CHAPITRE II. — REPRÉSENTATION DES CYLINDRES ET DES CONES

On démontre ce théorème, comme celui qui lui correspond pour le cylindre (art. 115), en considérant deux génératrices G et G' {fig. 83), et faisant mouvoir la seconde sur la surface, jusqu'à ce qu'elle se confonde avec la première; alors les sécantes u et U de deux courbes m et M deviennent en même temps tangentes, et déterminent un même plan tangent aux points a et A.

121 a. Pour obtenir les points où une droite perce un cône, on fait passer un plan par la droite et par le sommet du cône : ce plan coupe le cône suivant des génératrices qui rencontrent la droite aux points cherchés.

122. On reconnaît que le cône est développable en considérant cette surface comme une pyramide ayant un nombre infini de faces. Les angles que les lignes tracées sur un cône font avec les génératrices, et entre elles, ne sont pas altérés par le développement.

Si Ton coupe un cône par une sphère ayant son centre au sommet, les longueurs interceptées sur les génératrices seront égales, et formeront en développement les rayons d'un arc de cercle qui sera la transformée de la courbe d'intersection.

123. On voit qu'il y a une grande analogie entre les propriétés du cône et celles du cylindre; c'est que le cylindre est un cône dont le sommet est transporté à l'infini, et que, par suite, il possède toutes les propriétés du cône qui ne dépendent pas de la distance à laquelle se trouve le sommet.

Cône de révolution.

124. Le cône de révolution mérite une mention spéciale. Il est engendré par une droite G [fig. 84), qui tourne autour d'un axe B qu'elle rencontre, en faisant toujours un même angle avec lui.

Un point quelconque M de la génératrice décrit un cercle A dont le centre 0 est sur l'axe, et dont le plan P est perpendiculaire à l'axe.

Toutes les génératrices du cône font des angles égaux avec le plan P, car ce sont des obliques qui s'éloignent également du pied de la perpendiculaire. Aucune autre ligne passant par le point S ne peut faire le même angle avec le plan P.

125. La trace FE [fig. 84) du plan Q tangent au cône le long de la génératrice SM est tangente au cercle A du cône, et par conséquent perpendiculaire au rayon OM et à la génératrice SM. Ces lignes comprennent ainsi un angle égal a celui des plans P et Q.

II suit de là que tous les plans tangents à un cône de révolution font, avec un plan perpendiculaire à Taxe, des angles égaux à ceux que forment les génératrices, et par conséquent égaux entre eux.

Tout plan passant par le point S, et faisant avec le plan P le même angle que les génératrices, est tangent au côna.

126. On emploie le cône de révolution pour la solution de divers problèmes. Nous en donnerons immédiatement un exemple.

Déterminer les génératrices d'un cône qui font un angle donné avec le plan horizontal.

Soient (s, s') le sommet et À la trace horizontale du cône donné (fig. 85). Nous traçons la droite s- e' faisant l'angle donné avec la ligne de terre, et la droite se parallèle à cette ligne. Les génératrices cherchées appartiennent à un cône de révolution dont l'axe est la verticale du point s, et dont la droite (se, s'é) est une génératrice. La trace de ce cône est le cercle décrit du point s comme centre, avec se pour rayon. Ses rencontres/? et q avec A font connaître les droites {spfsrp,)f [sqis,q') qui satisfont à la question.

On remarquera la manière dont ces lignes sont ponctuées, suivant leur position sur les nappes du cône.

Si l'arc décrit du points comme centre ne rencontrait pas la trace du cône, le problème n'aurait pas de solution.