Par un point dorme, mener un plan tangent à un cône
Le cône est donné par son sommet ($,*') {fig* 90) et par sa trace A. Nous le supposons limité à son sommet et au plan horizontal. Nous avons indiqué le contour apparent sur le plan vertical; il n'y en a pas sur le plan horizontal. Le point donné est (m, m!).
Le plan cherché, devant contenir une génératrice, passera par le sommet, et par suite la droite ($m>$( m') y sera tout entière. La trace horizontale du plan passe
5o LIVRE II. '— GYLINDRE8, COIN ES ET SURFACES DE RÉVOL0TIO!!.
donc par la trace horizontale b de cette droite ; elle doit d'ailleurs être tangente a la trace A du cône; il y a autant de solutions que Ton peut tracer de droites satisfaisant à ces conditions. Nous en trouvons deux» T et T,. Les génératrices de contact sont (sr9 s' r'j) et {$r< , s' r\).
La trace verticale de chacun des deux plans passe par la trace verticale c' de la droite (srn, ï m').
Si la construction avait placé le point b sur la trace A, le point donné (m, m1) appartiendrait à la surface du cône, et nous aurions un seul plan tangent.
131. Mener à un cône un plan tangent parallèle à une droite donnée.
Le plan cherché contient la droite (sb,s' b') menée par le sommet (*, s') parallèlement à la droite donnée (D, D') (fig. 90). La question se trouve ainsi ramenée au problème que nous venons de traiter.
132. Les problèmes que nous avons résolus dans les articles précédents peuvent être considérés comme des questions d'ombre pour des cylindres d'une longueur indéfinie.
Si un cylindre est éclairé par des rayons qui divergent d'un point {m, m') (Jig. 88), les lignes d'ombre seront les génératrices de contact des plans tangents (T, T')f (T, , T\ ) ; car les rayons dirigés de (m, m') aux différents points de ces génératrices seront tangents comme contenus dans des plans tangents.
Les traces des plans tangents au delà des points de contact sont les limites des ombres portées sur les plans de projection; ainsi l'ombre sur le plan horizontal est urirt ut.
Si H figure 88 avait été établie en vue d'un problème d'ombre, les parties br et 6r, des traces auraient dû être pointillées.
La figure 89 montre, pour un cylindre éclairé par des rayons parallèles h une direction (D, D'), les génératrices Imites de l'ombre propre, et les traces des plans tangents qui limitent l'ombre portée sur les plans de projection. Considérées comme lignes d'ombre sur le plan horizontal, les droites T et T< ne devraient pas être prolongées à droite des points r et r<.
La figure 90 présente également les constructions nécessaires pour déterminer les ombres d'un cône.
133. Mener à un cylindre un plan tangent qui fasse avec le plan horizontal un angle donné.
Prenons un point (;, s*) (fig. 86), et considérons-le comme le sommet d'un cône de révolution dont les génératrices rencontrent le plan horizontal sous l'angle donné. Nous pouvons tracer l'une des deux génératrices parallèles au plan vertical, puis le cercle trace du cône (art. 126).
Le plan cherché fait avec le plan horizontal le même angle que les plans tan* gents au cône; d'ailleurs il contient une génératrice du cylindre, il est donc parallèle au plan mené tangentiellement au cône par la droite (sb9 s'bf) parallèle aux génératrices du cylindre : sa trace est ainsi parallèle à / ou a u; c'est T, T,, U ou Uf .
