CHAPITRE 1er. — COURBES PLANES ET SURFACES COURBES. l\l

la condition essentielle qu'il n'y ait pas d'incertitude sur la position précise des points'oii elle coupe la courbe. La seconde sécante BB4 étant également peu éloignée de la première, il arrivera souvent que les quatre points bf c, c, et b, seront à peu près en ligne droite. La ligne aMa, serait même rigoureusement droite, si la proposée était symétrique par rapport à sa normale au point M.

La courbe d'erreur coupe la tangente TT4 sous un angle dont la tangente trigonométrique est égale à 2.

Il n'est pas nécessaire que les ordonnées soient exactement perpendiculaires à TT,; il suffit qu'elles soient bien parallèles (1).

. 102. On a souvent des moyens exacts pour tracer des tangentes aux courbes géométriques; dans tous les cas, on peut appliquer à ces lignes les procédés que nous venons de faire connaître pour les courbes graphiques.

S'il s'agit de mener une tangente à une courbe en un point (Jig. 75), on appuiera la construction sur des points A, B, D, E qui auront été déterminés directement. Il ne sera pas nécessaire que la courbe soit tracée.

La construction exposée à l'article lOt pour avoir le point de contact d'une tangente {Jig. 76) exige que la courbe soit tracée ou au moins que l'on connaisse des points situés sur des parallèles à la tangente. La construction serait encore juste si les sécantes étaient soumises dans leur position à une même loi, mais on ne pourrait pas opérer sur des points A, B, C espacés d'une manière arbitraire.

103. On emploie quelquefois une courbe d'erreur pour déterminer, sur la normale d'une courbe, la position du centre du cercle osculateur, mais ces tracés exigent beaucoup de soin quand on veut opérer avec exactitude. On obtient le centre de courbure avec un degré de précision qui suffit généralement dans la pratique, en le supposant d'abord un peu loin sur la normale, et le rapprochant progressivement jusqu'à ce que le cercle tangent, d'abord complètement extérieur dans la partie voisine du point de contact, arrive à traverser la courbe.

104. Supposons que l'on prenne sur une courbe un certain nombre de points, et qu'on les considère comme les sommets d'un polygone; cette figure différera beaucoup de la courbe : mais, en multipliant progressivement le nombre des côtés, on diminuera la différence, et l'on conçoit que si cette opération était poursuivie indéfiniment, le polygone se rapprocherait aussi indéfiniment de la ligne considérée. C'est ce que l'on exprime en disant qu'une courbe est un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits.

Cette considération permet d'étendre aux courbes les propriétés des polygones qui, comme les théorèmes de similitude, sont indépendantes du nombre et de la grandeur des côtés.

(1) En modifiant légèrement la construction que nous venons d'expliquer, on résout le problème qui consiste à déterminer te point d'une courbe donnée où la tangente est parallèle à une droite donnée.

4a LIVRE H. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

Nous voyons donc qu'il y a des courbes semblables entre elles : les grandeurs linéaires homologues y sont dans un même rapport; les cordes homologuas com* prennent les angles égaux. Quand ces cordes deviennent parallèles, les figures ont un centre commun de similitude et sont homothétiques (art. 68).

105. La direction d'une ligne en un point est celle de sa tangente. L'angle de deux courbes qui se rencontrent est déterminé par l'angle de leurs tangentes au point commun. On les dit normales Tune à l'autre lorsqu'elles se coupent à angle droit.

Un diamètre est le lieu des milieux d'un système de cordes parallèles.

Un axe est un diamètre rectiligne perpendiculaire aux cordes qu'il partage en parties égales.

La projection d'un diamètre d'une courbe est évidemment un diamètre de la projection.

Surfaces courbes.

106. Une surface est le heu des positions d'une courbe qui se meut et qui varie de forme suivant des lois continues. Cette courbe se nomme génératrice.

Une même surface peut être considérée comme engendrée par une courbe mobile et variable, d'une infinité de manières différentes.

Quand la génératrice est assujettie a rencontrer certaines courbes, ces lignes prennent le nom de directrices.

Les génératrices et les directrices ne sont pas toujours planes, mais nous les supposerons telles jusqu'à ce que nous ayons considéré les courbes qui ne sont pas comprises dans un même plan et que l'on appelle gauches. Cette restriction ne nous empêchera pas d'étudier les surfaces d'une manière générale, car on peut toujours les regarder comme engendrées par des courbes planes.

Nous supposerons enfin que la génératrice et les directrices sont des courbes géométriques.

107. Une surface peut avoir des parties parasites. Si l'on considère un plan comme étant engendré par une droite toujours tangente à un cercle, la surface du cercle, quoique faisant partie du plan, ne sera pas comprise dans la définition.

Un cercle engendre une zone sphérique lorsqu'il tourne autour d'une droite qui rencontre la perpendiculaire élevée à son plan par son centre. Les parties de la sphère situées en deçà et au delà de la zone sont rattachées à cette génération comme parties parasites.

108. Si trois courbes A, B, C qui se croisent en un point M {fig. 77 ) appartiennent à une même surface, leurs tangentes en ce point sont dans un même plan.

Pour le prouver, nous considérons la courbe A comme appartenant à un système de génératrices situées dans des plans parallèles. L'une d'elles a, peu éloignée de A, rencontre les courbes B et C en des points n et r, et les trois sécantes Mn, Mr et