CHAPITRE 111. ■-* PLAItS TANGENTS AU CYLINDRE ET AU CONE. 5l

Nous trouvons ainsi quatre solutions, mais il n'y en aurait que deux si, par la nature du problème, le dièdre égal a l'angle donné devait être du côté du cylindre; les traces T< et U, seraient alors à rejeter, parce que les plans qu'elles déterminent, bien que parallèles aux deux autres, devraient être considérés comme formant avec le plan horizontal des angles supplémentaires de l'angle donné*

On obtient la trace verticale de chaque plan en cherchant la trace verticale de là génératrice de contact, ou d'une droite parallèle à cette ligne menée par un point quelconque de la trace horizontale. Nous avons cru inutile de reproduire oes constructions.

U n'y aurait pas de solution si le point b était dans l'intérieur du cercle s, et si ta trace du cône n'avait pas de tangente parallèle, ni à $ ni a u.

134. Mener à un cône un plan tangent qui fasse un angle donné avec le plan horizontal.

On construira la trace horizontale d'un cône de révolution qui aura son sommet au sommet du cône donné, et dont les génératrices feront l'angle donné avec le plan horizontal. Les plans cherchés auront pour traces, sur ce plan, les tangentes communes aux traces du cône donné et du cône de révolution.

Si l'angle donné est aigu, et si le dièdre qui lui estégal doit être du côté du cône, on ne devra admettre que les tangentes qui laisseront les traces d'un même côté.

Il y a des cas d'impossibilité dans ce problème comme dans le précédent

Solution, par la théorie des plans tangents au cône de révolution, de divers problèmes relatifs à la ligne droite et au plan.

155. On emploie un cône de révolution dans toutes les questions où un plan doit faire avec un plan donné un angle donné.

Construire un plan qui passe par une droite donnée et fasse un angle donné avec le plan horizontal.

Soit (bc, b' d) la droite donnée {fig. ga). Un point (s, s*) de cette ligne est pris pour le sommet d'un cône de révolution dont les génératrices font avec le plan horizontal l'angle donné. Il n'y a qu'à mener à ce cône un plan tangent qui contienne la droite : nous en trouvons deux (P, P') et (Q, Q'). Si le sens de l'inclinaison était indiqué par la nature du problème, il pourrait y avoir lieu de rejeter une des deux solutions.

La trace P ne rencontrant pas la ligne de terre, pour déterminer P' nous avons cherché la trace verticale d'une droite passant par deux points (m, m') et (n, ri)f situés l'un sur la droite donnée, l'autre sur la trace du plan.

136. Construire un plan qui contienne une droite donnée et fasse un angle donné avec unplati donné.

5a LIVRE II. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

On ramène cette question à la précédente, en changeant les plans "de projection (art. 60).

Soient (P, F) le plan et (eh, ék) la droite (fig. 91). Nous prenons un plan auxiliaire (cgf gg) perpendiculaire au plan horizontal et au plan donné, et nous le rabattons en le faisant tourner autour de la droite cg qui devient une nouvelle ligne de terre; la trace du plan (P, P') sur ce nouveau plan vertical est P".

La droite donnée coupe le plan auxiliaire au point (sfï) qui se place en f sur le rabattement. Nous prenons ce point pour sommet d'un cône de révolution dont les génératrices font l'angle donné avec le plan (P, P"). En traçant les droites *"0" et *"R", Tune perpendiculaire à P", l'autre ayant sur cette ligne l'inclinaison voulue, nous avons l'axe du cône, et l'une des deux génératrices situées dans le plan auxiliaire. Nous rabattons le plan (P, P) sur le plan horizontal, et nous décrivons le cercle OR trace du cône.

La droite donnée (eh, éh!) perce le plan (P,P") au point (b,b") qui se place enB. Les tangentes B/ et B£ sont les traces des plans cherchés sur le plan (P, F) rabattu ; elles rencontrent le rabattement Pt de la trace verticale F aux points mi et n, que nous relevons sur P" en m et n. Comme d'ailleurs les plans doivent contenir la droite (eh, cfh'), on voit que leurs traces sur les plans coordonnés primitifs sont hei et inh! pour l'un, ej etjmh' pour l'autre.

137. Connaissant une face /3 d'un angle trièdre, V angle dièdre opposé B et Vun des deux autres C, trouver les faces inconnues a et y, et le troisième angle dièdre A.

Par un point S (fig. 61) nous traçons sur le plan de la figure supposé horizontal deux droites Se et Sa comprenant entre elles l'angle ]3 ; nous prenons un plan vertical EN perpendiculaire à l'arête Se, et nous plaçons sous l'inclinaison donnée G la trace verticale ER de la face opposée à Sa. Pour former l'angle trièdre, il faut mener par la droite Sa un plan formant avec le plan (SE, ER) l'angle donné B; c'est un problème que nous savons résoudre (art. 136) : la position particulière des données rend la construction très-facile.

Nous traçons les droites NP etNR, Tune perpendiculaire à ER, l'autre formant avec cette ligne l'angle B : ce sont l'axe et une génératrice d'un cône de révolution auquel la troisième face doit être tangente. Si nous rabattons le plan (SE, ER) sur le plan horizontal , nous pourrons décrire le cercle base du cône , et placer la troisième arête SI, qui doit le toucher; cette construction nous fait connaître l'angle bSc du plan de la seconde face.

La tangente SJ doit être rejetée; elle correspond en effet à une face qui serait en deçà de l'axe du cône par rapport à l'arête Se, et qui, par conséquent, ferait en regard de la face |3 non pas l'angle B, mais son supplément.

Si, les angles |3 et C restant les mêmes, l'angle B était remplacé par son supplément, la construction ne serait pas modifiée; elle convient donc à deux angles trièdres différents. Suivant qu'une droite Si tangente à la base du cône laissera