PL. G
Fig. 1.
de ces élémens qu’on en voudra, et l’on en déduira la représentation de larsurface développable dont il s’agit.
7188. Cela fait, on prendra un point quelconque sur la courbe donnée, et Pon menera par ce point une tangente à la surface développable construite; le point de contact de cette tangente appartiendra à une des développées de la courbe donnée, et c’est cette développée qu’on se proposera de construire. On exécutera pour cela le développement du lieu des pôles de la courbe donnée; chaque développée sera une droite sur ce développement ; il ne s'agira donc que de rapporter sur ce même développement la tangente menée, et le prolongement indéfini de cette tangente coincidera avec la transformée de la développée cherchée , en sorte qu’en rapportant cette développée sur la surface développable que composent les développées, on aura la développée demandée.
789.- Si au lieu de mener par le point pris sur la co ibe donnée une seule tangente à la surface développable représentée, on en menait plusieurs, il y aurait une développée correspondante à chacune, et ces développées se constrüiraient par le moyen qui vient d’être exposé. #
790. 1° Exemple. Cherchons une des développées de la courbe d'intasslihé de la sphère {(A, A’), (FG, G'E'F")}, avec le cylindre perpendiculaire au plan vertical de, projection, dont l’axe est (HI, H'), et qui a pour trace verticale. le demi-cercle F"K'E”.
Cette courbe aura pour projection verticale l’are F’K'E”, et il faudra d’abord en construire la projection horizontale. Pour cela, on prendra un point quelconque M’, sur la projection verticale connue, et l’on remarquera que les points correspondans de lintersection sont sur un cylindre droit, dirigé horizontalement , dont la base est le cercle B'M', décrit du point A” comme centre. Ce cylindre coupera la sphère suivant deux cercles verticaux parallèles au plan vertical de projection. Les traces des plans qui les contiendront seront faciles à obtenir, et la droite BM en sera une. Or, les points de la sphère projetés en M’ appartiendront nécessairement , chacun, à un de ces cercles; doncles projections horizontales de ces points seront sur les traces des plans de ces mêmes cercles : ainsi (M, M’) sera l’un des points de la courbe d’intersection cherchée; d’où l’on voit qu’il sera aisé de construire la projection EMFR' de cette courbe.
791. Il s’agira maintenant de mener des plans normaux à la ligne (EMFR’, F°K'E'), et de construire la surface développable qu'ils enveloppent. Nous remarquerons d’abord que tous les plans passant nécessairement par le centre (A, A”) de la sphère donnée, cette surface ne peut être qu’un cône dont le sommet soit (A, A”) (*). Or, si on construit les traces horizontales AH , NO, PQ, RS, AT, d’un assez grand nombre de plans , normaux
à la courbe (EMFR’, F'K'E”), suivant certains points (E, E”), (L, L”), (M, M‘), (U, U’)
et (V, V’), choisis arbitrairement sur cette courbe, toutes ces traces détermineront une ligne. HXYST... qui sera la trace horizontale du cône, lieu des développées de(EMFR“, I'K'E/), et qui déterminera ce cône, sans qu’on ait besoin de traces verticales des plans normaux.
702. Quant a aux traces horizontales AH, NO, PQ, RS, AT, voici comment on les ob-
(*) En général le lieu des pôles d’une courbe sphérique.est toujours un cône.
tiendra. Opérons d’abord sur le point (M, M"). On menera par ce point un plan tangent (C'D’, D'M'), au cylindre donné; puis on cherchera la trace horizontale H"C', d’un plan tangent en (M, M") à la surface sphérique : les traces H°C, D'C’, se couperonten un point C', et la droite C’M, menée par ce point, sera la projection horizontale de la tangente en (M, M'), à l'intersection (EMFR', F'K'E').
* Pour que la figure soit claire, opérons actuellement sur le point (L, L”). Lorsqu'on aura la projection horizontale WL de la tangente en ce point, il sera très facile d’avoir la trace horizontale du plannormalencemêmepoint; parce qu’ellesera perpendiculaire WL (66), et qu'il suffira conséquemment } pour pouvoir la construire, d’en obtenir un point. Si donc on fait attention que le plan normal cherché passe par (A, A”), et si lon mène la droite (LA, L'A"), dont la trace horizontale est le point R; puis, par ce dernier point, la droiteRS perpendiculaire à WL.,, cette droite RS sera la trace cherchée du plan normal en (L, L’). 703. Si on donnait, au lieu du point (L, L'),un des quatre points singuliers projetés en E, V, F,R, les élémens de l'intersection (EMFR’, F'K’E") étant horizontaux à l'endroit de ces points, les plans normaux correspondans seraient des plans verticaux. Il est aisé de voir queces plansont pour traces les droites AT et AH, menées par le point À, parallèlement et perpendiculairement à la ligne de terre.
794. La courbe donnée étant composée de quatre arcs pareils (EV,E’V’), (VE, V'F’), (EFR’, FEV), RE, V'E, la base du cône enveloppe des plans normaux sera composée de quatre arcs égaux à HXYST, qui se joindront suivant des points de rebroussement, tels que ILet T, et qui seront situés chacun dans un des angles HAT, TAÏT, IAF, FAH. Il résulte de là que le cône, lieu des développées de la courbe donnée, est composé de quatre parties pareilles sur l’une desquelles il suffira d’opérer.
95. Cecône,dontle centreesten (A, A"), et dont la trace est formée k.. quatre arcs, tels que HXYST, étant représenté, il faudra construire son développemnnt , ce qui n’exigera pas d’autres procédés que ceux indiqués n° 629 et suivans.
On détermimera donc d’abord lintersection de ce cône avec une sphère , par exemple avec la sphère donnée. Gette intersection sera composée de quatre branches de courbe, qui se réuniront suivant les points de rebroussement (G, G}, (b, 2"), (d, d”),(f,b"), et dont lune sera projetée horizontalement en baG; et verticalement en b'a’G”. On rectifiera la projection horizontale baG sur une droite d"G", par le moyen de laquelle on construira facilement lare 0"a"G”, égal en longueur à l'arc de courbe (baG, ba G”).
Enfin , ayant la véritable grandeur de cet arc, il my aura plus qu’à la porter sur un arc de cercle fe, décrit d’un point quelconque C” comme centre, avécle rayon C'f"=—A'G',et le secteur indéfini eC’f” représentera tout-à-la-fois le développement de la nappe inférieure du cône, et celui d'une des quatre parties pareilles qui forment cette nappe. Le secteur opposé sera le développement de la nappe supérieure du même cône.
706. Imaginons que ce développement soit fait sur le plan vertical AT tangent au cône: il sera facile de rapporter le point (E, E’) de la courbe donnée sur ce développement. En effet , la perpendiculaire abaissée de ce point sur l’'arête (AT, A’T") est égale à 3E”, et tombe sur cette arête en un point y, éloigné de A’ de la longueur A’g ; donc le point (E, E”) doit se trouver sur le plan du développement en un point &’, tel que lon ait C'e'— Ag, g'é—
8E" et Ce = A'E
Fig. 1.
Fig. 1 et
Fig. 2.
Fig. x et Fig. 3.
Fig. 3
Fig. ».
Si par le pointe’ on mène une droite quelconque e’H", la portion H°4 de cette droite , comprise entre les deux droites indéfinies H"C", T”C', représentera sur le développement de la surface comiques lieu des développées de la courbe donnée, une de ces développées , en sorte qu'il ne s'agira plus que de rapporter cette droite Has sur la surface conique, pour avoir la dévaliiboe demandée.
797. Afin que les projections verticales de cette développée, de la courhe donnée, etde la surface conique lieu des développées, fassent à l’œil un effet satisfaisant, changeons le plan vertical de projection en un autre, oblique par rapport au premier.
