CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES CODRRES. — PL. XXXVI

gentes des bases aux points r et b. Ce point de concours étant éloigné, nous prenons un plan horizontal élevé, celui dont la trace verticale est xy. Les génératrices qui se rencontrent en (B,, B't) percent ce plan aux points (ri9 r\) et (bifb\); les traces des plans tangents sur le nouveau plan horizontal sont les droites (r4 1, xy)9 (bt t9 xy)% respectivement parallèles aux tangentes en r et en b. Leur point de rencontre (t, t') appartiont à la tangente.

236. Les traces des plans limites sont les droites nqp et de; le premier de ces plans] touche le cylindre creux, et coupe celui qui est plein suivant deux génératrices respectivement tangentes à la courbe en (P, P') et en (Q, Q'). La droite de est tangente aux deux bases, et par suite le second plan limite touche les deux cylindres. Au lieu de contenir, comme l'autre, deux points d'intersection, il n'en a qu'un seul (D, D') qui est un point double. Les cylindres sont tangents l'un à l'autre au point (D, D') : c'est la seconde fois que nous voyons l'intersection de deux surfaces tangentes présenter un nœud au point de contact (art. 200).

On ne peut pas déterminer par la méthode ordinaire les deux tangentes de la courbe au point (D, D'), mais on les obtient d'une manière suffisamment exacte, en construisant par points, sur de petites longueurs, deux arcs de la ligne qui est le lieu des traces horizontales des tangentes de l'intersection.

Il est facile de déterminer les traces g et t des droites qui touchent la courbe d'intersection aux points situés dans un plan auxiliaire dont la trace est une droite /3fxj3y parallèle à ed et voisine de cette ligne. Quelques autres points déterminés comme ceux-ci permettent de tracer l'arc gtt sur lequel les tangentes de l'arc (BC0 WCX) ont leurs traces. Celle de la tangente cherchée se trouve aussi sur ed; elle est donc au point 6.

On obtiendrait la tangente à l'autre branche du point double en déterminant la courbe lieu des points de rencontre des droites yc et jxt d'une part,. |3t et pc de l'autre; mais comme les points seraient éloignés, il faudrait élever le plan horizontal comme nous l'avons fait à l'article 235 (1).

Nous avons représenté sur une figure séparée le volume retiré du cylindre en relief.

IV* Exemple. — Intersection de deux cônes. — Arrachement. — Deux branches infinies.

(Planche XXXVI.)

237. La courbe d'intersection a quelquefois des branches infinies. Nous allons étudier cette question dans le cas de deux cônes; nous avons ponctué l'épure en supposant qu'ils forment un seul corps.

(1) Nous verrons dans la troisième Partie (art. 865-869) une méthode directe pour construire les tangentes au point doublo de la courbe d'intersection de deux surfaces qui ont un plan tangent commun.

La droite qui passe par les sommets (S, S') et (T, T") des cônes perce le plan horizontal en un point K, d'où divergent les traces des plans auxiliaires.

Les points de la courbe étant donnés par les rencontres des génératrices des deux surfaces, pour que l'un d'eux se trouve à l'infini, il faut que deux génératrices soient parallèles. Afin de reconnaître si cette circonstance se présente, nous transportons l'un des cônes, celui de droite, parallèlement h lui-même, en faisant glisser son sommet (S, S') sur la droite (ST, S'T"), jusqu'à ce qu'il se confonde avec le sommet (T, T') de l'autre cône. Les génératrices parallèles des deux surfaces se superposent, de sorte que chaque point de rencontre des traces, après la translation, indique une couple de génératrices parallèles dans les cônes considérés.

Une génératrice quelconque (S/ra,, S'm'J du cône (S, S') est transportée parailèlement à elle-même dans le plan auxiliaire qui la contenait; elle perce successivement le plan horizontal en différents points de la droite K/n{M0 et elle s'arrête à la position (TM,,T'M',). Les rayons vecteurs KM, et Km, de deux points homologues des traces du cône, avant et après sa translation, sont dans le rapport constant de KT à KS. Ces courbes sont donc homothétiques, ce que nous pouvions prévoir (art. 179); le point K est le centre de similitude; les points S et T sont homologues. On voit,, d'après cela, que la nouvelle courbe M, J, est facile à construire.

La trace du cône transporté rencontre en deux points I, et J, la trace du cône fixe. Nous menons les lignes I, K et J, K, et nous déterminons deux couples de génératrices parallèles (SI, ST), (Tl,, Tl\) et (SJ, S' J'), (TJ,, VJ\).

Si l'on fait passer un plan par la ligne des sommets, et qu'on le fasse tourner autour de cette droite, de manière que sa trace approche de la position Kl, l'occupe et la dépasse, deux des génératrices qu'il contient tendront au parallélisme, l'atteindront, et prendront ensuite une convergence en sens contraire de la première. Le point mobile par lequel on peut concevoir que la courbe est décrite, s'éloigne donc, passe à l'infini, et reparait sur les nappes opposées des cônes.

La même circonstance se présente quand la trace du plan mobile arrive à la position KJ. Nous voyons ainsi que la courbe a deux branches infinies, autant qu'il y a de couples de génératrices parallèles.

238. Les asymptotes de la courbe sont déterminées, comme ses autres tangentes, par l'intersection des plans tangents aux deux surfaces. La trace horizontale de l'une des asymptotes est au point 1, où se rencontrent les tangentes h" et I,i> traces des plans tangents le long des génératrices parallèles (SI, ST) et (TI,,!*^); l'asymptote est d'ailleurs parallèle à ces génératrices, parce qu'elle les rejoint à l'infini. On peut donc tracer ses projections iïf et*' i". L'autre asymptote (jj%$j'jm) est obtenue de la même manière.

Les cônes étant limités aux plans horizontaux î"y" et œ'K\ la courbe s'aiïête aux points (X, X'), (jx, f*'), (>],>?') et (e,£'). Nous l'avons tracée sur la projection horizontale un peu au delà de ces points, mais avec une ponctuation différente.