PINS

Fig. 3

Fig. 4.

portion de droite comprise entre deux points connus. Supposons que cette portion de droite soit celle qui se termine aux deux points quelconques (B, B') et (D, D’) de (AB, A'B’), il est clair qu’en construisant par le procédé du numéro précédent le rabattement bd, la partie de ce rabattement comprise entre les points b et d sera la longueur cherchée.

44. Mais on peut arriver à la solution de cette question par des moyens plus directs. En effet, la longueur demandée (BD, B'D') est l'hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté est horizontal et l’autre vertical ; or, le premier côté est égal à la projection BD de la portion de droïte en question, et le second est la différence oB' des verticales D'B' et d'D' qui correspondent aux extrémités de (BD, BD"): donc si l’on mène l’horizontale oD', et qu'on porte BD de o en 7, puis qu'on [ane B'etz, B'n sera la longueur demandée.

45. Nous ferons remarquer que l'angle B'no du tr angle rectangle B'ro, est l'angle de la droite (BD, B'D avec le plan horizontal; d’où l'on voit que, soit que l’on opère par le moyen du rabattement £d ou par le moyen du triangle rectangle B'no, on obtient toujours à la fois la longueur d’une portion de la droite que l’on considère, et l'angle de cette droite avec le plan horizontal.

Si l’on avait opéré sur la portion de droite (Am, A‘m'), on aurait trouvé pour l’hypoténuse d’un triangle analogue à B'ro, une ligne égale à la grandeur am de la partie de (AB, A’B”) comprise entre les plans de projection ; car les extrémités (A, A’) et (m, m°) de (Am, Am’), sont évidemment les traces de la droite (AB, A'B').

Ce qui précède montre que les questions que l’on peut proposer entre le point et la figne droite, considérés par rapport aux plans de projection, se résolvent avec beaucoup de facilité. On va voir que les solutions de celles qui sont relatives au plan, se construisent aussi très facilement.

46. Parmi ces questions Ja plus remarquable est celle-ci : Un plan étant donné, trouver ses angles avec les plans de projection. Soit (AB, BC) le plan donné , et proposons-nous d'obtenir l'angle qu’il forme avec le plan vertical. Ces deux plans se coupent suivant la ligne BC, et nous savons que si l'on mène par un point quelconque C de cette ligne , un plan auxiliaire qui lui soit perpendiculaire , il coupera les deux plans dont elle est l’intersection, suivant deux droites qui feront entre elles l'angle cherché. Exécutons ces constructions. Le plan auxiliaire étant perpendiculaire à la ligne BC, il aura pour trace verticale la droite DC perpendiculaire à cette ligne.

Ven

De plus , ce plan sera perpendiculaire au plan vertical, donc sa trace horizontale sera la droite DA perpendiculaire à DB. Or, le plan (AD, DC) contient l'angle cherché, et cet angle est celui de la droite DC avec la droité qui joindrait les deux points (A, D), (F, C); car c’est évidemment suivant cette dernière droite que le plan (AD, DC) coupe le plan donné. Rabattons donc le plan auxiliaire (AD, DC) sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace AD; il est évident que la droite DC ne sortira pas du plan vertical, puisque la charnière AD est perpendiculaire à ce plan; donc elle aura son rabattement sur DB; donc si l’on porte DC de D en E, et que l’on mène AE, le triangle ADE sera le rabattement de celui dont les sommets sont A, D et C, et l'angle DEA sera l'angle cherché.

On construira par les mêmes moyens l’angle du pH donné: avec le plan horizontal.

47. On peut encore se proposer cette question entre un SEM (AB, BC) et les plans de projection : c’est de construire l’angle que font entre elles les traces AB, BC, de ce plan. Il est visible qu'il suffira, pour la résoudre, de rabattre le plan (AB, BC) sur l’un des plans de projection, en le faisant tourner autour de sa trace sur ce plan, et que l'angle de cette trace avec le rabattement de l’autre trace, sera l'angle cherché. Nous laisserons aux commencçans le soin de faire les constructions.

48. Les solutions de ces premiers problèmes étant bien entendues, les questions qui peuvent être proposées entre les points, les droites et les plans, ne présenteront aucune difficulté. Le paragraphe suivant est consacré à celles de ces questions qui sont les plus intéressantes ; mais avant de nous en occuper, il convient d'exposer sur le tracé des lignes dans les dessins, des conventions générales qui seront constamment observées par la suite.

49. Dans la Géométrie descriptive, toutes les figures où l’on emploie deux ou un plus grand nombre de plans de projection, bpeent des Épures.