Soient donc #n0p, m'n'o'p', les nouvelles projections de la courbe donnée, (A, A") le nouveau centre du cône lieu des développées, et (grsé, g'r's'#) la nouvelle trace horizontale de la surface de ce cône. Pour obtenir sur cette surface la développée de (mnop, m'n'o'p'), qui est en H”A sur le developpement du cône {(A”, A"), (grst, g'r's'#) } il faudra rapporter un certain nombre de points de la droite H°A sur les élémens de ce cône auxquels ils appartiennent. Ainsi le point £ appartient à l’élément (AY, A'Y"), qui s’est développé suivant C"Y”, et qui est projeté en (A"y, A"y'), sur les nouveaux plans de projection : en portant donc la longueur C’£, de (A, a") en G&, u'),sur l'élément (A“y,
A"y'), ou aura un point de la développée ne (quvxsx'22q, q'uwKl Faces et ses autres points se construiront tout aussi facilement.
798. Il est remarquable que cette courbe est composée de quatre arcs égaux Du. g'v !), (us, v's), (sz, s'z'), (zq, z'g'), qui se réunissent suivant des points de rebroussement. Cela était facile à prévoir ; car la courbe donnée étant composée de quatre ares égaux, il faut nécessairement que la développée soit composée aussi de quatre parties égales : ét si l'on se rend compte du mouvement d’un fil qui engendrerait la courbe donnée en se développant de dessus la ligne demandée, on concevra qu’il faut que ces quatre parties soientréunies entreellessuivant quatre points derebroussement. C’est ce qu’on va mieux voir tout à l'heure. |
799. Les points T,S, Y, X et H, étant ceux où les traces AT, RS, PY, etc., touchent la base du cône qui est le lieu des développées , les élémens (AT, A’T"), (AS, A'S'), ete., sont ceux suivant lesquels les plans normaux menés à la courbe donnée, par les points CE"), (L, L), MM), (U, U”) et (V, V'), touchent la surface de ce cône. Et les droites C”T”, C’S", C'Y”, C'X", C'H”, étant celles qui représentent ces mêmes élémens sur le développement de cette surface, il en résulte que les points 2, 5, &, , H", sont ceux suivant lesquels la développée demandée sera touchée par les directions du fil générateur de la courbe proposée, lorsqu'il passera par les points respectifs (E, E’), (L, L’), (M, M), etc.
11 suit de là que les points k, ë, &, 7, H”, étant rapportés sur la développée obtenue, et les points (E,E’),(L,L",), (M, M' ), etc., sur la courbe (mnpgq , m'n’p'q'), les droites qui joinudront un des premiers, et son US parmi les derniers , seront des positions du fil qui, par son extrémité, engendrerait la courbe donnée, en se déroulant de dessus la développée demandée.
D’après cela, il est assez facile de reconnaître les diverses positions de ce fil. Supposons qu'ihait son extrémité au point 7° correspondant à (E, E”), il se trouvera tangent en v’, à la développée; lorsqu'il décrira l'arc n'O'P'Q'r', il coincidera successivement avec les
CHAP: Iil. . DES DÉVELOPPÉES.. 305 lignes O'ÿ, P4,Q7', m's', et se développera de dessus la branche #’1'#l's" de la courbe demandée : arrivé à la position m's', qui done le osnt m' cor esRon Me UE! à (R', V'},il
-sera tout-àh-la-fois tangent à la branche #' TK Vs" et à la branches’z' , et en continuant son mouvement ; il se ployera sur cette dernière et décrira l'arc m'p' de la développante. Lorsqu'il sera en p'z, il touchera les branches s'z'et z'q', et en se déployant de dessus cette dernière , il décrira l'arc p'o'; après quoi, se ployant sur g'#', il achevera de décrire la courbe donnée.
Cet exemple montre bien clairement comment les points d’un fil ployé sur une ligne courbe , engendrent , lorsqu'il se déploie, des développantes de cette courbe. Comme il est important qu’on se famiiarise avec toutes les générations difliciles des lignes et des surfaces; parce que c’est le meilleur moyen de s’accoutumer à concevoir dans l’espace les opérations de la Géométrie , nous allons appliquer la recherche des développées deslignes, à un second exemple.
. 800. Toutefois nous ferons remarquer , avant de quitier celui qui nous occupe, que si Von voulait obtenir le rayon de courbure correspondant à un point quelconque (M, M), de la courbe donnée (EMFR’, E’K'F”), il ne s'agirait que d’abaisser par le point (M, M) une droite perpendiculaire à lPaxe (AS, AS”), des pôles de ce point : la partie de cetle droite comprise entre le point (M, M”), et l'axe (AS, A'S'), serait le rayon cherché (780).
8o1. 2° Exemple. Une hélice à base circulaire étant donnée, construire son rayon de courbure et l’une de ses développées.
Concevons qu’on fasse mouvoir un plan sur hélice donnée de manière qu’il soit constamment normal à cette hélice. IL est clair que les positions consécutives de ce plan se couperont deux à deux suivant une suite de droites, toutes disposées de la même manière par rapport à l'axe de lhélice ; donc Parêle de rebroussement de la surface engendrée par ce plan sera une hélice : donc cette surface sera un hélicoïde developpable (265). |
Si lon construit plusieurs positions du plan normal, et que lon mène une ligne tangente à leurs traces horizontales, cette ligne (263) sera la développante du cercle suivant lequel se projetera Parète de rebroussement; elle fera reconnaître ce cercle, et comme on sait développer un héliçcoide (638), la ral Pat du problème pr oposé n’exigera plus que des constructions aisées.
802. Pour les simplifier le plus possible, supposons que l’hélice donnée ait ses élémens inclinés à 45 degrés avec le plan horizontal, et soient ABCD..., A'B'C'D'..., les deux projections de cette hélice. \
Décrivons lPhélice (abcd,.., A’b'c'd'...), dont la projection horizontale abcd... coincide avec le cercle ABCD, et dont la projection verticale est la sinusoïde A'b'c'd'..., symétrique de A'BC'D"..., par rapport au plan vertical OO"; menons par le point (A , A”) le plan horizontal A'E' ; construisons dans ce plan la développante (&eFE, A’E') du cercle ABCD...., et concevons dans l’espace l’hélicoïde développable , dont (abcd...,
‘b'c'd'...) est Varête de rebroussement, et dont la trace horizontale, sur le plan A'F', est nécessairement la développante (aeFE; A'E) : je dis que cet héliçoïde sera le lieu des développées de lhélice (ABCD..., A’B'CD'...).
Fig,
oO
Fig. 1.
Fig. 2.
Eneffet, considérons sur lhélicoïde une enveloppée quelconque; par-exemple, celle qui correspond au point (e,e’) de l’arête de rebroussement : cette ‘enveloppée sera -la surface plane menée, normalement au cylindre vertical ABCD..., ‘par la ltangente (ce, c'e’) en (c,c"), à Thélice (abcd. .. , A'D'c'd”"...), ou; ce qui revient au même;par cette tangente (ce, c'e’), et par la tangente en (e, e’) à la développante (&FE, AE). Or, cette enveloppée est évidemment normale à hélice (ABCD. . ., A'B'C'D'...),en un point (CC), situé vis-à-vis (c, c‘): donc le plan mobile qui produit l’hélicoïde en question-est successivement normal à l’hélice donnée suivant tous ses points ; donc, etc.
803. Nous pouvons déjà trouver le rayon de courbure de cette hélice; car deux plans normaux consécutifs , qui la coupent suivant les points de Pélément infiniment petit qui passe en (A, A), ont pour intersection la tangenteen (a, a”) àl’hélice(abed. ..,A'b'e'd". .): or , la perpendiculaire abaïssée du point (A, A") sur cette intersection , c’est-à-dire le rayon de courbure demandé (780), est la droite horizontale (Aa, A"); donc cerayon est Aa. Ce qui montre qu'une hélice, inclinée à 45 degrés, a son rayon de courbure égäl au double du rayon du cercle auquel elle correspond (*).
