CHAPITRE VI. — INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES. — PL. XXXVIII. Io

commune D, sont des cônes, chaque plan auxiliaire G (art. 223) contient la droite D et deux autres génératrices a et b appartenant respectivement aux cônes A et B. Le plan G détermine ainsi sur la cubique gauche un seul point q intersection de a et de b.

Lorsque le plan auxiliaire G tournant autour de D tend à devenir tangent au cône A, l'angle de a avec D diminue indéfiniment, et le point q se .rapproche indéfiniment du sommet du cône B, car ce sommet est sur la" droite D. La cubique gauche passe donc par les sommets des deux cônes. Le deuxième théorème de l'article précédent pouvait faire prévoir ce résultat.

La construction de la cubique gauche comme intersection de deux cônes du second ordre peut donner lieu à des exercices graphiques intéressants.

252. On peut assez souvent simplifier la construction des projections d'une courbe d'intersection, en s'appuyant sur les propriétés spéciales des surfaces que Ton considère. C'est ainsi que nous avons appliqué à l'article 249 un théorème relatif aux surfaces du second ordre qui ont un plan principal commun.

Voici, sur les mêmes surfaces, six autres théorèmes qui sont quelquefois utiles pour les tracés.

i° Quand deux surfaces du second ordre ont une courbe plane commune, elles se coupent suivant une seconde courbe plane, qui peut se confondre avec la première, et alors les surfaces sont tangentes Vune à l'autre en tous ses points, et qui peut aussi devenir imaginaire.

2° Quand deux surfaces du second ordre sont tangentes Vune à Vautre en deux points non situés sur une génératrice rectiligne commune, leur intersection est le système de deux courbes planes qui se croisent aux points de contact. Ces deux lignes d'intersection peuvent se confondre en une seule ligne de contact.

Quelquefois les surfaces nont en commun que les deux points de tangence.

11 résulte de ce théorème que, quand deux surfaces du second ordre se touchent le long d'une courbe, cette ligne est nécessairement plane. On dit alors que l'une des surfaces est inscrite, et l'autre circonscrite.

3° Quand deux surfaces du second ordre sont circonscrites à une même troisième surface de cet ordre, leur intersection (s'il y en a une) est le système de deux courbes planes, dont les plans se coupent suivant la même droite que les plans des courbes de contact. Quelquefois les surfaces sont simplement tangentes en deux points*

4° Quand deux surfaces développables du second ordre (cônes ou cylindres) sont tangentes Vune à Vautre le long d'une génératrice rectiligne, elles se coupent suivant une courbe plane. Quand les surfaces en question sont deux cônes ayant même sommet, ou deux cylindres, la section (s* il y en a une) est le système de deux droites situées dans un plan.

5° Deux surfaces du second ordre homothétiques ne peuvent se couper que suivant une courbe plane.

6° Quand une surface du second ordre est circonscrite à une sphère, la conique suivant laquelle elle est coupée par un plan tangent à la sphère a l'un de ses foyers au point de contact ( i ) .

Intersection d'une surface de révolution et d'un cylindre. {Planche XXXIX.)

253. La trace horizontale du cylindre est la courbe GG, ; la droite (Or,, 0\ r\ ) fait connaître la direction de ses génératrices. La surface de révolution est donnée par son axe, qui est vertical, et par sa méridienne de front. Nous avons ponctué la figure en supposant que le cylindre était enlevé.

Un plan horizontal C'E'0'2 coupe la surface de révolution suivant deux parallèles dont il est facile d'obtenir les projections horizontales, et le cylindre suivant une courbe identique a la directrice GG, : nous pourrions tracer la projection horizontale de cette courbe sur le plan horizontal, et déterminer son intersection avec les projections des parallèles; mais la construction serait minutieuse, et ne donnerait quelque exactitude que si elle était faite avec beaucoup de soin. Il vaut mieux opérer sur la directrice GG, elle-même, en reportant les parallèles dans la position convenable.

254. Nous amenons le plan C'E'0'2 sur le plan horizontal en faisant mouvoir tous ses points sur des droites parallèles aux génératrices du cylindre. La section faite dans cette surface vient se placer sur la trace GG, ; le centre (0, 0'2) des parallèles C'0'2 et E'0'2 suit la ligne (Ora, 02r2), et se place en r2 : si de ce point comme centre, et avec un rayon égal à 0'2C, nous traçons un arc de cercle, les points m et n, où il rencontre la trace GG,, appartiendront à l'intersection; il n'y aura plus qu'à les reporter en (a, 2') et en (i/|, i4')> sur le parallèle considéré, par des génératrices du cylindre.

Les lignes m.i et ra.i4 sont égales a r20, longueur de la projection horizontale de la partie d'une génératrice du cylindre comprise entre le plan horizontal de projection et le plan auxiliaire. On peut donc obtenir les points a et 14 avec exacti-

(1) On peut voir pour les premiers théorèmes les démonstrations de M. Chasles (Correspondance sur ï École Polytechnique ; t. UI, p. 3î*8 et suivantes), ou celles de M. Poncelet (Traité des Propriétés prqfecthes; art. 600, 601 et 603). Pour le cinquième, on remarquera que, d'après la supposition faite sur les surfaces, les termes du second degré ont dans les équations des coefficients proportionnels, et peuvent par suite être éliminés tous ensemble. Dans ce cas, l'intersection du quatrième ordre est complétée par une conique à l'infini.

Le sixième théorème est dû à M. Dandelin. On peut l'établir en remarquant que les sections faites par un même plan dans la surface et dans la sphère sont tangentes en deux points. Quand le plan touche la sphère, on doit regarder qu'il y fait une section circulaire d'un rayon infiniment petit, ayant un double contact idéal avec la conique. Le point de tangence est, par suite, un foyer de cette courbe.