CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES COURBES. — PL. XXXIV

le plus haut de l'intersection, c'est-à-dire ceux auxquels la tangente est horizontale. Il faut pour cela chercher un plan sécant auxiliaire qui coupe les traces horizontales des surfaces en deux poiuts où les tangentes soient parallèles. On y parvient après un court tâtonnement, que Ton peut régulariser par une courbe d'erreur, dans le genre de celle que nous avons construite pour trouver les points de la section plane d'une surface de révolution, où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre (art. 196). En général, on emploie une courbe d'erreur pour les problèmes que l'on ne sait pas résoudre directement, mais dont on pourrait vérifier la solution si elle était connue.

228. Nous avons représenté sur la figure is5 la partie du cône qui est retranchée par le cylindre, ou, si l'on veut, le volume qui serait commun aux deux corps s'ils étaient l'un et l'autre en relief. Sur chaque projection, le périmètre se compose de quatre droites appartenant aux génératrices qui forment le contour apparent des surfaces, et de quatre arcs de la courbe d'intersection.

Quelques sections de la surface par des plans auxiliaires ont été tracées en trait plein.

Ue Exemple. — Intersection de deux cônes. — Arrachement. — Courbe fermée. (Planche XXXIF '.)

229. La figure 126 représente un cône en relief, dans lequel une entaille est faite par un autre cône.

Les sommets et les traces horizontales des cônes étant donnés, on détermine le point K où la droite qui passe par les sommets (S, S') et (T, T') perce le plan horizontal, et de ce point on mène diverses droites, traces de plans auxiliaires qui coupent les surfaces suivant des génératrices. On obtient ainsi autant de points qu'il est nécessaire pour tracer les projections de la courbe. Nous avons indiqué la construction pour le plan auxiliaire déterminé par la ligne Ec.

250. La tangente au point (C,, C't) passe par l'intersection des droites cG et m, F, tangentes aux traces des cônes (art. 226). Comme ce point de rencontre est éloigné, nous coupons les plans tangents aux surfaces le long des génératrices qui se croisent au point (Cn C'J, par un plan parallèle à celui qui les contient. Sa trace est Une droite FG parallèle à Kc; ses intersections avec les plans tangents sont des lignes (FI, F'I') et (GI, G'I') respectivement parallèles h (m, S, m\S') et à (cT, c'T'). Leur point de rencontre (I, Y) appartient à la tangente (1).

(1) D est évident que les triangles FIG, mx C, c sont horaothétiques ; la ligne C, I passe donc par le point de concours des droites mx F, cG, centre de similitude.

On pourrait également établir la construction exposée à l'article 226 par des considérations de Géométrie plane, mais il faudrait s'appuyer sur un principe plus général que celui des figures semblables. Nous n'insistons pas sur ces considérations, parce qu'elles sont peu dans l'esprit de la Géométrie descriptive. Il est d'ailleurs facile de voir qu'elles ne s'appliquent d'une manière directe qu'à la projection horizontale.

231. Du point K nous traçons les droites Kd et Kn qui touchent une des bases et coupent l'autre : ce sont les traces des plans auxiliaires limites (art. 227); elles déterminent sur le cône plein deux génératrices limites (Se, S' é), (S^, &'e\)9 et deux autres (Tp, Tp'), (Tq, T q') sur le cône creux. Ces quatre droites sont tangentes à la courbe dans l'espace, et par suite en projection.

Dans le cas que nous avons examiné précédemment (art. 227), les génératrices du cône qui rencontraient le cylindre étaient réunies sur deux secteurs séparés. Ici cela n'a pas lieu : chaque surface est divisée par un plan limite en deux parties, dont l'une contient toutes les génératrices qui rencontrent l'autre surface. La courbe se compose d'une seule branche : on dit qu'il y a arrachement.

252. La projection verticale de la courbe présente à sa partie inférieure une forme presque anguleuse : il y aurait rebroussement si les génératrices SV et TV qui forment contour apparent sur les deux surfaces étaient dans un même plan auxiliaire, c'est-à-dire si la droite déterminée par leurs traces horizontales u et v passait par le point K, car, les plans tangents suivant ces génératrices étant perpendiculaires au plan vertical, la tangente de l'intersection au point de l'espace où elles se rencontreraient serait également perpendiculaire à ce plan (art. 217). On voit d'ailleurs que la projection verticale de la courbe devrait, sans traverser les droites TV etSV, atteindre le point où elles se coupent: condition qui exige un rebroussement. Les constructions que nous avons données pour les tangentes des projections de la courbe ne peuvent pas être employées pour ce cas particulier.

233. Nous avons représenté sur la figure 127 le volume retiré du cône en relief. Sur chaque projection, le périmètre se compose de trois droites et de trois arcs de la courbe d'intersection.

IHe Exemple. — Intersection de deux cylindres ayant un plan tangent commun. {Planche XXX? \)

234. Notre troisième exemple présente Un cas intermédiaire entre l'arrachement et la pénétration, celui où les deux surfaces ont un plan tangent commun.

On propose de représenter un cylindre en relief ayant un trou de forme cylindrique. On donne les traces horizontales des surfaces et la direction des génératrices.

Par un point quelconque (g9 g*), nous menons deux lignes (gf, g'f')> [gh, g'K) respectivement parallèles aux génératrices des deux cylindres, et nous déterminons leurs traces horizontales/ et h. Toute droite parallèle à /A, telle que rmbe, peut être Considérée comme la trace d'un plan parallèle aux deux cylindres : les génératrices du premier, qui ont leur trace en r et en m, rencontrent donc celles du second, qui percent le plan horizontal en b et en c : on obtient ainsi quatre points (B, IV), (B„ B't), (C, C), (C„ C\).

235. La tangente au point (B,, B'J est déterminée par la rencontre des tan-