804. Cherchons maintenant la développée de lhélice donnée. Pour cela, nous nous rappellerons ce qui a été dit n° 638 et suivans, et par les constructions indiquées sur l’épure, nous obtiendrons, fig. 2, le développement de lhélicoïide. Le cercle «6y®... sera Ja
transformée de l’hélice («bcd..., A‘b'c‘d'..); les points &, 6, y, d ... seront les mêmes
que (a, A’), @, 8), (c,c"),(d,d'), et les tangentes au cercle 4670. .., correspondantes à ces points, seront les élémens respectifs du lieu des développées de lhélice donnée.
Et si l’on fait attention que les enveloppées de l’hélicoïde, correspondantes aux points (a, A"), (6,8), (c, c’), etc., coupent la courbe donnée en des points (A, A”), (B, B’), (C, C’)},etc., qui sont les extrémités des rayons de courbure de lhélice (abcd...., A'b'c'd'....), on verra que tous les points de l’hélice donnée se trouvent en C” sur le développement obtenu (**).
805. Cela posé, menons par le point C” une droite indéfinie KL; cette droite-sera la transformée d’uve développée de l’hélice donnée, et nous pourrons, avant de construire les projections de cette développée , connaître ses propriétés principales.
Nous remarquerons d’abord que Phélice (abcd..., A'b'c«‘d'...), ayant une longueur indéfinie, elle forme nécessairement sur le cerclé«6»... une infinité de circonvolutions; que les deux nappes de l’héliçoide répondent à chaque circonvolution, et que le développement obtenu ne pénètre pas dans le cercle 467... D'où il est aisé de conclure, 1°. que la développée KL est composée d’un nombre infini de couples de branches projetées en #L, et pareillement d’une infinité d’autres couples de branches projetées en IK ; 2°. que les deux points «& et I, qui répondent à une même circonvolution de «65. .., réunissent, savoir : le premier «, une branche de la nappe supérieure et une branche correspon-
(*) En général, l’hélice donnée et l’hélice arête de rebroussement du lieu des développées :sont sur‘deux cylindres différens , et le rayon de courbure demandé est la somme des rayons de courbure de ces cylindres.
(**) Ce résultat n’est pas particulier à l'exemple que nous traitons; tous les points suivant lesquels une courbe donnée est coupée par ses plans normaux forment un seul et même point sur Le développement de lenveloppe de ces plans.
dante: de: là nappe inférieure , et le second 1. pareïllement une branche de la nappe supérieure:et une:branche dela nappe inférieure; 3°. enfin, que ces points deréunion « et I, rapportés sur (abed. .., A'b'c'd'...), seront despoints de rebroussement.
Remarquons maintenant que chaque élément y , de la nappe supérieure de l’héliçoïde, donnera un point 2 de la développée. Or, à mesure que Parc #7 s’approchera d’un quadrant, le point A s’éloignera du point «, et quand le point ysera au point »., tel que «C7 dn = 00°, l'élément yAicoincidera avec la droite MN, parallèle à KL: d’où il suit que le point X sera à une distance infinie du pointe sur la droite C’T. L'élément y’, correspondant au même point, et situé sur la nappe inférieure de l'hélicoide, n’aura pas de points sur la développée; mais lorsque le point y sera en 7, l'élément 7# rencontrera IK à l'infini vers M, et donnera un point de cette développée. Ensuite, à mesure que le point-y s’'approchera du point, ce point de la développée s’approchera aussi du même point I.
D’après ce que l’on vient de voir, on doit se faire une idée claire de la forme des diverses branches de’cette développée, dont chacune s'étend évidemment à Pinfini.
806. Rapportons cette même développée dans l’espace. Pour cela, il faudra ployer l'arc circulaire «by. .. sur hélice (abed..., A'D'c'd'...); chaque point y de cet arc viendra se placer sur un point (c, c’) de l’hélice, et si on porte la longueur > de (c, c')en(s,s"), sur la tan gente (ce, c'e’), le point (s,s’) sera un point de la développée. En construisant donc un nombre suffisant de points, tels que (s, s’),on obtiendra cette développée.
La branche qu’il sera naturel de construire la première est la branche (ask, A's'k'), qui correspond à l’arc (abc. .., A'b'e'...) de hélice (abcd..., A’L'o'd"...). I sera convenable de construire ensuite la branche (awy, A'y'), qui correspond à l'arc (af'g..., A'f'#); parce que ces deux branches se réunissant au même point (&, A”) de rebroussement donneront l’idée d’une des couples de branches dont la développée se compose.
Connaissant la courbe (ywask, y A's'k") ,on continuera de ployer l’arc 463... sur l’hé- - lice (abcd... , A’b'c'd'..), tant au-dessus qu’au-dessous du point (a, A"), et il est clair que tous les points de cette hélice, sur lesquels viendront se placer les points I et , correspondans à une moitié, deux moitiés , trois moitiés, etc. . de la circonférence a6yd... , seront des points de rebroussement, tels que (&, A”), d’une des couples de branches de courbes telles que (ywask, y A's'k), qui forment la développée (5, 7) sera lun de ces points, et les branches de développées (iul, ul"), (üév, d'y"), seront celles qui lui correspondront.
Entre deux points de rebroussement successifs (æ, A), (i, i’), qui comprennent un are (an’i, An"), égal au demi-cercle ar, le point milieu (7', 7") correspondra au point 7 de an]; et la tangente (xp, x”p') donnera les points extrêmes des: deux branches (ask, d's'k), Gitv, à'#v'), c’est-à-dire ceux qui seront à l’infini.
807. Pour décrire exactement une branche (ask, A's'#") de la développée, il sera bon de savoir construire ses tangentes, et ce qui suit va nous en donner le moyen. Imaginons que cette branche coïncide avec un fil (ksaA, &'s'A/), dont l'extrémité (A, A”) aboutisse à l’hélice donnée : il est clair que la partie droite (&A, A’), de ce fil, sera tangente en (a, A”) à la développée (ask, A's'4). Concevons que la partie (Aa, A’), de ce même fil, s'éloigne du point (A, A‘) pour décrire, par la propriété des développées, lhélice (ABCD..., A'B'C'D"...) : on sait qu’il sera tangent dans toutes ses positions à la branche de courbe (ask, Ask"); ainsi, lorsque le point décrivant sera en (C, C’), la partie rectifiée du fil
Pl:65, Fig. r et
Fio. 2, D
Fig. v.
Fig. x et Fig. 2.
Fig. 1.
touchera cette branche de courbe en (s; s°). D’après cela ,.il est extrêmement facile d’obtenir les tangentes de la développée demandée; car il est évident qw'étant donné le point de contact (s, s’), il ne s’agit que de mener l’élément correspondant (sc; s’e’) de Phéliçoïde, et le point (G, C’), situé sur l’hélice donnée, à la même hauteur que.{e, c! ), est celui par lequel passe la tangente (Cs, C’s’); au point (s, s’) de la développée.
808. Supposons que le porn décrivant (G, C”), du fil, soit arrivé au-point (Q, Q )# situé à la même hauteur que (7, n°); il résulte de ce qu'onvient devoir que lepoint de.con-
tact (s, 5°) sera situé à la rencontre de la courbe (ask, A's'k') et de la tangente(n'p, n"p'): or, on sait que cette rencontre a lieu à l'infini; donc la direction du fil générateur sera la ligne (QR, Q'R’), parallèle à (np, n'p'}ret. cètte ligne devant toucher la, branche (ik, À's'k') à l'infini, elle sera l'asymptote de cette branche.
