CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XXXIII

Si le plan Q continue à tourner, le point de section N reparaîtra sur l'autre bras delà courbe en revenant de l'infini; on voit que la projection AB ne présente pas de rebroussement. Pour qu'il y en eût un, il faudrait que les deux bras fussent d'un même côte de l'asymptote, c'est-à-dire qu'il y eût inflexion à l'infini (art. 183). Alors, si les deux parties qui forment le rebroussement se superposaient, le pied de l'asymptote serait un point d'arrêt de l'arc utile de la projection, et une partie parasite la prolongerait.

222. La projection d'une asymptote, lorsqu'elle n'est pas réduite à un point» est asymptote de la projection de la courbe.

Si la projection d'une courbe a une asymptote rectiligne, le cylindre projetant aura un plan asymptote, mais l'asymptote de la courbe peut être tout entière à l'infini dans ce plan; il peut aussi arriver que la branche infinie de la projection soit parasite à partir d'un certain point. On voit qu'une courbe sans asymptote, et même une courbe fermée, peut avoir pour projection sur un plan une courbe avec asymptote.

Les notions que nous venons de donner sur la projection des courbes gauches sont très-importantes. Si on ne les possède pas bien, on sera souvent embarrassé, dans le tracé des épures, pour se rendre compte des formes des courbes projetées.

Intersections de cônes et de cylindres.

223. Pour construire l'intersection de deux cônes, d'un cône et d'un cylindre» ou de deux cylindres, on emploie une série de plans auxiliaires disposés de manière à couper les surfaces suivant des génératrices. Ces droites donnent par leurs rencontres des points de la courbe de section. Nous examinerons successivement différents cas, de manière à donner la solution de toutes les difficultés.

I" Exemple. — Intersection d'un cylindre et d'un cône. — Pénétration, — Courbes fermées.

(Planche XXX11I.)

224. Un cône a son sommet au point (S, S') {fig. \il\)\ sa base&/?yc . est sur le plan horizontal de projection; on doit faire dans ce corps un trou qui permette d'y passer le cylindre dont la trace horizontale est mt nm... et dont la direction est indiquée par la droite (m, Bi9 mt B',). On demande de tracer les projections des arêtes formées par l'intersection des deux surfaces.

Par le sommet (S, S') du cône, nous faisons passer une droite (SK, S'K') parallèle aux génératrices du cylindre, et nous déterminons sa trace horizontale K. Toute droite passant par ce point, telle que Kc, peut être considérée comme'la trace d'un plan qui contient la droite (SK, S'K'), et qui, par conséquent, est parallèle au

cylindre et passe par le sommet du cône. Les génératrices des deux surfaces qui ont leur trace en m, mK et en b, c sont dans ce plan, et, par suite, se rencontrent. On obtient ainsi quatre points (B, B'), (C, C), (B,, B'J et (C,, C'J.

225. Si Ton veut avoir les points situés sur une génératrice déterminée, il faut opérer sur la trace du plan auxiliaire qui la contient. Ainsi, en joignant le point K au point /, on détermine sur la trace du cylindre les points v et t>« qui font connaître les points L et L, où la génératrice SI rencontre la courbe. Cette ligne est une des deux droites qui forment le contour apparent du cône, et par suite elle louche l'intersection en L et en L, sur la projection horizontale.

226. La tangente en un point quelconque (B, B') est l'intersectiou des plans tangents aux deux surfaces le long des génératrices qui s'y croisent; elle passe donc par le point E, où leurs traces mE et bE se coupent : ses projections sont ainsi EB etE'B'.

On ne peut pas opérer de la même manière pour la tangente au point (C,C), parce que les droites mE et cG, traces des plans tangents, ne se rencontrent pas dans le cadre de l'épure; alors nous coupons ces deux plans par un troisième contenant la ligne (SK, S'K') : sa trace est une droite KFG passant par le point K, et d'ailleurs quelconque; ses intersections avec les plans tangents sont la droite (FI, F'1') parallèle aux génératrices du cylindre, et la droite (GS, G'S') passant par le sommet du cône. Leur point de rencontre (I, I') appartient à la tangente.

Si cela avait été plus commode pour les tracés, on eût pu couper les plans tan* gents par un plan horizontal ou par un plan parallèle au plan auxiliaire dont la trace est Kc. Nous donnerons (art. 235 et 230) des exemples de ces constructions.

227. La droite Kn, tangente à la trace du cylindre, rencontre la trace du cône en deux points/? et q. Les génératrices qui percent le plan horizontal sur l'arc pq ne sont pas coupées par le cylindre; la courbe ne s'étend donc de chaque côté que jusqu'aux droites (Sp, S'//), (S q, S'q'), qui lui sont par conséquent tangentes. Il est facile devoir que les génératrices qui sont au delà rencontrent deux génératrices du cylindre, tandis que celles-ci coupent seulement celle qui est projetée sur wPQct/i'P'Q'.

La tangente Kn, fait trouver sur le cône deux autres génératrices limites (Spif S'/ZJ, {Sqif S'q\). Les traces des plans auxiliaires qui rencontrent les deux surfaces sont comprises dans l'angle nKn{. La trace du cylindre est tout entière dans cet angle, et par suite toutes les génératrices du cylindre rencontrent le cône en deux points. L'intersection se compose ainsi de deux parties distinctes qui sont situées sur les secteurs coniques />, S/> et qtSq; quand cette disposition se présente, on dit qu'il y a pénétration.

Quelquefois le deuxième plan limite n'est pas tangent à la même surface que le premier. Nous examinerons bientôt ce cas.

227 a. On se propose quelquefois de déterminer le point le plus bas et le point