CHAPITRE II.— REPRÉSENTATION DES CYLINDRES ET DES CONES

Les droites G et G', étant parallèles, déterminent un plan qui contient les sécantes U et u des courbes M et m. Si Ton suppose que la génératrice G' se meuve sur la surface, en se rapprochant de G, les points B et b s'avanceront respectivement vers A et a, et se confondront avec eux quand G' sera réuni à G. Les lignes U et u seront alors tangentes à M et à m, et leur plan, contenant la génératrice rectiligne qui est sa propre tangente en A comme en a, sera tangent en ces deux points. Il le serait de même en tout autre point de la droite G.

La proposition que nous venons d'établir ne cesse pas d'être vraie quand la directrice M est une courbe graphique, pourvu qu'elle n'ait en A qu'une seule tangente. Dans le cas contraire, il faut considérer la surface comme composée de deux cylindres qui se coupent suivant la génératrice Aa, et dont chacun a son plan tangent.

146. La tangente à la trace m (Jig. 80) d'un cylindre sur un plan P, en un point a, est l'intersection du plan tangent le long de la génératrice Aa, avec le plan P.

L'ensemble des droites qui projettent sur un plan P les différents points d'une courbe M forme un cylindre dont la trace m, sur le plan, est la projection de M.

Le plan projetant d'une tangente T est tangent au cylindre projetant de M, tout le long de la projetante du point de contact A, et par suite sa trace t> projection de T, est tangente à m. Il résulte de là que la projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de la courbe. Nous n'avons pas supposé que les génératrices du cylindre fussent perpendiculaires au plan de projection; la proposition sera donc encore vraie, si les projetantes toujours parallèles entre elles sont inclinées sur ce plan. Nous devrons quelquefois employer ce genre de projection.

Quand la tangente aune courbe est perpendiculaire au plan de projection, elle y est représentée par un point. Si la courbe est plane, sa projection est alors une droite, et il n'y a pas à rechercher sa tangente.

La projection de la normale d'une courbe n'est pas, en général, normale à la projection de la courbe (art. 46).

117. Le cylindre est développable, c'est-à-dire qu'on peut le dérouler sur un plan, sans contraction ni distension d'aucune de ses parties, mais par de simples flexions. Si la directrice est une courbe fermée, il faut supposer que le cylindre a été coupé au préalable le long d'une génératrice.

Pour démontrer cette propriété, considérons une surface de prisme, sans base (jig. 81 ); on peut concevoir que la face P tourne autour de l'arête B pour se placer dans le plan Q, et que ces deux faces réunies se mettent dans le plan R par une rotation autour de C. En confinant ce mouvement autour des différentes arêtes, on développera la surface.

Cette propriété, n'étant dépendante ni du nombre ni de la grandeur des faces, est encore vraie quand le polygone G devient une courbe (art. 109); la surface est alors un cylindre.

118. Dans le développement du prisme, les côtés ab, bc9... d'un polygone quelconque G {fig. 8i) tournent autour des droites A, B,... et par suite les angles que chacun d'eux forme avec les arêtes qui passent à ses extrémités ne sont pas altérés. Cette propriété s'étend naturellement au cylindre; les angles que la directrice ou toute autre courbe forme avec les génératrices ne sont pas modifiés lorsque Ton déroule la surface.

Les angles que deux courbes tracées sur un cylindre forment avec la génératrice de leur point de rencontre n'étant pas altérés dans le développement, l'angle qu'elles comprennent est égal à celui de leurs transformées.

Les génératrices restent parallèles entre elles comme les arêtes du prisme.

La section droite, c'est-à-dire l'intersection du cylindre par un plan perpendiculaire aux génératrices, devient une ligne droite.

Définition, représentation et principales propriétés du cône.

119. Le cône diffère du cylindre en ce que la génératrice recttligne, au lieu de rester parallèle à elle-même, passe par un point fixe que l'on nomme sommet. Un cône est défini par la position du sommet (s, s') (fig. 8a), et par une directrice À que nous prendrons généralement sur le plan horizontal.

Quand la génératrice est une droite indéfinie, ses deux parties en deçà et au delà du sommet décrivent des nappes distinctes qui se réunissent à ce point.

120. Si l'on cherche la projection verticale d'un point situé sur le cône, et dont la projection horizontale m est connue, en opérant comme il est expliqué à l'article 111 pour le cylindre, on trouvera sur le plan vertical deux points m' et m", et l'on reconnaîtra que, sur le plan horizontal, toutes les projections des points de la surface sont comprises entre les droites P et Q menées du point s tangentiellement à la trace À. Ces lignes forment le contour apparent du cône sur le plan horizontal.

Lorsque du point s on ne pourra pas mener une tangente à la trace A, il n'y aura pas de contour apparent sur le plan horizontal, et tout point de ce plan sera la projection d'un point ou de plusieurs points de la surface.

A un point m\ projection verticale d'un point du cône, correspondent sur le plan horizontal deux points melm,. Le contour apparent de la surface sur le plan vertical est donné par les droites K' et V menées du point s' aux points k' et V où aboutissent les tangentes de A perpendiculaires à la ligne de terre.

En raisonnant comme à l'article 112, on reconnaît quelles sont les génératrices vues sur l'un ou sur l'autre des plans de projection.

121. Un plan tangent à un cône en un point est tangent tout le long de la génératrice guipasse par ce point.