Mais le point (Q; Q") est place de la même manière par rapport ao biichies (ask, A's'R"), (tv, 1'tv"), la première, située sur la mappe supérièure de l’héligoïde, et la seconde sur sa nappe inférieure; donc la droi te LB 1 BR) sera tout-à- larfois a. 10 de ces deux branches.
Quant aux asymptotes (gr, gr), (as z'x"), des branches (ay, A y), (iub, 'u 7 ), leur construction ne présentera aucune difficulté.
809. Or; la développée demandée est actuellement bien connue, et Von vas 1°, qu ’elle se compose de couples de branches, telles que (ask, A's’k"), (ay, A'y"), qui répondent à un même point (a, A”) de larête de rebroussement; 2°. que la réunion des deux branches qui forment chaque couple s'opère par un point de rebroussement; 3°. que chaque couple a lune de ses branches sur la nappe supérieure de lhéliçoïde , et l’autre branche sur la nappe inférieure ; 4°. que deux couples consécutives sont rattachées l’une à l’autre,ou ce qu’on appelle conjuguées, par une asymptote commune ;5°. enfin, que les deux branches de courbe , auxquelles appartient une même asymptôte, sont sur des nappes différentes de l’hélicoide. Voyons maintenant comment on pourra produire l’hélice (ABCD..., AB: C'D’...), au moyen de sa développée.
810. Le fil (Aask, A's’k"), en se déroulant de dessus la branche (ask, Ask”) , va dite la partie (ABCDQ, A'B'C'D'Q") de lhélice donnée. Lorsqu'il coïncidera avec l’asympiote (QR; Q'R") ; il sera entièrement développé de dessus cette branche, et;le point dé-
crivant, situé alors en (Q,Q"), pourra être considéré comme l'extrémité du fil (RQ,R‘Q),
ou comme l'extrémité d’un nouveau fil (SQ, S'Q") : en sorte que ce point (Q, Q!) poursuivra sa marche sans aucune solution de continuité, si ce dernier fil s’enroule sur là branche (wti, v'# 1). Alors il décrira la partie (Qjwb..., Q'f'a'b"...) de l’hélice donnée; il sera bientôt tangent en (4, #) aux deux branches (véi, #1), (iul, i'u'l'); et l'extrémité d’ün nouveau fil, ployé sur (éx/,iu'li), éantinuernits en le déployant , la génération de la courbe donnée. tds pis
D’après cela, pour décrire, Phélice (ABCD., ) ,A BC'D'...) au moyen de sa dévelop-
‘pée; supposée physiquement établie dans espace, il faut, 1°. que toutes les branches
(ask, A's'&"), Gud, ui), etc., alternativement supérieures et inférieures de. la couples à
laquelle elles appartiennent, soient garnies d’un fil ployé sur elles et prolongé j jusqu’à hé-
lice donnée : c’est-à-dire jusqu’en (A, A”); pour la branche (ask, A's’4"); 2°, que les parties d’asymptotes (QS, Q'S"), qui correspondent aux autres. branches , alternativement
inférieures et supérieures, coincident avec d’autres fils , aboutissant sur l’hélice donnée en des points tels que (Q,Q'). Cela posé, un fil (Aask, Ask") se déroulera et engendrera un arc d’hélice ; il viendra coincider avec une partie d’asymptote (QR, Q'R’), non garnie de fil, et s'arrêtera; le fil qui garnira l’autre partie (QS, Q'S’) s’enveloppera sur la branche ch #1), conjuguée à (ask, A's'k’), pour décrire un nouvel arc, et lorsque son extrémité viendra coïncider avec l'extrémité du fil enroulé sur la branche suivante, ce dermier fil se mouvyra en sa place; et ainsi de suite (*).
. 817% Avant de quitter la question qui vient de nous occuper , nous ferons remarquer que toutes les couples de branches de la développée demandée étant parfaitement pareilles, il Suflira , pour pouvoir les obtenir toutes, de construire lune (yask, y'A's'k"), et les points
- de rebroussement (4, 2’) des autres. Car un cylindre vertical quelconque ayant pour axe
(0, O’0”), devra couper chaque couple en deux points # etw”,£et , disposés de la même
manière par rapport à (i, i') et (a, A’), ce qui donnera le nt si de déduire les derniers,
| (é, é) et(w, uw’), des premiers sw et #”.
Nous! ne nous oceuperons pas de l’exécution de ag on se rendra aisément compte,
à la seule inspection , des motifs qui ont déterminé la mise au trait de chaque ligne.
SARA AAA AA AAA RAA AA AAA AAA AAA AA AAA AAA AA AAA RAD AAA AAA AA AN AA AA ANA AAA AA ANA AA ANS AN AAA AN AANANS AV AAA
era CHAPITRE IV.
Des rayons de courbure et des lignes de courbure des surfaces courbes.
812. Coxcrvons dans l’espace une surface convexe quelconque ; considérons sur cette surface un point À ; imaginons par ce point une droite AR normale à la surface, et pour fixer les idées, supposons que cette surface soit placée dans l’espace de manière que la normale AR soit verticale. |
Si l'on prend sur cette normale un point C, la sphère qui aura ce point pour centre, et qui passera par le point À , sera tangente à la surface donnée ; c'ést-à-dire que ces deux surfaces auront une facette commune entre elles (145). Or, il pourra y avoir des valeurs du rayon de cette sphère, pour lesquelles la facette commune soit plus ou moins étendue. Si la surface donnée était sphérique, par exemple, il est clair que la sphère variable
n (*) La développée d’une sinnsoïde présente des résultats analogues à ceux que nous venons d’indiquer.
Eig. 5
Fig. 5.
J'ig, 5
aurait avec elle une petite surface d’attouchement, d'autant plus considérable que les rayons des deux sphères approcheraient plus dé se confondre. |
813. Pour parvenir à connaître les surfaces sphériques qui ont en A; avec la surface donnée, la conformité de courbure la plus grande:, ne nous occupons que de la calotte infiniment petite MnNz qui environne le point À, et imaginons par la normale AR une infinité de plans. Ces plans: cou péront la calotte MmNn suivant des arcs infiniment petits, tels que MAN; tous ces arcs auront leurs rayons de courbure sur la normale AR, et ces rayons, en général de grandeurs différentes, seront compris entre deux d’entre eux, l’un AR:plus grand que tous les autres, et correspondant. à un petit arc MAN ; l’autre Ar plus petit que tous les autres, et correspondant à un petit arc mAn. +
Concevons que le rayon de la sphère variable prenne toutes les valeurs possibles , depuis zéro jusqu'a l'infini, ou, ce qui revient au même, concevons que le centre C, de cettersphère , se meuve sur la droite indéfinie AR, à partir du point À. On voit que jusqu'a ce que le point C soit parvenu en r, à l’extrémité du rayon Ar de l'arc mAn de plus grande courbure, le contact de la sphère et de la surface donnée sera de plus en plus intime, et qu'aussitôt que ce même point C aura dépassé l'extrémité R du rayon AR, de l'arc MAN de moindre courbure, lecontact sera de moins en moms intime.
Quant aux sphères dont les rayons seront compris entre Ar et AR , ilest facile de prouver qu'elles auront, avec la surface donnée, un attouchement moins considérable que celui des sphères Ar et AR. Soit vAr un petit arc d’une des sections faites par les plans menés par AR : cet are et son cerele osculateur se confondront de » en £, et le rayon de ce cercle sera une droite AC, moindre que AR et plus grande que Ar. Cela posé, imaginons que ce cercletourne autour de AR; il va engendrer une sphère dont le centre sera en C, et le rayon AG étant comprisentre AR et Ar, l’arc générateur vA passera nécessairement dans son mouvement, au-dessous de AM: et au-dessus de Am ; d’où 1l faut conclure que larc'vA, commun à la sphère engendrée!et à la surface donnée, est un arc d’intersection.