50. Les lignes qui les forment sont ordinairement très bnbieniés etil est souvent difficile de reconnaître ce qu’elles indiquent , quoique les diverses manières de les mettre au trait (voyez Êg 5, “i 3) soient affectées chacune à un objet particulier.

Pour arriver aux conventions à faire sur la mise au trait des es , nous nous rappellerons qu’une projection n’est autre chose qu’une image, une

vue, ou plus rigoureusement, une perspective (voyez l’Introduction), dont | 3

le point de vue est à l'infini, sur une perpendiculaire au plan de projection.

I suit de là, premièrement, qu'il ÿ a un point de vue particulier pour chaque projection, considérée comme une image ou une perspective des grandeurs qu'elle représente ; ; secondement , que le point de vue de la projection horizontale est à l’infini au-dessus du plan horizontal, et que les rayons visuels qui correspondent à ce point sont verticaux ; troïsièmement, que le point de vue de la projection verticale est à l'infini en avant du plan vertical, et que les rayons visuels correspondans sont horizontaux et perpendiculaires au plan vertical (*).

51. Cela posé, lorsqu'un système de grandeurs est représenté au moyen de deux projections, ces grandeurs ont sur chaque projection des parties vues et des parties cachées. S'il s’agit, par exemple, d’un plan et d'une droite, la droite percera le plan en un point, et quelque projection que l'on considère, ce point la divisera en deux parties, l’une cachée par le plan, et Pautre vue. De plus, ce plan et cette droite atront des parties situées au-dessous du plan horizontal et derrière le plan vertical, et

comme on suppose les plans de projection solides et opaques, ces parties seront aussi cachées.

52. Or, pour qu'une projection fasse image, il faut que les parties vues

des grandeurs qu’elle est destinée à représenter, soient indiquées par les Dee les plus apparentes, et les parties cachées, au contraire , par les liés qui S’'apercoivent le moins: On doit donc consacrer les lignes pleines,

comme ÂB, aux premières, et les lignes ponctucées, comme CD, aux

dernières.

Mais la détermination des parties vues et cachées des diverses lignes d’une épure est quelquefois une chose difficile. D'abord, chaque projection

ayant son point de vue particulier, ce qui est vu sur lune, souvent ne

l'est pas sur l’autre; en sorte qu’il faut, pour déterminer cés parties, deux opérations séparées , une relative au plan horizontal, et l’autre relative au plan vertical. Ensuite, ces opérations exigent qu’on se rende parfaite ment compte de la situation particulière des grandeurs, par rapport aux

(*) On pourrait également dire que le point de vue de la projéction horizontale est à" l'infini au-dessous du at horizontal , et le point de vue de la projection verticale à Pinfini derrière le plan vertical; mais come on place les grandeurs qu’on représente, autant.qw’il est possible ,au-dessus du plan horizontal , éten avant du plan vertical (29), ilestnaturel

de supposer les points de vue des deux projections, respectivement au-dessus eten ayant des deux plans de projection.

plans de projection, et les unes par rapport aux autres, ce qui demande toujours beaucoup de sagacité et d'attention.

D'après cela, pour éviter des difficultés, et pour que le trop grand nombre de lignes pleines ne rende pas les épures confuses, il convient de borner l'emploi des lignes pleineset ponctuées à la représentation des grandeurs importantes.

53. Quant aux grandeurs qui servent aux constructions , il est bon de les représenter avec des lignes pointillées, comme EF, parce que ces lignes sont peu apparentes et qu’elles n’apportent conséquemment que peu de confusion sur les dessins, et parce qu’elles sont faciles à faire, ce qui est d'autant plus avantageux qu’elles sont souvent très nombreuses.

54. De ce que les grandeurs importantes ont des parties vues et cachées, il s'ensuit qu'on admet qu’elles existent; et comme les grandeurs qui servent aux constructions se représentent sans distinguer les parties vues des parties cachées , nous ferons la supposition très naturelle qu’elles n’existent pas physiquement dans l’espace, ou au moins qu’elles n’y ont que l'existence momentanée que le discours suppose.

55. Quelquefois la supposition qu'une grandeur importante existe , et la nécessité qui s’ensuivrait de déterminer ses parties vues et cachées, conduirait à des recherches pénibles, qui nous écarteraient trop de notre sujet : dans

-ce cas, nous considérerons cette grandeur comme si elle n’était nécessaire que pour les constructions; mais au lieu de la représenter avec des lignes pointillées, nous la représenterons avec des lignes composées de points et d’élémens linéaires, comme GH, G'H', G'H". Ces lignes receyront le nom de dignes mixtes.

Nous les emploierons aussi pour indiquer les grandeurs qui présenteront quelque singularité remarquable, ou qui seront d’une importance moyenne, et qu’il faudra distinguer des constructions ordinaires.

