CHAP. III. DES TANGENTES

suivant des droites (mr, mx’) et (Dx, d'x'), (ns, n'y") et (Dy, d'y"), (06, 0'z") et (Dz, d'z'), (pu, p'w') et (Dw, d'w”’) ,etc., qui se couperont deux à deux suivant des points de l’intersection de ces surfaces. Mais ces points seront projetés horizontalement en r, s, #, w, etc.; si done on mène la courbe rstu, le point K, où elle coupera la droite DB, sera Le projection horizontale du point où le plan (GF, FD”) touche le conoïde.

Pour opérer le plus simplement possible, on menera par ce point de, contact projeté en K, et dans le plan (GF, FD’), une droite projetée en KH, parallèle au plan vertical , et l’on prendra cette droite, et la droite (D, DE), pour direcirices d’un paraboloïde hyperbolique ayant pour plan directeur le plan horizontal. Ce paraboloïde sera tangent au conoïde en K et en (D, D’), et conséquemment tout le long de l’élément (BD, BD") (695). Ainsi, en menant par le point (B, B’) un plan tangent au paraboloïde, ce plan touchera le conoïde et contiendra la tangente demandée. |

La droite KH étant située dans le plan (GF, FD’) perce en H le plan horizontal; donc la droite DH, située dans ce dernier plan, est un élément du paraboloïde. Menons par le point (B, B') le plan BI parallèle aux deux directrices KH, (D, DE); il coupera les élémens (BD, BD’) et DH en deux points (B,B')et I, qui appartiendront à l'élément de la seconde génération du paraboloïde (225). Or, cet élément est dans le plan tangent en (B, B'); donc ce plan aura pour trace horizontale la droite MO , menée par la trace T de l'élément de la seconde génération , parallèlement, à BD : et comme sa trace verticale ON’ doit contenir le point D’, ce plan (MO , ON”) sera entièrement déterminé.

Prenons pour second conoïde auxiliaire celui qui est engendré par une droite, toujours parallèle au plan vertical de projection , et assujettie à toucher constamment la courbe donnée (ABC, A'B'C') et la droite horizontale (LL”, L’). On menera par le point donné (B, B’), l'élément (LB, L’B') du conoïde; on fera passer par cet élément un plan quelconque (LP, PQ); on cherchera la projection verticale abkfh de l'intersection de ce plan avec le conoïde, cette ligne abkfh, et la droite L’P’, se couperont en un point £, et ce point sera la projection verticale du point où le plan (LP, PQ) touche le conoïde.

Par le point £, ainsi construit, on menera la droite £R parallele à la ligne de terre; elle coupera la trace PQ du plan (LP, PQ) en un point R; on prendra la droite menée par le point de contact projeté en £, et par le point R du plan vertical, pour directrice d’un paraboloïde hyperbolique ayant pour plan directeur le plan vertical, et pour seconde directrice la droite (LL, L”) : ce paraboloïde touchera le conoïde tout le long de lélément (LB, L'’B’); ainsi le plan tangent en (B, B’), au paraboloïde, touchera le conoïde au même point (B, B'). Pour avoir ce plan, on menera par le point B’ un plan B'S, parallèle aux deux directrices du paraboloïde ; il coupera les élémens (LB, L’B”), (LP, L'S), en deux points (B, B°) et.S, qui détermineront Pélément de la seconde génération correspondant au point (B, B’). Par cet élément et par (LB, L'B') on menera le plan (LT , TN’), et ce plan, tangent en (B, B”) au second conoïde auxiliaire, contiendra la tangente demandée.

Enfin connaissant les deux plans (MO, ON’), (MT, TN’), on construira leur intersection (MN, oN'), et cette intersection sera la te droite tangente en (B, B”) à la courbe donnée.