En effet, prenons sur cet arc un point quelconque x, et imaginons que sans s'éloigner m se rapprocher dela normale en À, il se meuve, premièrement sur fa sphère; secondement sur la calotte donnée. Dans le premier mouvement, il va décrire un cercle horizontal BxD , qui sera la base d'un
cylindre vertical GHIK, -contenant la courbe ExF, décrite dans ile second mouvement , -et cette courbe aura sa partie XF au-dessous de BxD, et sa partie xE au-dessus. Or, si l'arc vxA était un arc de contact, les, deux lignes BxD , ExF, seraient tangentes entre-elles, ainsi, cette dernière aurait en x un point d'inflexion où la tangente serait l'horizontale Tx, tangente auscercle BxD ;'et le plan tangent à la calotte donnée passerait par l’horizontale Txet par la ligne ux, tangente en x à vxA, laquelle perce au même point x le cylindre GHIK. Supposons que la partie de ce cylindre représentée sur la figure soit infiniment étroite dans le sens GH ; son intersection avec le plan tangent mené par Tx et wx sera l'élément de contact des lignes Tx et BxD; donc, si l'arc vxA était un arc de contact, ce plan laisserait, sur la courbe ExF , des points de la surface donnée au-dessus de lui,-et d’autres au-dessous, ce qui n’est point admissible, puisque cette surface est une surface convexe; donc, etc.
ILen est de l’arc At comme de l'arc vxA , et il en est tout autrement des arcs: MAN , mAn; car ces derniers sont évidemment des ares de contact des sphères respectives AR et Ar avec la calotte MNx.
814. Il est clair, d’après cela, que les sphères qui ont pour rayons de courbure les rayons AR , Ar, des arcs MAN, mAn, de moindre et de plus grande courbure de la surface donnée, sont celles qui la touchent le plus intimement. Et comme ces sphères sont aux surfaces, ce que les cercles osculateurs sont-aux courbes (97), on les nomme des sphères osculatrices (*).
815. Si la surface donnée, au lieu d’être convexe en À, comme nous l'avons supposé, était non convexe, ou conformée comme la gorge d’une poulie, l’un des arcs analogues à MAN , mÂn, ne serait plus, à proprement parler, celui de moindre courbure.
Pour prouver cette vérité, remarquons d’abord que ce qui caractérise ces arcs MAN , mAn, dans une surface convexe, c'est qu'ils ont des cour-
(*) De mème que le cercle osculateur se trouve, d’un côté de la développante, au dehors de cette développante, et de l’autre côté, au dedans, de même aussi la sphère osculatrice, qu’on peut considérer comme engendrée par le cercle osculateur en mouvement autour de la normale, touche la surface donnée extérieurement d’un côté du point A , et intérieurement de l’autre côté. Il suit de là que les sphères osculatrices touchent la calotte MN suivant les arcs respectifs MAN, #An, et qu’ils la coupent suivant d’autres courbes qui passent par le point A.
Fig. G,
Fig. 5.
bures entre lesquelles sont comprises celles des autres sections : car c’est de là que résulte leur propriété d’être des arcs d’attouchement entre la surface donnée et les sphères osculatrices.
Remarquons ensuite que les arcs qui jouissent de la même propriété sur une surface non convexe en À, et qui en conséquence sont analogues à MAN et mAn de la figure 5, présentent nécessairement des courbures situées en sens contraires , et dont les rayons AR , Ar, sont placés par rapport à la surface donnée, l’un d’un côté de cette surface, et l’autre du côté opposé. |
Or, l’un de ces arcs, comme nous venons de. 1 dire, n’est plus pr: M ns biOHeS courbure ; en effet, si l’on imagine que le plan normal tourne autour de AC, il est clair qu'a mesure qu'il s’éloignera de la position mAn ou MAN, la courbure de cet arc diminuera jusqu’à ce qu’elle change de côté; et comme il faudra qu’elle passe par zéro, pour que ce changement s'opère, il s'ensuit qu’il y a entre mA et MA, d’une part, mA et NA, d'autre part, deux sections normales de courbure nulle, et dont les rayons de courbure sont conséquemment infinis (08).
Toutefois les courbures nulles ne seront pas des limites dés autres courbures, car les rayons de ces courbures nulles étant tout aussi bien situés d’un côté de la surface que de l’autre, elles seront le passage des courbures situées d'un côté de cette surface à celles situées de l’autre côté.
D'après cela, en sous-entendant que les arcs MAN, mAn, sont.des arcs dont les courbures limitent les autres courbures des sections normales, MAN étant celui qui a la moindre courbure dans un sens, et mAn celui qui a la moindre courbure dans l’autre sens, de plus, MAN ayant un rayon plus grand que celui de mÂn, nous continuerons d'appeler MAN l'arc de moindre courbure, et mAn ja de plus grande courbure.
Cela posé, il arrivera, comme dans le cas d’une surface convexe, que le cercle osculateur d’une section normale quelconque vxA, passera, en tournant sur AC, au-dessus de l’un des arcs MA, mA, et au-dessous de l'autre. Et pour que l'arc vxA fût un arc de contact, il faudrait aussi, comme dans le cas précédent, que la tangente au cercle horizontal décrit par un point quelconque x de wxA, touchät l'intersection de la surface donnée et d’un cylindre droit vertical ayant ce cercle pour base : or, cette section € ylindrique aurait déjà une tangente horizontale sur Am, une autre sur AM, et pour qu'elle en eût encore une, entre AM et An, il faudrait:.qu’elle eût entre les sections de moindre et de plus grande courbure trois points
d'mflexion, ce qui évidemment ne pERE avoir lieu pour un point quelconque À d’une surface. | l
816. Nous poserons donc en principe, qu'une surface quélconque a pour chacun de ses points deux sphères osculatrices , dont les rayons respectifs sont les rayons de courbure AR, Ar, des sections normales MAN, mAn, de moindre et de plus nd courbure.
817. L'arc mÂn étant un arc de contact de la surface donnée , quelle qu’elle soit } et de la sphère osculatrice Ar, la normale en m à l’une de ces node est aussi normale à l’autre : et comme les normales d’une sphère passent toutes par son centre , il en résulte que la normale en m à la surface donnée est la droite mr, menée par le point m et par le centre r de la plus grande courbure. On peut démontrer de même que la normale en M est la droite MR, qui passe par le point M et par le centre R de la plus petite courbure. Donc les arcs MAN, mAn, de moindre et de plus grande courbure , sont tels que si l’on s’écarte infiniment peu du point À, en suivant leurs directions , les normales MR, mr, des points auxquels on parviendra, rencontreront la normale AC du point de départ.
818. Si l’on s’écarte du point A suivant toute:autre direction différente de MAN et mAn, la normale à la surface donnée au point quelconque x, auquel on arrivera, ne rencontrera pas AC. En effet, menons par le point æ et par la normale AC un plan; il coupera la calotte MmNn suivant une petite ligne vxAt, qui sera l'intersection (813 et 815) de la surface donnée et de la sphère qui a pour rayon le rayon de courbure AC de yxAt : d’où nous conclurons d’abord que les normales en x, à la surface donnée et à la sphère AC, sont des droites différentes. Par le point x, concevons un plan normal à la courbe vxAt ; il contiendra toutä-la-fois ces -deux normales. Mais celle de la sphère sera la droite qui joindra le point æ et le point où le plan normal sera percé par AR, c'est-à-dire le point C : or, ce plan normal ne contiendra aucune autre droite, menée par le point x, qui puisse rencontrer AR ; donc la normale “en, æ à la surface donnée ne peut rencontrer AR.
819. D’après cela, les arcs mAn, MAN, de plus grande et de moindre courbure, ont pour propriété caractéristique , que les normales à.la calotte MmNn, en, des points de ces arcs infiniment peu éloignés du point À , rencontrent la normale AR. Il est facile de déduire de là que ces arcs se coupent à, angle droit: |
Fig. 8.
