inférieure à un angle droit.