LIVRE IV. — PERSPECTIVES AXONOMÉTRIQUE ET CAVALIÈRE

à B',N', on trouvera que les longueurs qui doivent correspondre à un mètre sur les axes A a? et Az sont A', M et C'P.

294. Quelquefois on se donne, non la direction des axes sur la figure, mais les grandeurs qui doivent représenter l'unité dans la direction de chacun d'eux.

Appelons m, n etp ces longueurs, a, b et c les angles des axes avec le plan de

projection, et k la grandeur de l'unité dans l'espace, c'est-a-dire la longueur qui,

portée sur l'un ou l'autre des trois axes, est réduite par la projection à m9 n ou /?.

Nous avons

kcosa = m, kcosb=zn9 kcosc = p.

Les trois axes étant rectangulaires, la somme des carrés des cosinus des angles qu'ils font avec une droite quelconque telle que (S,$S') {fig. 175) est égale k 1, et par suite la somme des carrés des cosinus des angles complémentaires a, b et c qu'ils font avec le plan de projection est égale à 2 :

cos1 a ■+- cos*6 -+- cos'c = a ; donc

aA*~ m' -4- n' -+-/>*.

m, net/? étant connus, on obtient A: par une construction très-simple {fig. 174), et Ton a l'échelle des vraies grandeurs; on détermine ensuite les angles a, b et c par des triangles rectangles, tels que MM'A'lf NN'B'j , PP'C.

Les inclinaisons des trois axes étant déterminées, il est facile d'obtenir les angles que comprennent leurs projections en établissant \z figure 1 75 par une construction en ordre inverse de celle que nous avons donnée à l'article 82. On trace une droite XY dans la direction que l'on veut donner aux verticales, on élève une perpendiculaire sS' d'une grandeur arbitraire, on trace par le point S' les droites S'A',, S'B't etS'C, qui rencontrent XY sous les angles a, b et c, puis la ligne S'rf', perpendiculaire à SX'. On place le point S sur le prolongement de la droite S's. Le reste de la construction n'a pas besoin d'explication.

295. En faisant disparaître k de la valeur de cos a, on obtient

cos2a =

Pour que l'angle a soit réel, il faut que m2 soit plus petit que n2 -+-/>*. Si cette condition n'était pas satisfaite, le triangle rectangle qui fait connaître l'angle a ne pourrait pas être construit, car l'hypoténuse userait plus petite que le côté m. On ne trouve un système de trois inclinaisons réelles que quand chacune des quantités m2, n2 eip2 est plus petite que la somme des deux autres.

La construction conduit a la même conséquence. Pour que les axes horizontaux aient des projections réelles Sx et Sj, il faut que les arcs décrits du point S