COURBES PLANES ET SURFACES COURBES

Courbes planes.

85. Une ligne est le lieu des positions d'un point mobile; elle est plane quand le point se meut dans un plan fixe. Nous ne nous occuperons dans ce Chapitre que des lignes planes.

En général, quand la loi du mouvement ne change pas, la ligne ne présente ni angle ni point d'arrêt (i); elle se développe indéfiniment comme une droite, ou se replie sur elle-même comme un cercle.

86. Considérons {fig. 65) une droite MN qui coupe une ligne courbe en deux points, et faisons-la tourner autour de l'un d'eux M; le. second point de section N

prendra successivement les positions n, nif n29 /z3, On conçoit qu'il y aura un

moment où le point N sera confondu avec M; la droite dans cette position unique est dite tangente; elle n'a qu'un point de commun avec la partie considérée de la courbe.

Deux courbes sont dites tangentes en un point quand elles ont la même tangente en ce point.

87. En général, les tangentes en deux points voisins A et B sont d'un même côté de la courbe qui est celui de la convexité; cependant il peut arriver qu'elles soient de côtés différents, comme cela a lieu sur la figure 66. Dans ce cas, il y a entre A et B un point d'inflexion M où la tangente est en partie d'un côté et en partie de l'autre.

(i) Quelques courbes exceptionnelles ne sont pas soumises à cette règle; ainsi la perspective de la logarithmique a deux points d'arrêt à distance finie, et la logarithmique elle-même en a deux à distance infinie. Mais nous ne devons pas nous occuper de ces singularités, qui n'ont aucune importance pour les questions que nous avons à examiner.

Si Ton suppose que la droite B6 se transporte en restant toujours tangente à la courbe, mais en des points de plus en plus rapprochés de M, le point de section b se rapprochera du point de contact B, et viendra se confondre avec lui en M. On voit qu'à un point d'inflexion un point de contact et un point de section sont réunis, et que, par suite, il faut considérer la courbe comme ayant avec sa tangente un contact plus intime que dans le cas ordinaire.

A un point d'inflexion la tangente TT forme transition entre les sécantes qui coupent la courbe en trois points, telles que NP, et celles qui la rencontrent seulement au point M.

Lorsque la droite B6 se meut en restant tangente à la courbe, elle tourne dans un certain sens jusqu'à ce que le contact ait lieu en M; elle prend ensuite des positions parallèles à celles qu'elle vient de quitter. La tangente d'une courbe en un point d'inflexion fait donc avec une droite quelconque du plan un angle plus petit ou plus grand que les tangentes aux points voisins; celte circonstance peut servir à la déterminer (art. 145).

88. Il arrive quelquefois qu'une courbe présente un rebroussement [fig. 67 ou 68). Il faut concevoir que la vitesse du point mobile qui décrit la ligne diminue graduellement, devienne nulle en un point M, puis prenne une direction de sens contraire, de manière que la position de la tangente varie d'une manière continue. Le rebroussement est de première ou de seconde espèce, suivant que les deux bras sont ou non d'un même côté de la tangente MT.

89. Une courbe telle que MA {fig* 69) présente un nœud ou point double en M.

Quand une courbe varie de forme d'une manière continue, un rebroussement se présente quelquefois comme une feuille MA réduite à un point. La ligne qui a un rebroussement est alors une transition entre les lignes qui ont un nœud et celles qui n'en ont pas.

En général, on appelle point multiple un point par lequel passent plusieurs arcs d'une même courbe.

90. Lorsqu'une courbe a un point double, toute droite située dans son plan et passant à ce point peut, à un certain point de vue, être regardée comme tangente, car c'est une sécante dont les deux points de rencontre se sont réunis en un seul. Mais nous réserverons le nom de tangente pour les droites qui touchent l'une ou l'autre des branches considérées isolément.

Quand on est assuré qu'une courbe ne présente ni nœud ni rebroussement, on peut obtenir une tangente en faisant mouvoir une sécante d'une manière quelconque, jusqu'à ce que deux points de section viennent se confondre avec le point que l'on considère sur la courbe. Cette méthode est souvent plus commode que celle que nous avons indiquée à l'article 87.

91. La droite est la plus simple des lignes qui s'étendent à l'infini.