CHAPITRE 11!» ~* PLANS TANGENTS AU CYLINDRE ET AU CONE

ner deux cônes de révolution qui doivent être touchés par ce plan ; ils ont l'un et l'autre leur sommet en E.

Le premier cône a pour axe la droite Ec perpendiculaire à EN et par suite au plan /3. La ligne Eu, qui fait avec le prolongement de EN un angle égal à A, est une des deux génératrices contenues dans le plan horizontal. De même, si nous traçons les droites EL et Ep, faisant respectivement avec Ew' un angle droit et un angle égal à B, nous aurons Taxe et une génératrice du second cône.

En opérant comme il est dit à l'article précédent, nous déterminons la trace horizontale El du plan 7 tangent aux deux cônes, et sa trace Ii sur le plan vertical 1K perpendiculaire à EP et, par suite, parallèle à |3.

Les droites \c et Vi sont parallèles aux intersections du plan |3 avec les plans a et 7, et par suite l'angle c\i est égal k |3. Le problème peut maintenant être considéré comme résolu.

141 a. Les constructions faites permettent d'obtenir très-facilement les angles a et 7. Nous rabattons le plan vertical |3 autour de sa trace EN, et nous supposons que l'angle trièdre a été transporté parallèlement à lui-même, de manière que son sommet se trouve en un point S sur la verticale du point E; en traçant SN parallèle à Ii, nous avons dans ESN la face /3.

Quand le sommet de l'angle trièdre est élevé en S, la trace El du plan 7 se transporte parallèlement à elle-même, et vient passer par le point N. Les deux traces de ce plan dans sa position définitive sont m'N et NS; les deux traces du plan asont/n'Eet ES.

Le point m', intersection des traces horizontales des plans a et |3, appartient à la troisième arête; il est facile de voir que» quand on rabat ces plans sur le plan vertical, le point rn! est porté en M d'un côté, et en M, de l'autre. Les angles cherchés ql et 7 sont ainsi MSE et NSM,.

Nous aurions pu placer le sommet de l'angle trièdre en V, mais nous avons cru qu'en lui donnant une autre position S, les diverses constructions seraient plus % faciles à saisir et b distinguer. Si l'on suppose que les points V et S soient d'un même côté du plan horizontal, les rabattements autour des lignes de terre EN et IK sont faits en sens contraire, et dans l'espace, la droite SN est parallèle, non pas à IV, mais à la seconde tangente menée du point I k la trace du cône. Les deux tangentes déterminent deux angles trièdres symétriques.

Nous avons pris le point P du côté de EN où nous avions placé l'angle C, et le point Q du côté de Ew' où est le même angle, de manière que le plan de la face 7 laissât d'un même côté les deux sphères touchées. Si, conservant le point P, nous avions placé le point Q sur le prolongement de LE au delà de E, le plan eût laisse les sphères de côtés différents, et, en conséquence, sa trace eût passé par le milieu de la ligne des centres (art. 140).

141 b. Pour qu'il y ait une solution, il faut que la longueur RI soit plus grande

que le rayon Ku. On reconnaîtra que cela arrive toutes les fois que la somme des trois angles donnés surpasse 180 degrés. Nous ne nous arrêterons pas à cette question de Géométrie plane.

Si l'un des angles dièdres est droit, en le mettant dans la position G on pourra conserver le tracé, mais il vaut mieux lui donner la position B; le second cône se réduit à son axe EQ et le problème consiste à mener par cette droite un plan tangent au premier cône.