CHAPITRE 1er. — COURBES PLANES ET SURFACES COURBES

Considérons une droite AB {fig. 70) et une sécante Pm, puis faisons tourner cette dernière ligne autour d'un de ses points P, de manière que le point de rencontre/71 prenne successivement différentes positions mi9 m2,..., 'en s'éloignant indéfiniment vers la gauche; dans une certaine position la sécante sera parallèle à AB : le point de rencontre, toujours unique, sera alors à l'infini sans qu'on puisse le supposer plutôt d'un côté que de l'autre. Si la sécante continue son mouvement de rotation, le point revient de l'infini par la droite de la figure.

On voit qu'on peu t considérer une droite comme une courbe fermée, dans laquelle un point situé à l'infini forme la jonction des deux bras qui s'étendent dans les directions opposées.

% Quand une courbe se développe indéfiniment, elle a ainsi un point situé a l'infini, et elle ne s'arrête pas plus à ce point qu'à tout autre; un second bras distinct du premier doit s'étendre vers le même point situé à l'infini.

Une courbe a autant de branches infinies qu'elle a de points situés à l'infini. Chaque branche est formée de deux bras qui se rejoignent à l'infini.

92. Nous avons dit (art. 85) qu'une courbe ne présentait pas d'angle, c'est-àdire que les deux parties /i,M et NM [fig. 65), qui se réunissent en un point quelconque M, ont la même tangente M T. En d'autres termes, les sécantes MN et M/i, se confondent, lorsque les points N et nz sont réunis en M. Quand le point M est à l'infini, la tangente commune des deux bras MC, QE qui s'y rejoignent [fig. 71) est appelée asymptote.

11 arrive quelquefois que la tangente d'une courbe au point situé à l'infini se trouve tout entière à l'infini; on dit alors que la courbe n'a pas d'asymptote.

On obtient une asymptote, comme toute autre tangente, en considérant une sécante RN, et en la faisant mouvoir de manière que les points de section R et N arrivent ensemble à l'infini. On peut prendre deux points R et Q sur les deux bras et les réunir à l'infini, en les éloignant indéfiniment en sens opposé; au moment où ils se confondent, la sécante RQ devient asymptote.

Quelques courbes présentent des points multiples et des rebroussements à l'infini; nous étudierons ces circonstances plus loin. Nous nous bornerons à dire ici que pour les lignes de ce genre on n'est pas assuré d'avoir une asymptote en faisant mouvoir une sécante de la manière que nous venons d'indiquer. Il faut pouvoir considérer une droite GH qui rencontre la courbe au point situé à l'infini, et la transporter parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'un point de section P rejoigne celui-là.

93. On considère quelquefois des courbes qui se modifient graduellement, telles qu'un cercle dont le rayon varie et dont le centre parcourt une ligne» Quand la courbe n'a ni point multiple ni rebroussement, et qu'elle n'éprouve dans sa forme aucun changement brusque, une sécante fixe ou mobile devient tangente dès que deux points de section se confondent en un seul. Si la réunion a lieu à l'infini, la droite est asymptote.

94. Considérons le cercle déterminé par les conditions de toucher en un point M une courbe a/3 {fig. 72), et de passer par un autre point N de cette ligne. Si Ton suppose que le point N se déplace, le cercle se modifiera; il aura un contact plus intime avec la courbe, lorsque ce point de section sera réuni au point de tangence M. On dit alors que le cercle est oscillateur.

L'arc MN n'existant plus, le cercle est du côté de la convexité de la courbe sur la gauche du point M {fig. 73), tandis que sur la droite il est toujours resté du côté de la concavité : il la traverse donc en M sans cesser d'avoir la même tangente. Cette propriété est caractéristique du cercle osculateur, car si le point N continuant son mouvement passe à droite de M {fig. 72), Tare du cercle compris entre eux se trouvera du côté de la partie convexe de la courbe.

Si l'on considère la série des cercles qui passent par un point d'une droite, et qui ont leur centre sur cette ligne, on verra que l'un d'eux, celui qui a son centre à l'infini, se transforme en une ligne droite. Il peut donc arriver que la tangente remplace le cercle osculateur et en ait les propriétés; elle traverse alors la courbe, et il y a inflexion (art. 87).

A un point de rebroussement de première espèce le rayon du cercle osculateur est généralement nul; on le reconnaît facilement en considérant un rebroussement comme une feuille réduite à un point.

Le cercle osculateur peut se trouver exceptionnellement d'un même côté de la courbe, près du point de contact. Cela arriverait si, quand le point N se confond avec M [fig. 72), le point P s'y réunissait aussi.

95. Considérons sur une courbe deux points M et G {fig* 74) peu éloignés l'un de l'autre, et les droites MO et GO qui sont perpendiculaires aux tangentes, c'està-dire normales ; en divisant l'arc MG par le nombre abstrait qui indique la grandeur de l'angle MOG, l'angle droit étant représenté par la moitié du rapport de la circonférence au diamètre, nous aurons une longueur qui, si la courbe était un cercle, serait égale au rayon. Supposons maintenant que le point G se rapproche indéfiniment de M : plus l'arc MG sera petit, moins il différera de l'arc correspondant à

l'angle MOG dans le cercle osculateur en M, et la limite du rapport tttttt sera le

rayon de ce cercle. L'angle MOG est égal à celui des tangentes en M et en G; on l'appelle angle de contingence quand on le considère à la limite. On dit alors qu'il est infiniment petit y et que le point G est infiniment voisin du point M.

Le cercle osculateur fait apprécier la courbure d'une ligne en un point : plus son rayon est grand, plus la courbure est petite. D'après cela, le centre du cercle osculateur est souvent appelé centre de courbure, et son rayon rayon de courbure.

96. Si une courbe roule sur une autre courbe en lui restant toujours tangente, lorsque l'arc compris entre un des points où elles se coupent et le point de contact devient nul, il y a osculation ou tangence du second ordre, et les courbes se tra-