CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XXXVIII

parfaite, parce que la droite IKJ coupe une base et touche l'autre, et que par suite les génératrices qui déterminent les points à l'infini de la courbe sont dans un plan qui a le caractère de plan limite.

Si Ton projette l'intersection sur un plan perpendiculaire au cylindre, on aura la section droite de cette surface. Les génératrices asymptotes sont les projetantes des points situés à l'infini (art. 221). On voit ainsi qu'une courbe tracée sur un cylindre dont la directrice est fermée ne peut avoir une asymptote rectiligne qui ne soit pas une génératrice de la surface.

245. Le cas que nous venons de traiter n'est, k proprement parler, ni une pénétration ni un arrachement; il se rattache cependant à cette dernière disposition, car l'intersection est formée d'une seule courbe composée de deux parties qui se rejoignent à l'infini. Elle passe par les points (X, X'), (jx, fi'), (>j, tq') et (e, c'), où les bases supérieure et inférieure des surfaces se rencontrent. Nous l'avons prolongée sur le plan horizontal au delà de ces points, mais avec une ponctuation différente. La projection horizontale de l'intersection est mcBHyj*' <xw[j.CAt ooh.

246. Nous avons construit les tangentes aux points (B, B') et (C, C). Pour ce dernier, nous avons employé la méthode expliquée à l'article 226. Les tangentes cG et mT, se rencontrant en dehors du cadre de l'épure, nous les avons arrêtées à une droite FKG, que nous considérons comme la trace d'un plan passant par le sommet du cône, et parallèle au cylindre; ses intersections avec les plans tangents à ces surfaces sont la droite (FS, F' S') qui passe parle sommet du cône, et la droite (GV, G'V) parallèle au cylindre : leur point de rencontre (V, V) appartient à la tangente.

VI* Exemple. — Intersection de deux cônes. — Pénétration. — Deux branches infinies, et sur un des plans de projection deux parties parasites. (Planche XXXVIII.}

247. La droite DSTK, parallèle à la ligne de terre, est un axe des deux courbes GJEJ4 et DqVqn traces horizontales des cônes. Les sommets sont dans le plan vertical, dont cette droite est la trace.

Nous déterminons d'abord le point R, d'où doivent diverger les traces des plans auxiliaires. Nous transportons ensuite le premier cône parallèlement à lui-même, de manière que son sommet (S, S') coïncide avec le sommet (T,T') du second (art. 237). Sa nouvelle trace ge est semblable à l'ancienne; elle rencontre la trace du cône resté fixe en deux points I et I|f symétriquement placés par rapport à la droite DK : nous trouvons ainsi deux couples de génératrices parallèles TI, SJ et TI,, SJ4, et par suite deux asymptotes ui, uir Les génératrices qui ont pour projections horizontaies les lignes TI etTI, sont représentées sur le plan vertical par une seule droite TT. Les génératrices correspondantes du second cône ont également une projection ver-

ticale commune S'J'. Enfin une seule asymptote ïi" est la projection des deux asymptotes de l'intersection.

Sur le plan vertical nous avons indiqué les deux nappes des cônes, mais sur le plan horizontal la ponctuation a été établie, dans la supposition que ces corps étaient limités à leur sommet.

248. Les deux cônes formant un système symétrique par rapport au plan vertical dont la trace est DE, on peut obtenir la projection verticale complète en ne considérant que l'une des deux moitiés de ce système, par exemple, celle qui est en avant du plan vertical DE. La courbe dans l'espace se trouve ainsi limitée à ce plan, et les points où elle le coupe sont des arrêts pour sa projection. Ces points a7, jS', ■/ et d' sont ceux où se rencontrent les génératrices qui forment le contour apparent des surfaces.

Si les traces des cônes sont des courbes géométriques, la projection de l'intersection sera également une courbe géométrique, et les points d'arrêt limiteront seulement ses parties utiles.

249. On sait que, quand deux surfaces du second degré ont un plan principal commun, la projection de leur intersection sur ce plan est une conique.

Dans le problème qui nous occupe, les traces horizontales des cônes sont un cercle et une ellipse, et par suite ces surfaces sont du second degré; le plan vertical de projection est d'ailleurs parallèle au plan principal KD; en conséquence, et d'après le théorème que nous venons de rappeler, la projection verticale de l'intersection est une conique. Nous avons trouvé qu'elle avait une asymptote: c'est donc une hyperbole dont la seconde branche infinie est parasite.

Lorsqu'une hyperbole est coupée par une droite, les segments interceptés entre la courbe et ses asymptotes sont égaux. D'après cela, si nous prenons les longueurs /a" et y'|3", respectivement égales à y" a' et yw{3\ nous aurons deux points a" et /3" de la seconde asymptote.

La courbe a deux parties parasites qui s'étendent l'une de y' à d\ et l'autre de |3'à a*, en passant par l'infini. Nous les avons indiquées par un trait composé d'éléments de lignes séparés par deux points. On peut les construire d'après les propriétés spéciales de l'hyperbole.

250. Nous ne croyons pas nécessaire de revenir sur la détermination par points des projections de l'intersection. Les traces E«, Eu, des plans limites touchent la base du premier cône et coupent celle du second; il y a donc pénétration. L'une des courbes compagnes est la ligne fermée (aQyQo a'Q'y')"> l'autre a deux branches infinies. .

Les génératrices limites ont leurs traces horizontales aux points/?, qypK et q%.