CHAPITRE Ier. — COURBES PLANES ET SURFACES COURBES

versent. Si deux points de section se réunissent en môme temps au point de contact, la tangence s'élève au troisième ordre, et les courbes ne se traversent pas.

Dans l'osculation, les courbes ont trois points communs réunis en un seul; dans la tangence du troisième ordre elles en ont quatre, et ainsi de suite, car on considère quelquefois des contacts d'un ordre plus élevé.

97. Une ligne regardée comme la solution d'un problème spécial peut avoir des points d'arrêt; ainsi le diamètre d'un cercle, lieu des milieux d'une série de cordes parallèles, est une droite limitée aux points où elle rencontre la circonférence; ainsi encore la projection horizontale d'un cercle situé dans un plan vertical est un segment de droite.

Les parties d'une ligne qui forment la solution d'un problème spécial dont on s'occupe sont appelées utiles, et les autres parasites.

98. Une courbe est géométrique quand elle est soumise dans sa génération à une loi déterminée; on l'a dit graphique lorsqu'elle a été tracée d'après des conditions qui ne sont pas susceptibles d'être mathématiquement définies, telles que celle d'avoir une forme gracieuse. Les considérations que nous venons de présenter ne sont complètement applicables qu'aux courbes géométriques.

Une courbe graphique n'existe que là où elle est tracée; elle n'a donc ni partie parasite ni branche infinie. Elle peut avoir des points d'arrêt et des angles; mais dans les parties où sa courbure parait bien continue, on doit la considérer comme une courbe géométrique, et les considérations que nous avons développées pour les tangentes et les rayons de courbure lui sont applicables.

Certaines lignes participent de la nature des deux genres de courbes dont nous venons de parler : ce sont celles que l'on obtient en projetant les courbes graphiques, ou en leur faisant éprouver .diverses autres transformations géométriques. Nous nous bornons, quant à présent, à signaler ces lignes.

99. Le cercle est la seule courbe géométrique qu'il soit facile de tracer d'un mouvement continu. Il existe pour quelques autres lignes des compas fort ingénieux, mais il y a presque toujours quelques difficultés à les ajuster et à les placer dans la position convenable pour l'arc que l'on veut avoir : aussi les instruments de ce genre ne sont que très-peu employés.

En général, pour tracer une courbe géométrique, on détermine d'après la loi de sa génération un nombre de points suffisant pour que sa forme soit bien déterminée, puis on les réunit par un trait continu que l'on corrige jusqu'à ce qu'il présente une apparence satisfaisante. C'est un travail auquel il est essentiel de former son œil et sa main, lorsqu'on veut s'occuper des arts graphiques. Toutes les fois que la forme de la courbe n'est pas nettement accusée, il faut chercher de nouveaux points, ou mieux encore construire des tangentes. En général, on doit éviter de trop multiplier les points : de petites erreurs peuvent s'introduire dans leur position, par suite de l'imperfection des tracés, et alors, si leur nombre était très-

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grand, on serait conduit à donner à la ligne une courbure ondulée qu'elle ne doit pas avoir.

Bien que dans les applications on ait rarement besoin de tracer sur de grandes longueurs les branches des courbes qui s'étendent a l'infini, il est cependant souvent nécessaire de déterminer les asymptotes, afin de bien comprendre la disposition des différentes parties.

100. Pour mener une tangente à une courbe graphique par un point donné hors de la courbe, on fait passer une règle par ce point, et on la fait tourner jusqu'à ce que son bord affleure la courbe. Sa position est alors bien déterminée.

On ne peut pas opérer d'une manière analogue quand c'est le point de tangence C qui est donné {fig. 75). La position limite de la règle présente alors beaucoup d'incertitude si la courbure de la ligne est un peu grande.

On prend sur la courbe deux ou trois points en deçà du point C et autant au delà, on trace les sécantes qui passent par ces divers points et par le point C, et on les coupe par un arc de cercle décrit du point C comme centre. On porte sur chaque sécante Ca, à partir de l'arc, une longueur au égale à la corde AC, et de manière que le point a soit du même côté de a que le point A de C; enfin on trace une courbe par les points a, |3t â9 . . . , ainsi obtenus : elle coupe l'arc de cercle en un point c qui appartient à la tangente, caria corde doit être nulle sur la droite Ce.

Si nous faisons tourner la droite ACa autour du point C, il pourra arriver que dans une certaine position Vp la corde PC soit égale au rayon du cercle abc. Le point a sera alors en C, et la droite ACa, ordinairement sécante de la courbe auxiliaire, lui sera devenue tangente.

Si la courbe coupait l'arc de cercle sous un angle trop petit, on pourrait la modifier en portant sur les sécantes des longueurs doubles des cordes.

Les courbes auxiliaires du genre de celles que nous venons d'employer sont, appelées courbes d'erreur. Nous allons donner un autre exemple de ce mode de solution.

101. Lorsque l'on a tracé une tangente à une courbe graphique par un point extérieur, on a quelquefois besoin de déterminer son point de contact d'une manière plus précise qu'on ne pourrait le faire à la simple vue. Il existe pour cela une construction assez facile.

Nous menons des sécantes parallèles à la tangente TT {fig. 76), et par les points où elles rencontrent la courbe, nous leur élevons de côtés différents des perpendiculaires sur lesquelles nous portons, à partir de la tangente TT', des ordonnées égales aux cordes déterminées par la courbe donnée sur les sécantes. Ainsi les longueurs oca et a, a{ sont égales à AA,. Les points a, b, c, c,, bi9 a,, étant déterminés d'après une même loi, appartiendront à une courbe qui passera évidemment par le point cherché, et qui sera continue si la proposée l'est elle-même.

La première sécante CC, doit être aussi rapprochée de la tangente que le permet