CHAPITRE V. — SURFACES DE RÉVOLUTION. — PL. XXX

204. Si nous supposons que Ton fasse tourner d'un même mouvement l'asymptote Oa et les génératrices parallèles ea et ebn ces droites resteront parallèles, et dans un même plan mobile avec elles; pendant que les deux dernières décriront la surface, la première, toujours asymptote de l'hyperbole méridienne dans les différentes positions, engendrera un cône dont le sommet sera au point (0, e) qui est le centre du cercle de gorge, des hyperboles et de la surface. On appelle ce cône cône asymptote.

Le plan (abt, a'e'), tangent au point infiniment éloigné où les génératrices ea et e bt se rencontrent, est évidemment tangent au cône asymptote, le long de la génératrice parallèle Oa.

En résumé :

i° Tout hyperboloïde de révolution est asymptote d'un cône également de révolution;

2° Ce cône est directeur pour les deux systèmes, c'est-à-dire que ses génératrices sopt respectivement parallèles aux génératrices de la surface dans les deux systèmes ;

3° Les plans tangents au cône asymptote contiennent les génératrices de l'hyperboloïde parallèles à la génératrice de contact du cône, et sont tangents au point infiniment éloigné où ces droites se rencontrent.

Sections planes de V hyperboloïde de révolution.

Ier Exemple. — Axe vertical; section elliptique. (Planc/ie XXX.)

205. L'axe de la surface est la verticale (0, 0"L') {fig. n4); les projections de la génératrice considérée dans sa position initiale, que nous supposons parallèle au plan vertical, sont (aL, afV); enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front sont aR et a'O'.

Des plans auxiliaires horizontaux B' ]3', C'y',. . . coupent le plan donné suivant des droites ]38, 77,..., et l'hyperboloïde suivant des parallèles 2^8, 3cjf.... Les points de rencontre des droites et des cercles situés dans les mêmes plans auxiliaires appartiennent à la courbe; on les obtient immédiatement sur le plan horizontal, et on les relève sur les lignes B' ]3', C'y', ... du plan vertical.

La tangente en un point (3, 3') passe par le point T, intersection de la trace Ra du plan sécant, avec la trace ai a2 du plan tangent (art. 199).

206. La droite (OR, O'R'), intersection du plan sécant par le plan méridien qui lui est perpendiculaire, est un axe de la courbe dans l'espace; OR est également un axe de la projection horizontale; O'R' est le diamètre de la projection verticale conjugué avec les cordes horizontales (art. 193).

Les points (1, 1') et (5, 5'), où l'axe (OR, O'R') rencontre la surface, sont deux sommets de l'intersection. On les détermine facilement, lorsque la méridienne est

tracée, en faisant tourner, autour de l'axe de révolution, la droite (OR, O'R') de manière à la rendre parallèle au plan vertical, et en prenant alors ses rencontres avec cette courbe. Nous allons nous proposer de déterminer les sommets (r, i') et (5, 5') sans tracer la méridienne.

207. Si nous supposons que la droite (OR, O'R') tourne autour de Taxe de révolution, elle engendrera un cône dont nous pourrons construire les intersections avec la génératrice (aL, a'U) de l'hyperboloïde (art. 121 a). Lorsque les deux génératrices du cône qui passent par les points de rencontre auront été obtenus, en amenant successivement chacune d'elles à coïncider avec (OR, O'R'), les points déterminés resteront sur l'hyperboloïde et donneront les sommets cherchés.

Le cône engendré par la révolution de la droite (OR, O'R') a pour trace le cercle RQP. Nous menons par le point (0, 0') une parallèle à (aL.a'L'), et nous déterminons sa trace horizontale g: le plan passant par le point (0,0') et par la génératrice donnée (aL, a'L') a pour trace l'horizontale ag, et coupe le cône suivant les deux droites OP et OQ. La première rencontre la génératrice aL tu point/?; si nous la faisons tourner autour de l'axe jusqu'à ce qu'elle prenne la position OR, ce point se placera, en projection horizontale, au point i, que nous relevons en i\

L'autre droite OQ coupe la génératrice aL de l'hyperboloïde, au delà du sommet du cône, en un point q9 que l'on ramène en (5, 5').

208. En construisant notre épure, nous avons déterminé tout d'abord les points (i, i') et (5, 5'); puis nous avons choisi des plans horizontaux auxiliaires disposés de manière à partager en parties égales la différence de hauteur des points i' et 5'. Le plan passant par le milieu (1,1') de l'axe (i, 5, i', 5') fait connaître les sommets (3, 3') et (7, 7') du second axe. Nous savons que la courbe est une section conique ; elle a quatre sommets : c'est donc une ellipse. Nous avons les deux axes 1, 5 et 3, 7 de la projection horizontale, et deux diamètres conjugués 1', 5' et 3', 7' de la projection verticale. La tangente (T3,T'3') obtenue directement doit être parallèle à (OR, O'R').

209. Pour représenter sur le plan vertical l'hyperboloïde tronqué, nous avons déterminé les arcs d'hyperbole qui forment le contour apparent du corps; ils se terminent en des points u' et p' de la trace du plan sécant sur le plan méridien de front. L'ellipse d'intersection passe par ces points, et y est nécessairement tangente, en projection, au contour apparent.

Si l'on voulait obtenir d'une manière précise les points ur et v\ on opérerait comme nous l'avons fait pour les points 1' et 5', en considérant un cône auxiliaire engendré par la révolution de la droite (Oa, OV) autour de l'axe. La construction est faite pour le point /.

La génératrice (aL, a'L')a été tracée, comme une ligne existant réellement, jusqu'au point (hf h!) où elle rencontre le plan sécant.