CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. — PL. XXVIII

est 17,2. Le point de rencontre T2 et le point T2 qui lui correspond sur l'horizontale 17'» a' font connaître la tangente.

Nous avons opéré sur un plan horizontal plus élevé que celui qui nous avait d'abord servi, afin de maintenir les constructions dans le cadre de l'épure.

Par Suite des symétries que nous avons établies, les tangentes aux poinls (5,5') et (i4,i4') rencontrent la droite (RO,R'0') en un même point (K,K').

195. La projection horizontale de l'intersection louche les parallèles qui forment le contour apparent de la surface aux points. 3 et 16 d'une part, 9 et 10 de l'autre (art. 149).

La trace a' H' coupe la méridienne ET, D', aux poinls u' et v'\ la projection verticale de la courbe passe par ces points, et y est tangente à la méridienne, qui doit être considérée comme le contour apparent de la surface (art. 189). La projection traverse la méridienne en divers points, dont un se trouve entre 2! et 3'; ces rencontres ne correspondent pas à un point commun dans l'espace.

La projection verticale de l'intersection paraît se confondre, sur une petite longueur, avec la méridienne E'D'; mais en réalité elle la traverse seulement, et ces courbes ne se rencontrent même pas dans l'espace, comme on le voit par la projection horizontale (1).

196. Les deux projections de la courbe se correspondent point a point; ainsi le point 5 est la projection d'un seul point de la courbe qui est projeté verticalement en 5'. Il résulte de là que toute droite perpendiculaire k la ligne de terre rencontre les deux projections de l'intersection en un même nombre de points, et que ces projections ont des tangentes communes perpendiculaires à la ligne de terre; il y en a quatre : chacune d'elles forme les deux projections d'une même tangente de la courbe de l'espace. On voit immédiatement la position approximative des points de contact de ces lignes : l'un d'eux est entre (4»4') et (5,5'); mais on ne peut le déterminer d'une manière un peu précise que par une courbe d'erreur.

Après avoir tracé la tangente l\.t2 au point 4> nous cherchons dans le cercle dont le rayon est 4-*2 la longueur (\.c du sinus de l'angle qu'elle fait avec une perpendiculaire à la ligne de terre. Nous déterminerons ensuite, dans des cercles de même rayon, les sinus des angles analogues pour d'autres tangentes : on trouve pour celle du point 5 la ligne bb'.

(1) Si la courbe d'intersection coupait deux fois la méridienne (ED, E'D') près le point (7, 7'), elle aurait sur le plan vertical, avec cette ligne qui forme contour apparent, deux points de contact analogues à té et p. Alors, en déplaçant le plan sécant, on pourrait réunir ces points, et les courbes simplement tangentes dans l'espace auraient en projection un contact du troisième ordre.

Rien dans notre raisonnement n'est spécial aux surfaces de révolution ; ainsi nous voyons que quand une courbe tracée sur une surface est tangente à son contour apparent, le contact s'élève au troisième ordre sur le plan de projection .

8o LIVRE H. — CYLINDRES, CONES ET SURFACES DE RÉVOLUTION.

Ces longueurs sont ensuite portées sur les traces des différents plans auxiliaires, à partir d'une verticale XX, [fig. 1 13), à droite ou à gauche de cette ligne, suivant que sur le plan horizontal elles sont à droite ou a gauche des perpendiculaires t,cy T26,... à la ligne de terre. Quand on a déterminé un nombre suf-~ fisant de points a\ b' , c\ d'y on les unit par une courbe, et le point é où elle coupe la verticale XX, fait connaître la hauteur du parallèle qui contient le point pour lequel l'angle analogue à bT2b' est nul. Par crainte de jeter un peu de confusion sur l'épure, nous n'avons pas fait les opérations pour déterminer les points de la courbe qui sont sur ce parallèle.

Les autres points de l'intersection où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre sont situés près de (17, 17'), (12, ia')et (?,?')•

Principales propriétés de V hyperboloide de révolution. {PL XXVIlI,fiS. m.)

197. Nous allons nous occuper de la surface engendrée par la révolution d'une droite autour d'un axe qu'elle -ne rencontre pas; nous établirons tout d'abord celles de ses propriétés qui nous seront utiles pour les constructions.

L'axe est la verticale (0, OV); ae et de' sont les projections de la génératrice dans sa position initiale, que nous supposons parallèle au plan vertical.

Un point quelconque (p, p') décrit un parallèle qui se projette en vraie grandeur sur le plan horizontal. La perpendiculaire abaissée du point 0 sur ae donne la plus courte distance de l'axe à la génératrice, et le point (e,é) de cette droite, étant le plus rapproché de l'axe, décrit le plus petit parallèle ou cercle de gorge. Toutes les génératrices sont à la même distance de l'axe; par suite, leurs projections horizontales se trouvent également éloignées du point 0, et tangentes à la projection du cercle de gorge. Aucun point de la surface ne peut se projeter dans l'intérieur de ce cercle, qui présente ainsi le caractère géométrique de contour apparent, et doit être tangent, en projection horizontale, à toutes les lignes qu'il rencontre sur la surface, à moins que leur tangente au point de contact ne soit verticale (art. 189). La trace horizontale de la surface est le parallèle décrit par le point (a, d).

Sur la ligure, nous avons limité la génératrice au plan horizontal de projection et au plan du cercle de gorge ; mais elle doit être considérée comme indéfinie.

198. Prolongeons la droite ae jusqu'à sa seconde rencontre avec la trace de la surface en aK , relevons ce point en a\ sur la ligne de terre, et traçons la droite a\ 4 : les deux lignes [ae, de') et [ale9ditf) engendrent la même surface dans leur révolution autour de l'axe, car on voit, par la symétrie de la figure, que deux points (P>P')> (P*>p'i) situés à la même hauteur décrivent exactement le même cercle.