CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS AU CYLINDRE ET AU CONE
les points 7? et E d'un même côté, ou passera entre eux, elle correspondra à l'angle trièdre dans lequel l'angle B est aigu, ou à celui dans lequel il est obtus.
Sur la figure 61 bis cet angle est aigu, et chacune des tangentes SI et SJ laisse les points/? et E d'un même côté; elles doivent donc être admises toutes les deux, mais la dernière se trouvant abaissée au-dessous du plan horizontal quand le plan (SE, ER) est relevé, c'est son prolongement Sb' qui forme la troisième arête. Nous trouvons ainsi que l'angle plan de la seconde face est égal à bSE ou à A' SE.
Si, les angles |3 et C conservant les grandeurs qu'ils ont sur la figure 61 bis, l'angle B était remplacé par son supplément, les deux tangentes devraient être rejetées, et l'angle trièdre serait impossible.
138. Supposons que l'on rabatte la troisième face en la faisant tourner autour de Sa : le point de contact I (fig. 61) se placera sur l'arc de cercle décrit du points comme centre avec SI pour rayon. Comme d'ailleurs nous savons que sa distance au sommet N du cône est la longueur NR d'une génératrice, nous pouvons déterminer sa position I, par recoupement.
Dans l'espace, la troisième arête est tangente à la base du cône, et par suite perpendiculaire à la génératrice du point de contact I. D'après cela le rabattement sbi doit être tangent en I, au cercle dont le centre est en N; on peut donc se dispenser de tracer l'arc IJI,.
Si le cercle décrit du point/? comme centre passait par le point S, les points I, J et I, se réuniraient à S, et l'angle NS6, serait droit.
Sur la figure 61 bis, en menant du point S des tangentes au cercle dont le rayon est NR, nous trouvons que la troisième face est asbt dans la première solution, et aSb\ dans la seconde. Ces angles sont supplémentaires.
139. La figure 6i, faite en ordre inverse, donne une solution du problème de l'angle trièdre dans le troisième cas, déjà examiné à l'article 77.
Les données sont les angles cSa, aSè, et NER. Les diverses droites qui les forment sur la figure étant placées, on abaisse les perpendiculaires NI, et NP. Un cône de révolution dont l'axe serait NP, et dont la droite NR égale à NI, serait une génératrice, toucherait la face aSft, relevée, et la troisième arête du trièdre serait tangente au cercle de sa base situé dans le plan (SE, ER). Si donc nous rabattons ce plan par une rotation autour de SE, nous pourrons tracer un cercle que la troisième arête devra toucher.
Les tangentes SI et SJ doivent être admises toutes les deux, parce qu'elles se trouvent, après le relèvement, sur la partie du plan qui forme avec le plan horizontal l'angle donné G. Nous trouvons ainsi deux grandeurs ESI, ESJ pour le troisième angle plan.
Il y a deux cas d'impossibilité : celui où les tangentes sont toutes les deux sur la partie inférieure du plan de la troisième face, et celui où le cercle décrit du point N comme centre avec NI, pour rayon ne rencontre pas la droite ER.
54 MVRK II. ■*• CYLINDRE*, COKES ET BOKFàCES DE RÉVOLUTION.
140. Mener un plan tangent à deux cônes de résolution dont les sommets coïncident, et dont les axes sont dans le plan horizontal de projection.
Connaissant les angles au sommet et les axes EP, EQ des deux cônes (fig. 59 a), nous pouvons tracer Tune des deux génératrices que chacun d'eux possède sur le plan horizontal. Nous obtenons ainsi la droite Ex génératrice du premier cône et la droite Ey génératrice du second.
D'un point P de Taxe du premier cône, nous abaissons une perpendiculaire Px sur Ex : une sphère ayant son centre en P et Par pour rayon sera touchée par toutefe les génératrices du premier cône et par tous ses plans tangents. De ihêmê une sphère ayant son centre en Q, et pour rayon la perpendiculaire Qf à Eyt aère touôhée par tous les plans tangents du second cône. Le problème revient, ett conséquence, à mener du point E un plan tangent à deux Bphères ayant leurs centres en P et en Q, et respectivement pour rayons Vx et Qy.
Nous supposons maintenant que le point Q a été déterminé sur EQ par la condition que Qy ait la même longueur que Vx : les deux sphères sont égales, et la trace du plan tangent est la droite El parallèle à la ligne des centres PQ.
Nous prenons un plan vertical de projection perpendiculaire à Pun des aies EP : le cône correspondant a pour trace verticale un cercle dont nous n'ayons tracé qu'un quart; la tangente li est la trace du plan tangent.
La seconde tangente menée du point I à ta trace du cône donne une seconde solution. Chacun des deux plans tangents ainsi obtenus laisse les sphères d'un même côté. Si les sphères devaient être placées de côtés différents du plan tangent, la trace de ce plan, au lieu d'être parallèle à la ligne des centres QP, passerait par le milieu de cette droite (1).
141. Déterminer les faces a, |3 et 7 d'un angle trièdre dont on connaît tes angles dièdres A, B, C.
Nous désignerons simultanément par a, (3 et 7 les faces de l'angle triedïe et les plans qui les contiennent. Nous aurons ainsi l'angle et et le plan a.
Sur le plan de la figure, que nous supposons horizontal, nous traçons deux droites EN et Em' comprenant un angle égal à C [fig. 62), et nous les considérons comme les traces de deux plans verticaux, qui seront ceux des faces ]3 et a, respectivement opposées aux dièdres B et A. Nous pouvons de plus supposer que le sommet de l'angle trièdre se trouve au point E.
Le plan 7 opposé à l'angle C passe par le sommet E, et fait avec les plans verticaux EN et Em! des angles connus A et B» Nous pouvons par conséquent déterroi-
(1) La solution du problème de l'article 140, par la considération de deux sphères égalés, est due & Hachette. Olivier a donné une autre solution dé ce problème.
