CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DFS CYLINDRES ET DES CONES. 5p

Pour déterminer le point V situé sur Tune des droites qui forment le contour apparent du cylindre sur le plan vertical, il faut opérer sur le point i de la trace horizontale, où la tangente est perpendiculaire a la ligne de terre.

Nous avons ponctué la figure dans la supposition que le cylindre était limité au plan de section.

149. La tangente en un point/' est la projection verticale de la*ligne du plan (P, P') qui se projette horizontalement sur la droite tfr tangente en/ à la base du cylindre. On l'obtient par la construction expliquée à l'article 29. On peut d'ailleurs déterminer un quelconque de ses points t\ en opérant comme pour les points de la courbe.

Si Ton cherchait les tangentes aux points V et y', on trouverait les génératrices qui forment le contour apparent, et il doit en être ainsi; car, en ces points, le plan tangent, qui contient la génératrice et la tangente à la courbe, est perpendiculaire au plan vertical, et projette ces deux droites sur sa tràee.

Les courbes qui sont sur une surface ont ainsi leur projection tangente au contour apparent. Il n'y a d'exception que quand la tangente de la courbe au point où elle rencontre le contour apparent dans l'espace est perpendiculaire au plan de projection, parce qu'alors cette tangente est projetée tout entière sur un point (art. 116).

# Cette circonstance se présente sur la figure $5; les tangentes aux points (a, a') et (g, g') sont perpendiculaires au plan vertical, et la projection a! g' de la courbe n'est pas tangente aux droites qui forment le contour apparent du cylindre sur le plan vertical. Elle s'y arrête» et est géométriquement prolongée par des parties de la droite P' que l'on doit considérer comme parasites.

150. Nous allons maintenant rabattre le plan sécant pour avoir la courbe dans sa vraie grandeur : nous arriverons facilement au résultat par deux rotations.

Nous faisons tourner le plan sécant d'abord autour de la verticale du point o jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire au plan vertical, puis autour de sa nouvelle trace sur ce plan. Le point I vient en I,, et la trace verticale du plan se trouve être \\ o'. Le second mouvement amène le point (o, o') sur la droite o'T perpendiculaire à \\ o' ; sa distance à celte ligne devrait être oo0, mais pour dégager complètement la courbe rabattue des autres lignes de la figure, nous repoussons le point jusqu'en 0, à une distance convenable et d'ailleurs arbitraire. La ligne du plan qui se projetait sur a^est devenue parallèle au plan vertical, et arrive se placer sur la droite AOG, parallèle à I', o'.

Si nous considérons un point quelconque (ef ë)> la première rotation amène sa projection verticale en t sur l\ o', la seconde le place en E, à une distance de AG égale a ey.

La tangente est obtenue par les mêmes procédés.

On voit qu'il n'est pas beaucoup plus difficile de rabattre une figure plane quand

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son plan est oblique aux plans coordonnés, que quand il est perpendiculaire à l'un d'eux. H est inutile de dire que Ton peut construire la vraie grandeur de la section, en faisant tourner le plan (P,P') autour de Tune de ses traces, de manière à le rabattre sur un plan de projection.

Le développement du cylindre peut être construit immédiatement : on trouve pour trariSformée de l'intersection la courbe AA, (fig. 94), car les figures g'i etg5 représentent le même tronc de cylindre dans deux positions différentes, par rapport au plan vertical.

151. La trace du cylindre étant un cercle» la section et sa projection sur un plan quelconque sont des ellipses. Les tangentes aux points a' et g' [fig. 95) sont parallèles et horizontales; la droite à g' est donc un diamètre, et son diamètre conjugué est la corde horizontale ûT d\ qui passe à égales distances des points a' et g'.