820. Supposons d’abord que la surface donnée soit une surface cylindrique quelconque ,. et soit ABCDFE une portion de cette surface etL un de ses points. De toutes les sections qu’un plan mené par la normale LP peut faire surtce cylindre, celle dont le rayon de courbure en L est le plus grand est nécessairement l'élément BLF ; car le rayon de courbure de cet élément est celui d’une ligne droite. Cela posé, menons. par la normale LP un plan JLK, perpendiculaire au plan mené par LP et BLF ce plan coupera la surface cylindrique donnée suivant une courbe JLK : or, il est clair que cette courbe s’éloignera plus rapidement du plan tangent en L, que toute autre située sur le cylindre; donc elle est de toutes les sections faites par des plans menés par LP, celle dont le rayon de courbure en-L est un minimum.
On voit donc que sur un cylindre, les arcs LM, EN, de jiiès ass et de moindre courbure , sont rectangulaires éhso eux. Il est d’ailleurs bien clair qu’en s’éloignant infiniment peu du point L, suivant ces ares, les normales MQ, NP, des points M et N auxquels on arrive, rencontrent la normale LP : car les droites LP, MQ, normales suivant les points d’un même élément BLF, sont parallèles et se coupent à l'infini;'et les droites LP, NP, normales suivant la section JLK d’un plan perpendiculaire aux élémens du cylindre, sont dans ce plan et conséquemment se rencontrent. |
Il est-pareillement fort aisé de voir que si l’on séksigié du point L suivant une direction LO, différente de LM et LN, la normale au point O, infiniment rapproché du point L, ne coupera pas LP. En effet, menons par le point O, le plan jOX perpendiculaire à BLF; ce plan contiendra la normale OR, et il sera parallèle au plan JLK qui contient LP : maïs pour que les droites LP et OR, situées dans deux plans parallèles, pussent se rencontrer , il faudrait qu ‘elles fussent elles-mêmes parallèles; or, le cylindre n’a, près du point L, de normales parallèles à LP que suivant les points de l’élément BLF', et le point O, par hypothèse, n’est: me sur cet élément : donc, etc.
821. Ceci étant bien entendu, démontrons Éeg bmr la propriété qui nous occupe.
Soit À un point d’une surface gédsen dus) et MAN. l'arc infini petit de plus grande ou de moindre courbure, de moindre courbure par exemple, correspondant ä ce point. Concevons:, premièrement, par là normale AR, et par la tangente en À, à l'arc MAN, un plan; ce plan coupera
la sphère osculatrice AR suivant un cercle auquel appartiendra l'arc infiniment petit MAN. Secondement , concevons par le point À, un plan tangent à la surface donnée ; ét menons par ce. point, ét dans cé la tangent , une droite AB; à ble droit sur MAN; puis meñons une suite de plans parallèléslau plan de là droite AB et a la normale AR. Ces plans couperont la petite zoné commune à la surface osculatrice AR, et à la surface’ donnée, suivant les arcs infiniment petits MM, A’Aa, N'Nn, éte., communs à cette surface ét à la sphère. Or, les tangentes MC, AB, ND, été. ; menées par tous les points de l’arc MAN ; aux arés M'Mn, A'Aa, N'Nn, etc., considérés comme appartenant à la sphère, formeront une petite portion MANDBC de cylindre, dont les lignes de moindre et de plus grande courbüure en L seront AB et MAN (820). Si donc on prend sur cés lignes deux points P et M, infiniment rapprochés du point A; les normales MR et PS du cylindre, correspondantes à ces points, rencontreront AR.
Cela posé, imaginons que le point À se meuve sur la surface donnée, dans le sens dé la tangente AB, c’est-à-dire perpendiculairement à MAN, d’une quantité infiniment petite Aa; et concevons que les choses qui existaient enAÀ,, glissent en &, en se modifiant graduellement selon la nature de cette surface. La courbe de contact MAN du cylindre et de la surface donnée prendra uneposition man, infiniment peu différente, de forme et de situation, de la courbe MAN; la portion de cylindre MANDBC variera aussi infiniment-peu., et puisque l'arc Aa estinfinimént petit, la droite AR, normale tout-à-la-fois a la surface courbe etau cylindre, ne quittera pas de
«plan BAR : donc la position ar, à laquelle elle s'arrêtera, rencontrera la normale AR. Donc l'arc infiniment petit Aa, perpendiculaire à MAN, sera l'arc de plus grande courbure de la surface donnée ; done enfin les arcs infiniment petits MAN, A'Aa, de moindre et de plus grande courbure , se coupent à angle droit.
822. Supposons mainténant qu'il s'agisse de mesurer la courbure d'üne surface*en un desés points. Il faudra d’abord convenir du sers rigoureux qu'ilconvientd'attacher à l'expression de courbure d'une surface: or, quelle que.soit la convention qu'on adôpte, une surface sphérique ‘présentera dans tous ses points là même courbure, et cétte courbüré diminuera’à mesure que le rayon de la sphère augmentera. Posons donc en principe, que des courbures des sphères sont en raïson inverse de leurs rayons : nous poutrons alors nous entendre sur les différens degrés de courbure des surfaces sphériques.
Fig. 1.
Fig. 2.
Bien plus, le sens du mot courbure étant rigoureusement. fixé pour les sphères , 1l se trouvera fixé aussi pour toutes les surfaces possibles ; car 1l résulte de ce qui précède , que si l’on considère une surface quelconque comme composée d’une infinité de facettes infiniment petites, les sphères osculatrices en un point de cette surface passeront chacune par deux facettes consécutives ; seront les seules qui jouissent de cette propriété , et présenteront les mêmes courbures que présente la surface dans le sens des facettes communes. D'où il suit que les courbures d'une surface sont en raison inverse des rayons des sphères osculatrices.
823. Il'suit de là qu’en général une surface quelconque . n'a, da she cun de ses points , que deux courbures ; que chacune de ces contes a son centre particulier, son rayon particulier et que les deux arcs sur lesquels se prennent ces deux courbures , sont à angles droits sur la surface.
Les cas particuliers pour lesquels, comme dans la sphère et dans les sommets de surfaces de révolution, deux normales consécutives se rencontrent, ne sont pas une exception à cette proposition : ces Cas sont des cas singuliers dans lesquels les deux courbures sont égales entre elles, en sorte que les directions suivant lesquelles on doit les mesurer se trouvent indifr férentes.
824. Passons à quelques conséquences qui suivent des deux couébüres d’une surface courbe , et qu’il est important de faire connaître aux artistes.
« Soit LPP"L” une portion de surface courbe quelconque ; sur laquelle nous considérions un point L choisi arbitrairement, et soit concue larnormale à la surface en L. Nous venons de voir que l’on peut passer, suivant: deux directions différentes, du point L à un autre M ou L’, pour lequel la nouvelle normale rencontre la première, et que ces deux directions sont à angle droit sur la surface. Soient donc LM et LL’ ces deüx directions rectangulaires en L. Du point M, on pourra de même passer dans deux directions différentes à un autre point N ou M', pour lequel la normale rencontre la normale en M; et soient MN et MM'ces deux directions, rectangulaires en M. En opérant de même pour le point N;, on trouvera les deux directions NO et NN' rectangulaires en N ; pour le point O, l’on trouvera les deux directions OP, 00’, et ainsi de suite. La série des points L,M,N,0,P,etc., pour lesquels deux normales consécutives sont toujours, dans un plan ; formera.sur la surface courbe une ligne courbe, qui indiquera perpétuellement le sens d’une des deux courbures de la surface , et cette courbe sera une ligne de première courbure , qui passera par
le point L. Si l’on opère pour le point L’, comme on l’a fait pour le point L, on pourra d'abord passer , suivant deux directions rectangulaires, à un nouveau point M’ ou L”, pour lequel la nouvelle normale rencontre la normale en L’, et l'on trouvera de même une nouvelle série de points L', M, N', 0', P’, etc., qui formeront sur la surface courbe une autre ligne de première courbure, qui passera par le point L/. En opérant de:même pour la suite des points L/!, L/"!, L/”’.., trouvés comme L’, L', on aura de nouvelles lignes de première courbure L'M'N'O'"P"..., L'IMPN/O"P/..., etc., qui passeront par les points respectifs L', L/, L//, etc+, et qui diviséront la surface courbe én zones. Mais la suite des points L, L’, L”, L’”..., pour lesquels deux normales consécutives sont encore dans un plan , formera sur la surface courbe une autre courbe qui indiquera perpétuellement le sens de l’autre courbure de la surface, et cette courbe sera la ligne de seconde courbure ; M, M’, M”, M”, etc. , formeront une autre ligne de seconde courbure, qui passera par le point M; la série des points N, N', N°, N°..., formera une nouvelle ligne de seconde courbure qui passera par le point N , et ainsi de suite, et toutes les lignes de seconde courbure diviseront la surface courbe en d’autres zones.
