SECTIONS PLANES DU CYLINDRE ET DU CONE

Sections planes du cylindre.

142. Pour construire l'intersection d'un cylindre par un plan, on prend sur la surface un certain nombre de génératrices convenablement espacées, on détermine séparément les points où elles percent le plan, et on les réunit, sur chaque plan de projection, par un trait continu.

Lorsque l'on a obtenu les projections de la courbe, on peut déterminer sa vraie grandeur en rendant son plan parallèle a l'un des plans coordonnés, et construire sa transformée dans le développement du cylindre.

Ier Exemple. — Cylindre vertical; plan sécant perpendiculaire au plan vertical. (Planche XXI.)

143. Nous supposons d'abord le cylindre vertical, et le plan sécant (P»P) (fig. 93) perpendiculaire au plan vertical. Les projections de l'intersection sont, sur le plan horizontal, la trace du cylindre, et sur le plan vertical la partie de la trace du plan comprise dans le contour apparent du cylindre. Nous n'avons donc à déterminer que la vraie grandeur de la section, et sa transformée par développement.

Nous rabattons le plan sécant sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de sa trace P'. Un point quelconque (cycr) tourne autour du point <?', et se place en C sur une perpendiculaire à la trace P', et à une distance de cette ligne égale a c9c. Il faut opérer sur un nombre de points assez grand pour qu'on puisse tracer la courbe sans incertitude.

On trouve la position que prend une tangente (/r, P') en cherchant par le même procédé le point où se place l'un quelconque {r9r') de ses points. La constructioq

CHAPITRE 1?. — SECTIONS PLANES DE8 CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXI. 67

est ud peu plus simple lorsque Ton choisit un point tel que (/, d') sur une ligne (ddtf d') déjà tracée sur le rabattement.

On peut également résoudre le problème en faisant tourner le plan autour de Tune quelconque de ses horizontales jusqu'à le rendre parallèle au plan horizontal, et déterminant la nouvelle projection de la courbe.

144. Dans le développement du cylindre, la trace étant une section droite, a pour transformée une ligne droile à laquelle les génératrices sont perpendiculaires (art. 118).

Nous supposons le cylindre coupé suivant la génératrice qui a sa trace en a, et nous portons sur une droite XY {fig. 94) des longueurs égales aux divisions successives de la section droite à partir de a; nous élevons ensuite des perpendiculaires auxquelles nous donnons les longueurs des génératrices mesurées sur le plan vertical ou elles sont projetées en vraie grandeur.

L'angle formé par une tangente de la courbe et la génératrice du point de contact est le même dans l'espace et ne développement (art. 118). D'après cela, il est facile de construire la tangente de la transformée, en un point quelconque F [fig. 94).

Considérons le triangle formé par la génératrice du point (/,/') (fig- 93), la tangente de la courbe en ce point, et sa projection //sur le plan horizontal qui contient le point (d, d) : pour reproduire ce triangle sur le développement, il suffit de prendre la longueur yt(fig. 94) égale \ft(fig. 93); l'hypoténuse ¥t est la tangente. On pourrait limiter cette droite à tout autre plan horizontal, par exemple à celui du point (r, r'); la longueur/r {fig. 93) serait alors portée en <p, r [fig. 94).

145. Tous les points de la courbe se projetant verticalement sur la droite limitée a' g', on voit que les points (a, a') et (g, g') sont, l'un le moins élevé, et l'autre celui qui l'est le plus. Les tangentes aux points A, G et Ai de la transformée (fig. 94) sont donc horizontales.

On arriverait au même résultat en remarquant que les tangentes à la trace du cylindre en a et en g sont parallèles à P, et par suite à toutes les horizontales du plan sécant. Les tangentes aux points correspondants de la courbe sont donc horizontales et restent telles dans le développement.

Les tangentes de l'a courbe aux points (d,d')f (dtf d') sont des lignes de plus grande pente du plan sécant, parce que leurs projections horizontales sont perpendiculaires à P; elles ont donc sur le développement une inclinaison plus grande que les autres tangentes, et de là résultent des inflexions aux points D et D4 de la transformée (art. 87).

On verrait l'inflexion se produire sur le plan vertical (fig. 93), si l'on y projetait un développement fait sur le plan tangent le long de la verticale du point d. Les points (e,é) et (cfcf) s'éloigneraient l'un à droite, l'autre à gauche, chacun en restant à la même hauteur, et par suite ils se trouveraient de côtés différents de la trace P' qui serait toujours la projection de la tangente.

146. Si l'on compare Tune à l'autre la trace du cylindre et la courbe de section rabattue, on verra que les points homologues de ces lignes se trouvent à des distances égales des droites aget AG, et que leurs abscisses (i), mesurées sur ces lignes à partir des points a et A, sont dans un rapport constant, celui de ag a a' g'. D'après cela, quand la trace du cylindre est un cercle, la section est une ellipse, comme nous savons que cela doit être. Le centre de cette courbe, avant son rabattement, est un point (o, d') où le plan coupe Taxe du cylindre. Le petit axe est dans un plan passant par le centre et perpendiculaire aux génératrices.

147. La projection a' g' {fig.tfî) étant une ligne droite, il y a proportionnalité entre les ordonnées et les abscisses de ses différents points; mais les ordonnées sont les mêmes que celles de la transformée [fig. 94 ), et les abscisses mesurées sur XY à partir de d0 sont les sinus des arcs formés par les abscisses de la transformée enroulées sur la section droite que nous supposons un cercle. Nous voyons donc quelle est la loi qui relie les coordonnées de la transformée par développement. Cette courbe, que Ton appelle sinusoïde, est géométriquement indéfinie, comme si la surface d'un cylindre était indéfiniment déroulée ; mais, dans les applications, la partie utile ne peut pas avoir une longueur plus grande que celle qui correspond a une circonférence de la seclion droite.

IF Exemple. — Cylindre vertical; plan sécant dans une position quelconque. (Planche XX T.)

i 48. Nous allons maintenant supposerqu'un cylindre vertical esteoupé par un plan (P,P') (jig. 9 5) ayant une position quelconque par rapport aux plans coordonnés.

11 faut d'abord construire la projection verticale de l'intersection. Le problème revient à celui-ci : Déterminer la projection verticale d'une courbe dont on connaît la projection horizontale, et qui est située dans un plan donné.

Par un point c pris arbitrairement sur la trace du cylindre, nous menons une droite cc2 parallèle à P; cette ligne est la projection d'une horizontale du plan dont il est facile de déterminer la projection verticale c2c'. Relevant sur cette droite c en c', nous avons la projection verticale du point de l'intersection qui se projette horizontalement en c.

La ligne cc2 rencontre la trace du cylindre en un. second point c, qu'on relève également en c\ .

Les droites aa2 et gg2 parallèles à P, et tangentes à la trace, correspondent aux horizontales du plan entre lesquelles la courbe est coiriprise; elles font trouver le point le moins élevé et celui qui Test le plus.

(1) La perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite prise pour axe est X ordonnée du point, et la distance du pied de la perpendiculaire à un point de Taxe pris pour origine en est Y abscisse. La droite ag étant prise pour axe (fi%. 93), et le point a pour origine, les longueurs ao et otl sont l'abscisse et l'ordonnée du point d. L'abscisse et l'ordonnée sont les coordonnées du point.