CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES COURBES. — PL. XXXVI

239. Les traces des plans limites sont Knp et Keh; la base de chaque cône est touchée par une de ces lignes et coupée par l'autre. Il y a donc arrachement, et l'intersection se compose, non pas de deux courbes compagnes, mais d'une seule courbe ayant deux points à l'infini, ce qui ne détruit pas la continuité. La projection horizontale de l'intersection est urie. oo ^XEBPjjlB, w <xh. Si l'on rapporte cette courbe à une origine fixe S et à un axe fixe SK, on pourra passer d'un point quelconque à un autre, en faisant varier le rayon vecteur et l'azimut d'une manière continue.

S'il y avait pénétration, l'intersection se composerait de deux courbes formant un groupe géométrique, mais distinctes. Il pourrait y avoir des branches infinies sur l'une de ces lignes seulement ou sur les deux.

240. La trace i d'une asymptote, étant le point de rencontre de deux tangentes aux bases, se trouve nécessairement en dehors de ces courbes lorsqu'elles sont des cercles, des ellipses ou d'autres lignes sans inflexion. Une asymptote est ainsi extérieure aux cônes; cependant elle peut se trouver sur l'un d'eux : cela arrive quand les génératrices parallèles sont dans un plan limite. Si, par exemple, les génératrices S/* et Tp étaient parallèles, le point P irait à l'infini, et la génératrice Tp, toujours tangente à la courbe d'intersection, deviendrait asymptote.

241. Si la base du cône fixe et celle du cône transporté se touchaient en I, , les plans tangents le long des génératrices SI et TI, seraient parallèles, et l'asymptote disparaîtrait a l'infini. Ainsi la branche infinie qui correspond à un point de ren- Çoutre des traces des cônes après la translation est hyperbolique ou parabolique, suivant que ces courbes se coupent ou se touchent. Dans ce dernier cas, il est facile de reconnaître que la convergence des génératrices dans les plans auxiliaires est, en général, dans le même sens en deçà et au delà de la position qui correspond aux génératrices parallèles. Les deux bras d'une branche parabolique sont ainsi sur les mêmes nappes des deux cônes (i).

242. Nous n'avons considéré que le cas où les traces horizontales des cônes sont des courbes fermées. Lorsqu'elles ont des branches infinies, elles peuvent se rencontrer à l'infini : cela a lieu notamment quand elles ont des asymptotes parallèles. Les plans passant par une asymptote et par le sommet du cône correspondant touchent respectivement les surfaces le long de génératrices qui sont horizontales et parallèles. L'intersection de ces plans est asymptote de la courbe suivant laquelle les cônes se coupent.

(1) Par une discussion géométrique très-simple, on reconnaît que, pour que les deux bras d'une branche parabolique ne soient pas sur les mêmes nappes, il faut que le contact des traces des cônes après la translation s'élève au second ordre.

On peut dire d'une manière plus générale, et sans rien spécifier sur la nature d'une branche infinie* que ses deux bras sont sur les mômes nappes des cônes, quand les traces de ces surfaces, après la translation, ne se traversent pas au point commun.

Nous croyons ne pas devoir entrer dans plus de détails sur ce cas exceptionnel. On pourra lever les petites difficultés qu'il présente, en déterminant les traces des cônes sur un plan vertical convenablement choisi.

Ve Exemple. — Intersection d'un cône et d'un cylindre. — Deux branches infinies.

(Planche XXX* II.)

243. Dans le cas d'un cône et d'un cylindre, pour que la courbe d'intersection ait des branches infinies, il faut que l'une des génératrices du cône soit parallèle au cylindre. Cette condition est remplie pour les surfaces représentées sur la

figure i3i, la génératrice (SK, S'K') du cône étant parallèle aux génératrices du cylindre.

Une droite quelconque passant par le point K, telle que me, peut être prise pour trace d'un plan auxiliaire. Les génératrices du cylindre qui percent le plan horizontal en b et en c rencontrent donc la génératrice du cône, qui a sa trace en m; on obtient ainsi les points (B, B') et (C, C) de l'intersection.

Si l'on fait tourner la ligne me autour du point K, on obtiendra une série de points qui se relieront à (B, B') et a (C, C), de manière à former la courbe. Quand le point m sera devenu voisin de K, la génératrice (Sm, S' m') rencontrera le cylindre en un point très-éloigné; enfin, lorsque la génératrice mobile sera confondue avec (SK, S' K'), la trace du plan auxiliaire sera la tangente IJ; on voit que les génératrices du cylindre qui passent par les points I et J rencontrent le cÔQf à l'infini.

La génératrice SK du cône est dans tous les plans auxiliaires; elle rejoint à l'infini toutes les génératrices du cylindre, mais celles qui ont leur trace en I et en J sont les seules qui ne rencontrent le cône qu'à l'infini, et dont les points à l'infini fassent transition entre des bras indéfinis de la courbe situés sur les deux nappes de la surface.

Il suit de là que le nombre des branches infinies est égal à celui des points où la tangente de la trace du cône au point K rencontre la trace du cylindre. Sur la figure i3a, la tangente KT ne coupe pas la trace A, et la génératrice (SK, S' K'), bien que parallèle au cylindre, ne doit pas déterminer une branche infinie. On voit, en effet, que l'intersection ne s'étend que sur les génératrices qui rencontrent le plan horizontal aux différents points de l'arc cad compris entre les plans limites.

244. Revenons à h figure i3i : les asymptotes sont les sections du plan tangent au cône le long de la génératrice (SK, S'K'), parles plans tangents au cylindre le long des génératrices (Ii, I'I") et (Jy, J'J"), c'est-à-dire que ce sont ces génératrices elles-mêmes.

Au premier abord, ce résultat paraît en opposition avec celui que nous avons obtenu dans le cas de deux cônes ( art. 240), mais il y a en réalité une concordance