769. Pour que cette tangente soit bien menée, il faut principalement que les points K et & soient exactement déterminés. Cela exige que l’on construise les lignes grstw , abkfh,

PL: 6r,

L'ig. r,

dans une grande étendue, alin que l’on connaisse bien leur forme générale, et qw'elle puisse servir à corriger les {sites erreurs qui pourraient déranger sensiblement la position ds petits ares sK£, dE, sur lesquels sont les points K et #.

770. Le procédé que l’on vient d’exposer est d’un emploi pénible, à à cause du grand nombre de lignes qu’il exige; toutefois il serait aussi exact, entre les mains des praticiens habiles, que les autres méthodes graphiques qu’ils emploient. (Voyez la Note 8, n° 918.)

Mais c’est principalement sous le rapport de la Géométrie spéculative que M. Hachette a rendu un grand service à la science, parce que la proposition qu’il a trouvée remplit une lacune où la Géométrie empruntait nécessairement le secours de l'Analyse, tant pour mener des tangentes aux lignes, et des plans tangens aux surfaces, que pour obtenir les rayons de courbure et les développées des lignes courbes (voyez la suite de ce chapitre).

771. ProërèmE 2. Une courbe ayant été tracée d’une manière quelconque , et la direction d'une de ses tangentes étant donnée , on demande le point de contact de cette tangente

Pour résoudre ce problème, on menera dans l’espace une droite dirigée dans un sens très différent de celui de la tangente donnée; on imaginera qu’un conoïde passe par cette droite et par la courbe donnée; on prendra ensuite sur cette courbe un nombre suflisant de points, par chacun desquels on menera un élément du conoïde et une parallèle à la tangente donnée; par chacun des élémens obtenus, et par la parallèle correspondante , on menera un plan, et l’on construira le point où il touchera le conoïde (245). La suite des points de contact, ainsi déterminés, formera sur le conoïde une ligne, qui coupera évidemment la courbe donnée suivant le point demandé.

772. DES RAYONS DE COURBURE des lignes courbes. Jusqu'ici nous w’avons guère parlé que des rayons de salut des lignes planes (97-106); nous allons à présent considérer ces rayons plus spécialement par rapport aux courbes à double courbure.

Pour une courbe plane, chaque rayon de courbure est coupé par celui qui le précède , et par celui qui le suit, suivant deux centres de courbure, et la suite de ces centres est la développée de cette courbe. Il n’en est pas ainsi pour une courbe à double courbure; car deux centres de courbure consécutifs m et sont dans deux plans elite consécutifs mAB, nBC, qui correspondent à trois élémens A, B, C, de la courbe, et qui sont tels que si la droite que déterminent ces deux centres , était normale à cette courbe, elle le serait suivant l'élément B : or, cet élément et cette normale détermineraient le plan osculateur qui passe par À et B; le même élément B et la même normale détermineraient le plan osculateur qui passe par Bet C ; donc ces deux plans osculateurs se confondraient , ce qui ne peut arriver en général que dans le cas d’une courbe plane.

Il suit de là que les normales mm', nn’, 00', pp', etc. , d’une courbe à double courbure ABCDE...., menées par les centres m, n, 0,p, etc.,

des’ cercles osculateurs de cette courbe, ne sont pas deux à deux dans le inême plan; donc la surface qu'elles forment est une surface gauche (214).

773. Ainsi, toutes les courbes possibles n'ont véritablement qu’une seule courbure en chacun de leurs points ; et sous ce rapport les courbes planes ne diffèrent: des courbes à double courbure qu’en ce que les premières ont

toutes leurs courbures! dans le même plan, et que le plan des courbures des dernières varie continuellement.

"D'après cela, deux courbures consécutives des courbes à double courbure n'étant pas dans un même plan, on pourrait donner à ces courbes le nom de courbes gauches (*), comme on nomme surfaces gauches les

surfaces produites par une droite mobile dont deux positions consécutives ne sont pas dans le même plan.

