INTERSECTIONS DE SURFACES COURRES

Courbes gauches.

213. Toute courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan est dite gauche ou à double courbure.

On considère des tangentes pour les courbes gauches, comme pour celles qui sont planes : la tangente d'une courbe gauche en un point est la limite des positions d'une sécante qui passe par ce point, et dont un second point d'intersection avec la courbe se rapproche indéfiniment du premier.

Nous avons démontré (art. 108) que les courbes planes que l'on peut tracer sur une surface par un même point ont leurs tangentes, en ce point, dans un plan. Pour étendre la démonstration au cas des courbes gauches, il suffit de supposer que la ligne gauche A [fig. 77) appartienne à un système de génératrices tel que deux de ces lignes, dans des positions consécutives, ne se coupent pas.

Le théorème relatif à la projection des tangentes (art. 116) peut ensuite être étendu sans difficulté aux courbes gauches.

214. Considérons une droite TT tangente d'une courbe gauche A en un point M [fig. 117)9 et faisons passer un plan Q par cette droite et par un autre point N de la courbe : si le point N se meut de manière a occuper sur la ligne A différentes posi-

tions N', M, N\. . . , le plan Q tournera autour de la tangente; il sera oscillateur de la courbe en M, lorsque le point de section N s'y trouvera réuni au point de contact.

En général» une courbe ne traverse pas sa tangente, et, par suite, dans la partie voisine du point de contact, elle est entièrement [d'un même côté de tout plan Q qui contient cette droite. Le plan serait cependant traversé si le point N où il coupe la courbe était réuni au point de tangence M, c'est-à-dire s'il était oscillateur.

Il peut arriver qu'un plan osculateur ne traverse pas la courbe. Supposons que le plan Q, mené par la tangente TT' et par un point N de la courbe, la coupe en un autre point P {fig. 118), et que les deux points de section se réunissent au point M pour une certaine position du plan : toute la partie de la courbe située entre N et P aura disparu, et il ne restera que les parties qui sont au delà de ces points d'un même côté du plan. Si le plan Q continuait à tourner, il n'aurait plus que le point M de commun avec la ligne courbe AA. Le contact de cette ligne avec son plan osculateur en M est plus intime que dans le cas général examiné précédemment, car deux points de section se sont réunis au point de tangence.

Cette circonstance se présente notamment quand une courbe tracée sur un cylindre ou sur un cône est tangente à une génératrice TT. Tous les points tels que N et P se trouvent alors deux à deux sur des génératrices.

215. Supposons qu'un cercle soit déterminé dans le plan Q par les conditions de toucher la droite TT' au point M, et de passer par le point N [fig. 117). Quand le plan tourne, le cercle se modifie, et lorsque le point N est réuni au point M, son contact avec la courbe s'est élevé d'un degré; il est alors osculateur. Le plan qui le contient est devenu osculateur en môme temps.

Le cercle que nous considérons sur le plan mobile Q est tangent en M à la projection de la courbe sur ce plan, et rencontre la même projection en N. On voit d'après cela que le cercle osculateur de la courbe est également osculateur de sa projection sur le plan osculateur.

Une courbe gauche a une inflexion ou un rebroussement en un point quand sa projection sur son plan osculateur en ce point a elle-même une inflexion ou un rebroussement.

215a. Quand une courbe gauche possède une inflexion en un point M, elle est traversée par sa tangente en ce point; tout plan Q passant par cette tangente la traverse également, et doit être considéré comme osculateur. Si l'on fait tourner le plan Q, lorsqu'un point de section N sera venu se confondre avec M, ce plan laissera toute la courbe d'un même côté, et l'ordre de son contact avec elle se sera élevé d'une unité.

216. Si la directrice d'un cône est une courbe gauche9 et qu'en un point M de cette ligne la génératrice G lui soit tangente {fig* 119)» le plan osculateur de la courbe en ce point sera tangent au cône.