825. » Enfin, toutes les lignes de première courbure couperont à aigles droits toutes les lignes de seconde courbure , et ces deux systèmes de lignes courbes diviseront la surface en élémens rectangulaires; et cet effet aura lieu, non-seulement si ces lignes sont infiniment proches, comme nous l'avons supposé, mais même quand celles d’un même système seraient à des distances finies les unes des autres. Avant que d'aller plus loin, nous allons en apporter un exemple, avec lequel on est déjà familiarisé.
«+ 826. » Si l’on coupe une surface quelconque de révolution par une suite de plans menés par l'axe, on aura une suite de sections qui seront leslignes d’une des courbures de la surface; car pour qu’une courbe soit digne de courbure d’une surface, il faut qu’en chacun de ses points, l’élément de surface cylindrique qui toucherait la surface dans l'élément de la courbe ; ait sa droite génératrice perpendiculaire à la courbe ; or, cette condition a évidemment lieu ici, non-seulement en chaque point de la courbe pour un élément de surface cylindrique particulière, ce qui serait suffisant, mais même par rapport à toute la courbe pour une même surface cylindrique. De plus, si l’on coupe la même surface de révolution par une suite de plans perpendiculaires à l'axe, on aura une seconde
Fig, 2.
Fig. 2.
518 FLIVRE VI. COMPLÉMENT.
suite de’ sections, qui seront toutes circulaires, et qui seront les lignes de l’autre courbure ; car si par un point quelconque d’une de ces sections, on conçoit la tangente au méridien de la Surface, et si l’on suppose que cette tangente se meuve parallèlement à elle-même pour engendrer l'élément d’une surface cylindrique, tangent à la surface de révolution , l'élément de la surface cylindrique touchera cette surface dans l’arc de cercle’, ét cet arc sera perpendiculaire à la droite génératrice. Ainsi, pour une surface quelconque de révolution, les lignes de courbure sont, pour une espèce dé courbure , les méridiens de la surface, et pour l’autre courbure, les parallèles ; et il est évident que ces deux suites de courbes se coupent toutes à angles droits sur la surface.
827. » Si par tous les points d’une des “lignes de courbure LMNOP d'une surface courbe, on conçoit des normales à la surface, nous avons vu que la seconde normale rencontrera la première en un certain point, que la troisième rencontrera la seconde en un autre point, et ainsi de suite; le système de ces normales, dont deux consécutives sont toujours dans un même plan, forme donc une surface développable, qui est partout perpendiculaire à la surface courbe, et qui la coupe suivant la ligne de courbure. Cette ligne de courbure étant elle-même partout perpendiculaire aux normales qui composent la surface développable , est aussi une ligne de courbure de cette dernière surface. L’arête de rebroussement de la surface développable, arête qui est formée par la suite des points de rencontre des normales consécutives, et à laquelle toutes les normales sont tangentes, est une des développées de la courbe LMNOP; elle est le lieu des centres de courbure de tous les points de cette courbe, et elle est aussi celui des centres d’une des courbures de la surface pour les points qui sont sur la ligne LMNOP. Si l’on fait la même observation pour toutes les autres lignes de courbure de la même suite, telles que L'M'N'O'P', L'M'N'O"P'!, etc. , toutes les normales de la surface courbe pourront être regardées comme composant ‘une suïte de surfaces développables, toutes perpendiculaires à la surface , et le système des arêtes de rebroussement de toutes ces surfaces développables, formera une surface courbe qui sera le lieu de tous les centres d’une des courbures de la sur face courbe.
» Ceque nous venons de remarquer pour une des deux courbures.de la surface, a également lieu pour l’autre. En effet, si par tous les points L, L',L", L'"',°ete., d’une des lignes de l’autrecourbure, on conçoit des normales
à la surface, ces droites seront consécutivement deux à deux dans un même P! 65:
plan ; leur système formera une surface développable ) qui sera partout perpendiculaire à la surface proposée, et qui la rencontrera dans la ligne de courbure LL'L'L/"..., qui sera elle-même une ligne de courbure de la surface développable. L’arète derebroussement de cette dernière surface sera le lieu des centres de courbure dela ligne LL'L"L/"..., et en même temps eelui des centres de seconde courbure de la surface courbe, pour tous les points dela ligne LL'L"L""... Il en séra de même pour toutes les normales menées par les points des autres lignes de courbure MM'M'M””..., NN'N°N/”..., etc. En sorte que toutes les. normales de la surface courbe pourront être regardées de nouveau comme composant une seconde suite de surfaces développables, toutes perpendiculaires à la surface, et le système des arêtes de rebroussement de toutes ces nouvelles surfaces développables, formera ‘une seconde surface courbe’, qui sera le lieu des centres de la seconde courbure de la surface.
828. » On voit donc que toutes les normales d’une surface courbe peuvent être considérées comme les intersections de deux suites de surfaces développables, telles que chacune des surfaces développables rencontre la surface courbe perpendiculairement , et la coupe suivant une courbe, qui est en même temps ligne de courbure de la surface courbe et ligne de courbure de la surface développable, et que chacune des surfaces développables de la première suite, coupe toutes celles de la seconde suite en ligne droite et à angles droits. »
829. Dans quelques cas particuliers, lés surfaces des centres des deux courbures d’une même surface courbe sont distinctes et peuvent être engendréés séparément. « On en a un exemple dans les surfices de révolution, pour lesquelles une de ces surfaces se réduit à Vaxe même de rotation, et pour lesquelles l’autre est une autre surface de révolution engendrée par la rotation de la développée plane du méridien autour du même axe. » Mais le plus'souvent , et dans le cas général, ces deux surfaces ne sont autre chose que les deux nappes d’une même surface.
830. » De ce que chaque normale est tangente en même temps aux arêtes de rebroussement des deux surfaces développables normales dont elle est intersection, il s'ensuit qu’elle est en même temps tangente aux deux nappés de la surface des centres de courbure; de plus, chacune de ces nappes est l'enveloppe de toutes les surfaces développables normales d’une même suite; ainsi, tout plan tangent à une de ses surfaces développables, sera-aussi tangent-à la nappe que cette surface touche ; donc, si on conçoit par la même normale, les deux plans tangens aux surfaces développables dont elle est l’intérsection, ces deuxplans, qui d'ailleurs sont’ à angles droits, seront tangens, l’un à la première nappe de la surface des centres, et l’autre à la seconde. Donc la surface des centres de
Fig. 2.
courbure , d’une surface donnée quelconque, jouit de cette propriété remarquable , que les plans tangens à ses deux nappes, menés par un point de la surface donnée, se coupent à angles droits (*).» | ‘128 0
Il suit de là que toute surface courbe n est pas propre à être le lieu unique dés centres de courbure d’uneautre surface , et que, pour qu’elle y soit propre, il faut, 1°. qu’elle ait deux nappes; 2°, que ces nappes jouissent dela propriété que l’on vient dénoncer. Toutes celles qui ne satisfont pas à ces deux conditions ne peuvent former que la surface des centres d’une des courbures , et le lieu des centres de l'autre courbure est alors une seconde surface , conjuguée à la première , de telle sorte que leur système jouisse de cette propriété.
