CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURRES

Pour prouver ce théorème, considérons le plan qui passe par G et par une autre génératrice G', et supposons qu'on le fasse tourner autour de G, de manière que G' se rapproche de cette droite; le point N s'avancera vers M, et le plan deviendra au même moment osculateur a la courbe et tangent au cône.

La même propriété existe évidemment pour le cylindre.

217. Supposons maintenant que l'on rapporte une courbe gauche à deux plans coordonnés, dont un, le plan horizontal, lui soit osculateur en un point M (Jig.iao), et considérons deux points A et B situés sur la courbe près de M et de côtés différents : ces points sont l'un au-dessus et l'autre au-dessous du plan horizontal (art. 214); leurs projections verticales A' et B' sont l'une à gauche et l'autre à droite de la verticale du point M'; enfin la projection A'M'B' doit être tangente à la ligne de terre XY qui est la projection de la tangente TM. Ces diverses conditions exigent que la ligne A'M'B' ait une inflexion en M'.

Sur unjplan vertical perpendiculaire à la tangente TM, les projections A" et B" sont d'un même côté de la verticale du point M". Les autres circonstances étant d'ailleurs les mêmes que précédemment, la courbe A"M"B" a nécessairement un rebroussement de première espèce, dont la tangente est X! Y,.

Dans ce dernier cas, la ligne de terre n'étant plus la projection de la tangente TM", il peut être utile de démontrer directement qu'elle est tangente à la courbe M'A". Pour cela nous remarquerons qu'un plan passant par la tangente MM" et par le point {A, A") coupe le plan X< Y, suivant la droite M" A", et que, si ce plan tourne de manière que le point A arrive en M, la droite M" A" viendra se confondre avec la ligne de terre X, Y, .

En résumé, la projection d'une courbe gauche sur un plan perpendiculaire à Yun de ses plans osculateurs présente une inflexion au point correspondant. Si le plan devient perpendiculaire à la tangente de la courbe y l'inflexion se change en un rebroussement de première espèce. La tangente à l'inflexion ou au rebroussement est la trace du plan osculateur sur le plan de projection.

Le cylindre qui projette la courbe sur le plan X, Y, a un rebroussement le long de la tangente TMM"; par conséquent, lorsque la directrice d'un cylindre {ou d'un cône) est tangente à l'une des génératrices, la surface présente un rebroussement le long de cette droite.

217 a. La courbe gauche AMB (flg. 120), et sa projection A"M"B" se correspondent point à point. La projetante qui aboutit au point M", étant tangente à ta courbe gauche, doit être considérée comme passant par deux points de cette ligne, et par suite on doit regarder le point de rebroussement M" comme un point double delà courbe A" B".

218. Quand on projette une courbe gauche sur un plan perpendiculaire a une droite qui la rencontre en deux points, on obtient une ligne ayant un point double, telle que celle qui est représentée sur hflgure6$. Si l'on suppose que la sécante

se meuve de manière que la corde interceptée par la courbe soit de plus en plus petite, la feuille formée par la projection sur un plan perpendiculaire sera de plus en plus resserrée, et enfin, quand la sécante sera devenue tangente, la feuille se trouvera réduite à un point, et la projection aura un rebroussement, comme nous l'avons reconnu par d'autres considérations.

Il est d'ailleurs facile de voir que, quand un cône a un rebroussement le long d'une génératrice, une courbe tracée sur la surface ne peut traverser cette droite, sans avoir de rebroussement, qu'en lui étant tangente.

219. Les résultats que nous avons obtenus à l'article 217 sont soumis à certaines restrictions : si la courbe gauche n'était pas traversée par son plan osculateur au point considéré M (fig. 121), la projection A'B' serait entièrement d'un même côté de la tangente XY, et le rebroussement sur un plan perpendiculaire à la tangente TM" serait de seconde espèce.

Nous avons vu (art. 214) qu'une courbe était d'un même côté de son plan osculateur quand, par suite de sa forme particulière, deux points de rencontre N et P (Jîg. 1 18) se réunissaient au point de contact M, de sorte qu'elle avait en commun avec le plan quatre points réunis en un seul. Dans ce cas, la projection A'B' (fi g. iai) sur un plan perpendiculaire au plan oscillateur doit avoir sur la tangente XY quatre points réunis en un seul M' : le contact est donc plus intime d'un degré que dans le cas d'une inflexion, et le rayon de courbure est également infini, c'est-à-dire qu'un cercle tangent à XY en M' ne pourrait, quelque grand que fût son rayon, se trouver entre la courbe A'B' et la tangente, sur une petite longueur voisine du point M'.

220. Les deux bras M" A" et M"B" (fig. 121) du rebroussement de seconde espèce se superposent quelquefois; alors la projection s'arrête brusquement en AT, mais une partie parasite la continue si la courbe est géométrique.

Supposons, par exemple, que l'on cherche l'intersection du cylindre vertical dont la trace horizontale est B (fig. 122), avec le cylindre dont la trace est A sur le plan vertical, et qui est perpendiculaire à ce plan. On trouve une courbe fermée qui se projette sur les arcs nmni et m! n,mi. Sur ces arcs un point tel que e est la projection de deux points de la courbe, et chacune des extrémités n, ntf m' etm\ correspond à un seul point où la tangente de l'intersection est perpendiculaire au plan de projection. On voit que des parties parasites ninif m'jm\ prolongent géométriquement les arcs utiles.

221. Si l'on projette une courbe ayant une branche infinie sur un plan P perpendiculaire à son asymptote MM, (fig. 123), la trace m de cette droite sera la projection du point de la courbe situé à l'infini.

Considérons un plan Q passant par l'asymptote, et faisons-le tourner au tour de cette ligne; lorsque le point N où il coupe la courbe aura disparu à l'infini, le plan sera osculateur à l'infini, et sa trace TT' sera tangente à la projection AB de la courbe.