56. D’après cela, voici les conventions qui serviront pour la mise au trait des épures.

1® Convenrion. Les données, les résultats et les grandeurs importantes

sont supposés exister dans l'espace, et leurs parties vues et cachées seront

en général indiquées , les premières en lignes pleines, et les dernières en lignes ponctuées. | due

2° Convention. Les autres grandeurs ne sont pas supposées exister dans

l'espace , et on les indiquera ordinairement par des lignes pointillées. | sh

Fig. 6.

3e Convenriox. 7'outes les fois que , par une des raisons exposées n° 55, on sécartera, pour une grandeur, des deux règles précédentes, on supposera que cette grandeur n'existe pas dans l'éspace , et on la représentera au moyen de lionel mixtes (*).

Nous aurons soin d'exposer par la suite, après chaque blem} sous le titre d'Exécution de l'épure , les particularités auxquelles pourra donner lieu le tracé des lignes et la détermination de leurs parties vues et cachées.

57. Pour qu'on se familiarise promptement avec les conventions précédentes, appliquons-les aux figures des planches 1 et 3. Quant à la planche 2, il serait superflu de nous y arrêter. |

Les plans de pr ojection étant sur les figures 1,2, 3,5 et 6 de la planche " des grandeurs de première importance, on a marqué leurs contours en lignes pleines , parce tu contours sont vus.

Dans la figure 4, même planche, les lignes PQ, QR, RO, OP, VU, UT, TS, SV, qui forment les contours des deux plans de projection PORO, VUTS, ont été marquées en lignes pleines ou ponctuées, selon qu’elles se sont trouvées vues ou cachées. Les lignes CD, cd, c'd', ef, dont il est prin-

. cipalement question dans le texte, étant vues, on les a indiquées en lignes

pleines, et l’on a tracé, au moyen d’élémens linéaires, toutes les autres lignes de la même ÉLEHe , parce qu’elles ont peu d'importance.

"58. Dans la figure 6, le plan (AB, BC) est percé par la droite FQPQ) en un point (P, P' ) que nous saurons bientôt déterminer (68 et 69) : partie (PR, P'R’) de cette droite, considérée en projection er ; est sous le plan (AB, BC), et elle est derrière ce plan, quand on la considère en projection verticale ; cette partie n’est donc vue ni en projection horizontale, ni en projection verticale, et c’est pourquoi les RERS PR, P'R’, sont ponctuées.

pes traces AE, CD, du plan (AB, BC), présentent aussi des parties ponctuées BD, BE par la raison que ces parties ne sont pas vues. En effet , 1l est évident que la ligne BE est sur la partie postérieure du plan horizontal, c'est-à-dire sous le rabattement de la partie supérieure du plan vertical (30), et que la ligne BD est sur la partie inférieure de ce dernier plan, c'est-à-dire sous la partie antérieure du plan horizontal; donc les lignes BD, BE, ne sont pas vues.

() Ces conventions PERpOsent que lon représente les surfaces avec des lignes; © est ce qu'on fait effectivement, ainsi qu’on le verra livre IT, chapitre I.

Suivant les conventions établies, la partie Bm de la ligne de terre étant cachée par le plan (AB, BC), elle devrait être ponctuée; mais comme on suppose perpétuellement, en considérant les plans de projection, qu'ils sont rectangulaires entre eux (10), la ligne de terre doit toujours être pleine, parce qu’elle représente sur chaque plan de projection l'autre plan de projection.

La droite (AB, A'B') (pl. 3, fig. 2) n'étant vue que dans la partie comprise entre les deux points (A, À’) et (B, B'), puisque les autres parties de cette droite sont situées au-dessous du plan horizontal, ou derrière le plan vertical, on a ponctué les parties de ses projections qui correspondent aux parties RER , et l’on a mis en here pleines celles qui correspondent aux parties vues.

De même, la droite (AB, AB’), qui passe en (A, A’) derrière le plan vertical, a sa partie (Am, A'm/) tracée en petits points. Dans la même figure, bm est un résultat dont la partie vue sur le plan. horizontal est pleine, et dont la partie cachée par le rabattement du plan vertical est ponctuée. |

Enfin , dans la f igure 4, planche 3, l'angle demandé AED étant formé par la He de terre et par une Mitre AE située sous le plan donné, on a ponctué cette ligne vers le point E; et si elle n’est pas ponctuée dans toute sa longueur, c’est qu'on l’a considérée comme une ligne de construction dans la partie qui aboutit en A.

RAAANANANANA AAA ANA AANANAANAAAAAA AAA AAA AANTAAAAAAAA ANA AAA A AAA AA AAA AA AA AA AMAAAANANS AAA AAA AAA ANA ANA