CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. — PL. XXVIII. 8l

Ces nouvelles génératrices rectilignes sont, comme les premières, à une distance de Taxe donnée par la ligne Oe; leurs projections sont donc aussi tangentes à la projection horizontale du cercle de gorge, ce qu'il était facile de prévoir puisque ce cercle forme contour apparent.

199. Supposons que Ton donne la projection horizontale m d'un point situé sur la surface, au-dessous du plan du cercle de gorge : en traçant la projection horizontale nmnt du parallèle qui passe par ce point, nous déterminerons sur les génératrices initiales des deux systèmes les points (n, ri) et (ni9 rit) qui décrivent ce cercle, et nous obtiendrons sa projection verticale ririif sur laquelle nous pourrons relever la projection iri du point.

Quand le point (n, ri) vient en (m, m'), la projection ane de la première génératrice, toujours tangente au cercle de gorge, prend la position smr, et l'on obtient la projection verticale correspondante s'm'r', en relevant les points s et r, respectivement sur A'A'j et F' G'. De même, quand le point (nlf n\) vient en (m, m'), la génératrice {aKnKe, dinief) prend la position ($,mr,, ^m'r^. Il passe donc par le point (m, m') deux génératrices faciles à déterminer : elles sont leurs propres tangentes, et par suite le plan tangent de la surface au point m a pour traces sst sur le plan horizontal de projection et rrK sur le plan du cercle de gorge. Ces lignes sont perpendiculaires à la trace Qm du plan méridien, comme nous savons que cela doit être (art. 190).

Si le point de la surface projeté en m avait été au-dessus du plan du cercle de gorge, on eût relevé n sur dief en ri\ et nt sur a'e'; les traces des génératrices projetées sur mr et mr{ eussent été aux points de rencontre du cercle AAf avec ces droites prolongées au delà de r et de r,.

200. Si le point de contact m change de position en restant toujours sur la génératrice rs, la droite sst tournera autour du point s. Le plan tangent n'est donc pas le même aux divers points d'une génératrice rectiligne, ainsi que cela a lieu pour les cônes et les cylindres.

On remarquera encore que le plan tangent coupe la surface suivant les droites rs et r{st. Ce résultat et celui que nous avons obtenu à l'article 191 nous montrent que le plan déterminé par les tangentes à toutes les courbes qui se croisent sur une surface en un point se présente quelquefois comme plan sécant.

201. Si nous supposons que l'horizontale {Oe, e!) tourne de 180 degrés, en entraînant avec elle la génératrice {ea%9efdi)9 cette ligne prendra la position (tbl9 é 'a'), et elle sera évidemment parallèle à {ea, e?a'). Nous voyons donc qu'une génératrice du premier système est toujours parallèle à une génératrice du second.

Les génératrices parallèles ea et zb{ déterminent le plan tangent à la surface au point infiniment éloigné où elles se rencontrent, comme rs et rhs{ déterminent le plan tangent en m. Les traces de ce plan tangent a l'infini sont ai,, eOt et a'e' sur le plan horizontal de projection, le plan du cercle de gorge et le plan vertical. I. ii

202. On construit la méridienne en relevant sur le plan vertical les points où les projections horizontales des différents parallèles rencontrent la droite AOA«, trace du méridien principal : ainsi P en F. On a

tang*<iV0'=h=3e'i

On déduit de celte équation

tang*aVO' = — =ï — >

en remarquant que les longueurs //i et P'i sont égales au cotépe et à l'hypoténuse pO du triangle rectangle pOe.

L'angle a'e'O' et le rayon eO du cercle de gorge sont constants; les longueurs e'i ci P'i peuvent être considérées comme les coordonnées du point quelconque F de la méridienne : on voit d'après cela que cette courbe est une hyperbole. Cette circonstance a fait donner à la surface le nom iï hyperboloïde de révolution (i).

Toute hyperbole peut être déterminée par l'équation qui précède, au moyen de valeurs convenables de l'angle aVO' et du rayon eO; il en résulte que la surface engendrée par la révolution d'une hyperbole quelconque autour de son axe non transverse admet toujours deux systèmes de génératrices rectilignes.

203. La méridienne que nous venons de construire est de front; elle forme par suite le contour apparent de la surface sur le plan vertical (art. 189), et les projections des génératrices lui sont toutes tangentes. Ainsi la droite str\ devra être tangente à l'hyperbole au point v\> projection verticale de l'intersection de la génératrice (stri9 s\r\) avec le plan méridien AA,. Supposons maintenant que la ligne (st ri9 s\ r\) tourne sur la surface, de manière que le point (rlf /J se rapproche de (e, e'), le point de contact v\ s'éloignera, et sera a l'infini quand la droite r, $, aura pris la position eaK . La droite dt e est donc une tangente de la méridienne dont le point de contact s'est éloigné à l'infini, c'est-à-dire une asymptote. La projection horizontale de cette ligne est Oaf; on voit qu'elle est parallèle aux deux génératrices (ean c' dt)9 (eh, c' a\) et dans le même plan qu'elles.

Par les mêmes raisons, la droite (0«, e'a'j, seconde asymptote de l'hyperbole méridienne, est parallèle aux génératrices (ca, c' a'), (tbn é a'), et dans le plan qu'elles déterminent.

On peut construire la méridienne en déterminant les points où les génératrices percent le plan vertical AA,. De cette manière on obtient lés tangentes à la courbe et leurs points de contact.

(i) En Géométrie générale on considère deux liyperboloïdes de révolution : l'un à une nappe est celui dont nous nous occupons, l'autre à deux nappes est engendré par la révolution dune hyperbole autour de son axe transverse. Nous ne parlerons pas de ce dernier, qui n'est d'aucune utilité dans les arts graphiques.