Discussion de la forme de la courbe de section

La courbe est toujours une section conique (i); il est intéressant de savoir comment on peut promptement reconnaître son espèce, d'après la manière dont les constructions se disposent.

La droite ag% trace horizontale du plan qui passe par la génératrice donnée et par le point (0, 0') où Taxe perce le plan sécant, peut couper le cercle PQR, trace du cône auxiliaire, le toucher ou ne pas le rencontrer : de là trois cas à examiner.

i° La droite ag coupe le cercle PQR.

A chacun des points P et Q d'intersection correspond au sommet (i , i ') ou (5, 5'). La courbe a donc deux sommets sur Taxe (OR, O'R').

Si Ton suppose que le plan sécant soit perpendiculaire au plan vertical [fig. 1 1 5), les points i' et 5' seront les intersections du contour apparent avec la trace verticale S' du plan sécant, et ils limiteront, sur cette trace, la projection de la courbe. Quand ils se trouveront de côtés différents de Taxe de révolution, comme cela a lieu sur la trace S', l'intersection se projettera sur le segment i', 5' et sera nécessairement une ellipse. S'ils sont d'un même côté de l'axe, comme sur la trace S", le segment i", 5", étant en dehors du contour apparent, sera parasite (art. 97), et ses prolongements à l'infini formeront la projection de la courbe, qui sera évidemment une hyperbole.

D'après cela, pour connaître l'espèce de la section, il suffît de voir si les points i et 5 {fig. 1 1/|) sont d'un même côté du point 0 ou de côtés différents.

Sur h figure 1 14, la droite ah rencontre les génératrices OP et OQ du cône auxiliaire, Tune OP en un point/? placé du côté du sommet 0 où est sa trace P, l'autre OQ en un point q situé sur son prolongement au delà de 0. Il résulte de là que les points i et 5 se trouvent de côtés différents du point 0, et que la courbe est une ellipse.

Si la génératrice aL est parallèle à l'une des lignes OP et OQ, un des deux sommets qui sont sur la ligne OR s'éloignera à l'infini, et la courbe sera une parabole.

Enfin si la génératrice ah rencontre les droites OP et OQ, toutes deux en deçà du point 0, ou toutes deux prolongées au delà, les sommets i et 5 se trouveront d'un même côté de Taxe, et la courbe sera une hyperbole.

(i) Nous admettons les principales propriétés des surfaces du second degré, et du moment qu'il est prouvé que la surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un axe qu'elle ne rencontre pas est un hyperboloïdo, nous en concluons que ses sections planes sont des sections coniques ; mais il serait trèsfacile de le prouver.

Un point tel que 8 est donné par l'intersection d'une droite a, 8 avec un cercle. La distance à laquelle la droite se trouve du point 0 est proportionnelle à l'abaissement du plan auxiliaire i', 8' au-dessous de 0'; le carré du rayon du cercle est facile à trouver d'après les constantes du problème, et l'abaissement du plan au-dessous de V (art. 202). Ces indications suffisent pour montrer comment on peut trouver une relation entre les longueurs Oe et *8, que Ton peut considérer comme les coordonnées du point 8.

2° La droite ag touche le cercle PQR.

Le plan qui contient la génératrice aL, et dont ag est la trace, touche le cône auxiliaire, et se trouve, par rapport à Phyperboloïde, dans une position identique avec celle du plan sécant. Celui-ci contient donc une génératrice, et, comme la section est symétrique par rapport à OR, on voit qu'une seconde droite appartenant à la surface s'y trouve également contenue : le plan est tangent a leur point de rencontre.

Dans le cas que nous examinons, les lignes OP et OQ sont confondues, et les deux sommets sont réunis en un point où se croisent les deux droites qui forment la section. Ce point disparaîtrait à l'infini, et les droites seraient parallèles, si la ligne sur laquelle OP et OQ se réunissent était parallèle à la génératrice ah.

3° La droite ag ne rencontre pas le cercle PQR.

Dans ce cas, la ligne OR est un axe sans sommets, un axe non transverse, et par suite la courbe est une hyperbole. Nous allons examiner ce cas, qui nous don* nera une occasion d'étudier directement la question des branches infinies et des asymptotes.

On peut encore déterminer l'espèce de la conique en cherchant à construire ses asymptotes. Nous donnons dans l'exercice suivant un exemple de cette manière d'opérer.

H* Exemple. — Axe vertical; section hyperbolique. (Planche XXXI.)

211. L'axe de la surface est la verticale (0, O'O") ; la génératrice considérée dans sa position initiale parallèle au plan vertical est (aff a'f)\ enfin les traces du plan sécant sur le plan horizontal et sur le plan méridien de front sont Ra et O'a'.

Nous déterminons comme précédemment l'axe (OR, O'R') de la courbe, et nous cherchons les points où il coupe la surface (art. 207). Nous trouvons que le cercle décrit du point 0 comme centre, avec OR par rayon, trace du cône auxiliaire, ne rencontre pas la droite ag, trace du plan qui passe par le sommet du cône et qui contient la génératrice (af, a'f). Nous en concluons que l'axe (OR, O'R') est non transverse, et que l'intersection est une hyperbole (art. 210).

212. La considération du cône asymptote va nous conduire k la même conséquence, et aura d'ailleurs l'avantage de nous faire trouver les asymptotes de la courbe.

Pour que l'intersection ait un point à l'infini, il faut que le plan sécant soit parallèle à la génératrice (aaif a'a\ ) dans l'une de ses positions, et par suite à une génératrice du cône asymptote (art. 204).

La trace a, mr d'un plan parallèle au plan sécant et passant par le sommet (0,/') de ce cône, coupe sa trace a0rm en deux points ret m; les génératrices Or et Ont sont donc parallèles au plan sécant, et, par suite, l'intersection a deux points à l'infini. Si la droite a, mr avait été tangente à la trace du cône asymptote, la courbe