CHAPITRE VI. — INTERSECTION DE SURFACES COURBES. — PL. XXXVIII. IOI

Observations générales.

251. Nous n'avons pas donné de règle pour distinguer, sur chaque projection de l'intersection, les parties vues de celles qui sont cachées; il ne serait peut-être pas facile d'en avoir une qui fût applicable dans tous les cas, et d'ailleurs elle aurait peu d'utilité, car, dans les exercices graphiques, on doit toujours se rendre un compte exact des formes des* objets représentés. En montrant, comme nous l'avons failsur les PL XXIII, XXIV et XXV, une même intersection dans des hypothèses différentes sur la nature des cônes et des cylindres, nous avons donné des exemples qui indiquent commentées questions doivent être analysées.

Si l'on a besoin de connaître les transformées de la courbe d'intersection, dans le développement des deux surfaces, on opérera comme il est expliqué aux articles 158 et suivants pour le cylindre, et à l'article 178 pour le cône.

Les données ne sont pas toujours disposées comme nous l'avons supposé. Dans quelques épures de stéréotomie, on détermine l'intersection de deux cylindres horizontaux dont on a les sections droites rabattues sur le plan horizontal. La marche à suivre consiste, dans tous les cas, h couper les surfaces suivant des droites, par des plans convenablement disposés. Les petites modifications qu'il faut apporter quelquefois aux tracés ne méritent pas de nous occuper actuellement.

Notions générales sur la courbe d'intersection de deux sur/aces

du second ordre.

251 a. La ligne d'intersection C de deux surfaces du second ordre A et B est du quatrième ordre; en d'autres termes, cette courbe est coupée partout plan en quatre points qui peuvent être deux à deux imaginaires. On le reconnaît en remarquant qu'un plan coupe les deux surfaces suivant deux coniques dont les points communs sont les rencontres de la courbe C avec le plan. Or on sait que deux coniques situées sur un même plan ont quatre points d'intersection.

Il existe une autre courbe gauche du quatrième ordre qui est dite de seconde espèce, et dont nous n'aurons pas a nous occuper.

La projection y de G sur un plan quelconque, que nous pouvons supposer horizontal, est coupée en quatre points par toute droite X tracée sur ce plan, car un plan vertical passant par X coupe C en quatre points dont les projections sont les rencontres de X avec 7. La courbe 7 est donc du quatrième ordre.

Le raisonnement qui précède montre que la projection d'une courbe gauche sur un plan est, en général, du même ordre pue la courbe elle-même.

251 b. Les figures de 124 à 1 33 sont relatives à des intersections de cônes du

second ordre; elles montrent que la courbe y a quelquefois des points doubles. Il est intéressant de savoir quel peut être leur nombre.

Nous appelons P et Q les plans diamétraux conjugués aux cordes verticales dans les surfaces A et B, et R l'intersection de ces plans. Un point double de y correspond à une corde verticale de G (art. 218); le milieu de cette corde appartient aux plans P et Q et par suite a leur intersection R. Par cette droite nous faisons passer un plan vertical, qui coupe les surfaces A et B suivant des coniques U et V dans lesquelles la droite indéfinie R est un diamètre conjugué aux cordes verticales. Les deux coniques se coupent en quatre points M, et M2, N, etN2, qui se projettent sur deux points doubles fx et v delà courbe y. Nous voyons que cette courbe a en général deux points doubles, et qu'elle ne peut en avoir un plus grand nombre, à moins que les surfaces A et B ne soient tangentes Tune à l'autre, car le point de contact serait un point double de l'intersection G (Jig. 128), et la projection de ce point formerait un troisième point double sur y.

Il peut arriver que les coniques U et V se touchent en un point de la droite R : deux points de rencontre M, et M2 se confondent alors, la projetante MlMa devient tangente en un même point à U et a V, par suite aux surfaces A et B, et à leur intersection C. La courbe y possède dans ce cas un rebroussement au point /x (art. 217). Si les coniques U et V se touchaient en deux points, la courbe y aurait deux points de rebroussement.

Les quatre points communs aux courbes U et V peuvent être imaginaires deux à deux. La courbe y peut ainsi n'avoir qu'un point double, et même en être complètement dépourvue (1).

251 c. Quand les surfaces A et B ont une génératrice rectiligne commune D, la courbe C, qui avec D forme l'intersection du quatrième ordre, ne coupe un plan qu'en trois points; c'est donc une courbe du troisième ordre : on l'appelle cubique gauche.

La droite D passe par un des points de rencontre des coniques UetV (art. 251 b). Soit Nf ce point : la corde M,Ma détermine sur la projection y un point double jx. La projection d'une cubique gauche est donc une cubique plane (c'est-à-dire une courbe plane du troisième ordre) ayant un point double.

Tout cône ayant pour directrice une cubique gauche et son sommet en un point de cette ligne est du second ordre9 car un plan passant par le sommet coupe la cubique en deux autres points, et contient par suite deux génératrices du cône.

251 d. Lorsque les surfaces du second ordre A et B, qui ont une génératrice

(1) M. Chasles a établi le premier que la courbe 7 possède deux points doubles ou conjugués (réels ou imaginaires). La démonstration que nous donnons de ce théorème est due à Théodore Olivier; elle a l'avantage de conduire à des constructions possibles. Pour compléter la discussion, il faudrait examiner le cas où les coniques U et V ont une ou deux sécantes communes idéales réelles. La courbe 7 possède alors un ou deux pointa conjugués.