On aurait encore deux diamètres conjugués en traçant la droite ïj\ et cherchant les points situés sur la verticale du point o'. Enfin, d'une manière plus générale, on peut prendre sur le cercle trace du cylindre deux diamètres k angle droit, et chercher ce qu'ils deviennent sur la projection verticale. Cela résulte de ce que des cordes parallèles dans l'espace sont parallèles en projection, et que leurs milieux se correspondent.

152. Dans les constructions de la Géométrie descriptive, les courbes sont obtenues d'après les conditions du problème, comme projections, intersections ou contours apparents. Quelquefois cependant, quand on a déterminé la nature d'une courbe, on peut employer pour la tracer des procédés qui résultent de ses propriétés spéciales.

L'ellipse est, après le cercle, la courbe que l'on rencontre le plus souvent daus les applications. Nous supposons que l'on connaît ses principales propriétés, mais nous croyons devoir rappeler quelques constructions qui sont souvent utiles.

Pour tracer une ellipse dont on a les axes AA' et BB' (fig. 99), on porte sur une règle, et à partir d'un point M, deux longueurs M q et M/? égales, Tune au demi petit axe, et l'autre au demi grand axe, puis on place la règle en diverses positions, de manière que les points q et p soient toujours le premier sur le grand axe, et le second sur le petit; le point M se trouve nécessairement sur l'ellipse.

Les segments Mp et Mq peuvent être placés d'un même côté du point M, ou de côtés opposés. La première disposition est généralement plus commode, parce que la construction occupe moins d'étendue sur la feuille, mais elle présente peu de précision quand la différence des axes est petite.

153. Il y a plusieurs moyens de trouver les axes d'une ellipse quand on connaît deux demi-diamètres conjugués OM et ON (fig. 100). Voici celui que nous croyons le plus simple.

De l'extrémité M de l'un des diamètres, on abaisse une perpendiculaire MI sur l'autre, et l'on prend sur cette ligne^des longueurs MG et MC, égales à ON; on

CHAPITRE 1T. — SECTIONS PLANES DES CYLINDRES ET DES CONES. — PL. XXII. 6l

trace OC et OC,. On mènepar le point M une sécante parallèle à OC,; elle coupe OC en un point E à partir duquel on prend les segments Ep et Eq égaux à EO. Les axes sont en directions, les droites Op et Oq. en grandeur les doubles des segments Mq et Mp.

Si Ton trace la sécante parallèlement à la plus petite des deux longueurs OC *t OC, {figé 100 bis) f le point M sera entre les points p et q. On opère d'une manière ou de l'autre» suivant celle des deux dispositions représentées sur h figure yc) que l'on veut employer pour décrire l'ellipse.

154. On peut, du reste, tracer facilement une ellipse par points, quand on connaît denx diamètres conjugués ri g* et d' d\ {fig*<$). Décrivons un cercle sur a! g' comme diamètre, élevons la perpendiculaire omf et joignons md\ ; si Ton construit sur une ordonnée quelconque en du cercle un triangle ene\ semblable à omd\ , le point et et le point e' situé à une distance égale de e appartiendront à l'ellipse.

On voit d'après cela que nous pourrons toujours regarder une ellipse comme tracée quand nous aurons obtenu deux diamètres conjugués.

m# Exemple. — Cas général. [Planche XXII.)

155. Nous allons maintenant construire l'intersection d'un cylindre par un plan dans le cas le plus général. Le cylindre est donné comme à l'ordinaire par sa trace horizontale et la direction de ses génératrices. Les traces du plan sécant sont les droites Q et Q' (fig. 97).

Nous pourrions déterminer les projections de la courbe en cherchant» d'après les procédés ordinaires (art. 30), l'intersection d'un certain nombre de génératrices avec le plan, mais nous devons disposer les constructions en vue du rabattement qu'il sera nécessaire de faire pour obtenir la courbe dans sa vraie grandeur, et des tracés qu'exigera la détermination de la section droite pour le développement du cylindre.