831. Lorsqu'une surface est partout convexe , lessurfaces des centres sont situées d’un même côlé par rapport à chacun de ses points. Dans le cas contraire, c’est-à-dire lorsque la surface n’est convexe en aucun point, comme s’il s'agit d’un hyperboloïde à une nappe, les surfaces des centres sont situées de côtés opposés, par rapport à chaque point de la surface. Mais il arrive souvent qu’une surface est convexe en de certaines parties, et ne l’est pas en d’autres; alors les surfaces des centres changent de côté. Considérons, par exemple, une surface annulaire produite par le mouvement d’une sphère assujettie à tourner autour d’une droite : l'hémisphère tourné vers cette droite va décrire une partie qui aura ses rayons de courbure situés dans des sens contraires, et la partie que décrira l’hémisphère opposé sera convexe, et aura ses rayons de courbure situés d’un même côté de l'enveloppe (301).
832. Les deux rayons de courbure étant situés dans le même sens , il peut encore arriver qu'ils soient égaux ; alors les surfaces des centres se coupent, et leur intersection est le lieu des centres des courbures sphériques de la surface. Les tangentes à cette intersection sont normales à la surface suivant une ligne remarquable, qui est celle où Jes courbures de cette surface sont égales, et que l’on désigne à cause de cela sous le nom de ligne des courbures sphériques. I est clair que cette ligne coupe toutes les lignes de courbure de l’une et de l’autre espèce.
833. « Voyons actuellement quelques exemples de lutilité dont ces généralités peuvent être dans certains arts. Le premier exemple sera pris dans l'Architecture.
» Les voûtes construites en pierres de taille sont composées de pièces distinctes, auxquelles on donne le nom générique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans l'exécution; 1°. la face qui doit faire parement , et qui, devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision : cette face se nomme douelle ; 2°. les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s’appliquent les uns contre les autres , on les nomme généralement joints. Les joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécution; car la pression se transmettant d’un voussoir à l'autre, perpendiculairement à la surface du joint, il estnécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que pour chaque point de contact, la pression soit la moindre, et que pour tous elle
(*) Ceux qui connaissent la perspective verront par cette«propriété que, d’un point de vue quelconque, situé dans la direction de la surface donnée et de la surface des centres, les contours apparens des deuxnappes de cette dernière surface paraissent toujours se couper à angles droits.
approche le plus de l'égalité. Il faut donc que dans chaque voussoir, les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent faire partie; et pour que cet objet soit plus facile à remplir , il faut que la surface des joints soit de la nature la plus simple et de l’exécution la plus susceptible de précision. C’est pour cela que l’on fait ordinairement les joints plans; mais les surfaces de toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition; et dans quelques-unes on blesserait trop les convenances dont nous parlerons dans un moment, si l’on ne donnait pas aux joints une surface courbe. Dans ce cas, il faut choisir parmi toutes les surfaces courbes qui pourraient d’ailleurs satisfaire aux autres conditions, celles dont la génération est la plus simple, et dont l’exécution est plus susceptible d’exactitude. Or, de toutes les surfaces courbes, celles qu’il est plus facile d'exécuter, sont celles-qui sont engendrées par le mouvement d’une ligne droite, et surtout les surfaces développables; ainsi, lorsqu’il est nécessaire que les joints des voussoirs soient des surfacescourbes, on les compose, autant qu’il est possible, de surfaces développables. » Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des voussoirs doit sa- . Lisfaire, Cest d’être partout perpendiculaires à la surface de la voûte que ces voussoirs composent. Car, si les deux angles qu’un même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux , celui de ces angles qui excéderait l’angle droit, serait capable d’une plus grande résistance que l’autre; et dans l’action que deux voussoirs consécutifs exercent Jun sur l’autre, Pangle plus petit que l’angle droit, serait exposé à éclater, ce qui, au moins , déformerait la voûte, et pourrait même altérer sa solidité, et diminuer la durée de l'édifice. Lors donc que la surface d’un joint doit être courbe, il convient de lengendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte; et si l’on veut de plus que la surface du joint soit développable , il faut que toutes les normales à la surface de la voûte, et qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux à deux dans un même plan. Or, nous venons de voir que cette condition ne peut être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte ; donc, si les surfaces des joints des voussoirs d’une voûte doivent être développables, il faut nécessairement que ces surfaces rencontrent celles de la voûte dans ses lignes de courbure.
» D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d’une voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface ; elle y trace des lignes très sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales , et satisfaire à des convenances particulitres, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi les lois générales , les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l’édifice; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d’un même voussoir soient rectangulaires entre eux , par la même raison qu’ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de:division des voussoirs doivent être telles que celles qui divisent la voûte en assises, soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux conyenances particulières , il y en a de plusieurs sortes, et notre objet n’est pas ici d’en faire l’énumération; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs qui, comme nous venons de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer pérpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or, il n’existe pas d’autres lignes sur la surface courbe, qui
puissent remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbures , et elles les remplissent complètement. Ainsi, la division d’une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales à la surface, qui, considérées consécutivement , sont deux à deux dans un même plan ; en sorte que pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires.
» Avant la découverte des considérations géométriques sur loacutils tout ce que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment confus deslois auxquelles elles conduisent , et, dans tous les cas, ils avaient coutume de s’y conformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voûte était de révolution, soit qu’elle fût en sphéroïde, soit qu’elle fût en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par des méridiens et par des parallèles, e’est-à-dire par les lignes de courbure de la surface de la voûte.
» Les joints qui correspondaient aux méridiens étaient des plans menés par Paxe de révolution; ceux qui correspondaient aux parallèles , étaient des surfaces coniques de révolution autour du même axe; et ces deux espèces de joints étaient rectangulaires entre eux, et perpendiculaires à la surface de la voûte. Mais, lorsque les surfaces des voûtes n’avaient pas une génération aussi simple , et quand leurs lignes de courbure ne se présentaient pas d’une manière aussi marquée, comme dans les voûtes en sphéroïdes alongés, et dans un grand nombre d’autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire à toutes les convenances, et. ils sacrifiaient., re chaque cas particulier, celles qui leur présentaient les difiicultés les plus grandes. |
» Il serait donc convenable que, dans chacune des écoles de Géométrie descriptive, établies dans les districts (*) , le professeur s’occupât de la détermination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employées ordinairement dans les arts, afin que, dans le besoin , les artistes qui ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches, pussent le consulter avec fruit, et profiter de ses résultats.
834. » Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans Part de la gravure.
Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la surface des objets représentés sont exprimées par des hachures que lon fait d'autant plus fortes ou d'autant plus rapprochées , que la teinte doit être plus obscure.
» Lorsque la distance à laquelle la gravure doit être vue est assez grande pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas aperçus, le genre de la hachure est à peu près indifférent ; et quel que soit le contour de ses traits, l’artiste peut toujours les forcer et les multiplier de manière à obtenir la teinte qu'il désire, et à produire l'effet demandé. Mais, et c’est le cas le plus ordinaire , quand la gravure est destinée à être vue d'assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forme de ces contours n’est plus indifférente. Pour chaque objet et pour chaque partie dela surface d’un objet, il y a des contours de hachures plus propres que tous les-autres à
(*) Voyez la note du n° suivant.