Nous considérons le plan vertical qui contient une génératrice quelconque, par exemple celle dont les projections sont et et e'E', et nous le rabattons sur le plan horizontal en supposant qu'il entraine avec lui la génératrice et sa propre intersection avec le plan (Q, Q').

11 est facile d'avoir le rabattement ee% de la génératrice, en cherchant le point N où se place un point (n, ri) de cette droite.

L'horizontale du plan (Q, Q') située à la même hauteur que (n, ri) a sa trace verticale en r\ et se projette horizontalement sur la droite rm parallèle à Q; le point où elle rencontre le plan vertical et a sa projection en m, et son rabattement en M à la môme distance que N de la droite et. La section du plan (Q, Q') par le plan vertical que nous considérons est ainsi rabattue sur la droite eM; son point de rencontre *, avec la génératrice eN appartient k la courbe. Si nous relevons le

plan, le point e, ira se projeter sur le plan horizontal ea'E, et sur le plan vertical en E', à une hauteur au-dessus de* la ligne de terre, donnée par la perpendicu* laire <?, E. Le point E' doit d'ailleurs se trouver sur la projection verticale- de la génératrice considérée.

Les mêmes constructions devraient être reproduites pour différentes génératrices; mais il est à remarquer que ces droites, faisant les mêmes angles avec leurs projections, se trouveront encore parallèles lorsqu'elles auront été ramenées sur le plan horizontal par le rabattement successif de leurs plans projetants. Il en sera de même des intersections de ces plans avec le plan donné (Q, Q'). En conséquence, après avoir pris sur la trace du cylindre un certain nombre de points convenable* ment espacés a, 6, c, . . . , on tracera les projections des génératrices correspondantes, et l'on obtiendra ainsi sur la trace Q les points a, ]3, y,.,. On mènera ensuite par les points a, 6, c,... et par les points a, ]3, 7,... des droites respectivement parallèles à eeK et à ieK\ les points de rencontre ctnb^cit... seront ramenésen A,B,C,... par des droites perpendiculaires aux projections des génératrices, et de là en A', B', C',... sur les projections verticales des mêmes lignes.

156. La tangente en un point (D, D') est l'intersection du plan sécant avec le plan tangent le long de la génératrice (t/D, dD'). Si les traces horizontales Q et dp de ces plans se rencontraient dans le cadre de l'épure, nous aurions un point de la tangente; mais cela n'ayant pas lieu, par un point/) de la trace dp, nous concevons une droite parallèle aux génératrices du cylindre. Cette ligne est dans le plan tangent, et perce le plan (Q, Q') en un point de la tangente cherchée. Pour trouver ce point nous opérons comme précédemment, c'est-à-dire que nous traçons la ligne pit projection horizontale de la droite, puis les lignes/?/?, et np{ respectivement parallèles a eet et à ieK , et enfin que nous ramenons le point d'intersection pt de ces deux droites, d'abord en P, puis en P'.

157. Nous obtiendrons la vraie grandeur de la courbe en rabattant son plan sur le plan horizontal. Considérons un point quelconque du plan (Q,Q')f par exemple celui qui se projette en m : il va se placer en un point M{ sur la perpendiculaire mM, k Q, et à une distance de e égale à la longueur eM qui nous est donnée sur le premier rabattement. Nous avons ainsi la direction cM, de la droite sE< , et nous pouvons placer le point E,, rabattement de (E, E'), à la distance tet.

Les intersections du plan sécant avec les autres plans projetants des génératrices sont parallèles à sE< ; nous avons les longueurs de ces lignes sur les premiers rabattements, on construira donc la courbe A, B, C, ... sans difficulté.

Pour avoir la tangente au point D,, on transporte le point (P,P') en P, par le même procédé.

158. Pour faire le développement du cylindre, il faut d'abord déterminer sa section droite. Nous traçons une ligne a, 6, perpendiculaire aux projections des génératrices, et nous la considérons comme la trace d'un plan perpendiculaire au