774. Maintenant, quelle que soit une ligne courbe, on remarquera, 1°. que le rayon de courbure qui correspond à chacun de ses points se trouve toujours déterminé par l'angle infiniment petit des deux plans normaux consécutifs qui correspondent à ce point : nous donnons à cet angle le nom d’angle de courbure (98);:2°. que ce qui fait qu'une courbe zon plane, où comme on dit à double courbure , change de plan à chaque élément, est, comme on doit le sentir et commeon le verra clairement tout à l'heure, une sorte de torsion de ses élémens les uns autour des autres, torsion qui est déterminée par l'angle infiniment petit des deux plans osculateurs consécutifs : nous nonimerons cet angle, angle de torsion (**).

779. Cela posé, soit V une BE RENT à double courbure; supposons- la divisée en élémens égaux et infiniment petits a, b, c, d, etc.; soient À, B, C, etc., ses centres de courbure, le premier À correspondant aux AE aetb, le Loti B correspondant aux élémens bet'c, etc. , et demandons-nous comment il faudrait plier une ligne droite L, divisée

en élémens infiniment petits a”, d',c', d', etc., égaux à l'élément «, pour que cette ligne pût coincider avec la courbe V.

D'abord nous plierons les élémens a”, b”, c’, d’, etc. , de la droite flexible L, autour des extrémités les uns des autres, de manière que cette droite se change en une courbe V, pie les centres de courbure A’, B', C', etc., soient placés par rapport aux élémens «’,

; c',d', etc., comme les centres À, B, C, etc., sont placés par rapport aux élémens respat a,b,c,d, etc.: c’est-à-dire que les deux courbes V et V' auront respectivement

(*) Le mot gauche n’gst pas agréable à l’oreille ; mais il est essentiellen Gécmétrie, et il donne pürfuitement l’idée qu’il doit donner.

La dénomination de courbe à double courbure est non-seulement longue, désagréable et embarrassante,

mais elle donne encor: l’idée s pécieuse et fausse de deux courbures qui n'existent pas: il serait à désirer qu’on cesst de l’employer.

(*) On la aussi-nommé angle -de flexion , et l’angle de courbure mn de CORPS Voyez sur ces dénominations la note da n° 756.

Le

LA

les mêmes angles de courbure, et par conséquent les mêmes rayons de courbure.

Ensuite, sans changer rien aux courbes V et V', nous pourrons superposer les élémens a' et b’, et le centre de courbure A qui leur correspond, sur leurs analogues a, à et À, de la courbe V. Cela fait, il s’agira de savoir comment il faut plier l'élément c'’, autour du point parlequel il s’unit à l'élément 2’, pour qu’il vienne coïncider avec l’élément c. Or , l'élément c fait avec l'élément & prolongé un angle égal à l’angle de courbure de betc, et toutes les droites qui partent de l'extrémité de l'élément D, et qui s’écartent de cet élément sous ce même angle, forment une petite surface conique droite dont lélément e fait partie : si donc on fait mouvoir le plan des deux élémens L’et c’ et du point B', autour de l'élément à qui coïncide avec ?”, l'élément c’ ne quittera pas cette petite surface conique, et il viendra coïncider avec l’élément c, lorsque le plan des élémens 2" et c' fera avec celui des élémens a’ et”, l'angle de torsion qui correspond aux élémens a et & d’une part, b et c d'autre part. Les trois élémens 4, D’, c’, coincidant avec a, b, c, et les centres A’ et B’ avec À et B, on amenera de même l’élément d”’ sur l’élément d, et en même temps le centre C’ sur le centre C, en faisant tourner le plan des élémens c" et d’ autour de lélément c, confondu avec c', jusqu’à ce que le plan de c’ et d' fasse avec celui de b'et c”, l'angle de torsion correspondant aux élémens à et c, d’une part, c et d, d’autre part.

On continuerait de la même manière pour amener la courbe V’ à coincider dans toute son étendue avec la courbe V; et l’on voit que chaque élément de V’ éprouverait un petit mouvement de torsion ( voyez la note ci-après) autour de l'élément précédent, et que ce mouvement, par un déplacement infiniment petit, porterait le centre de courbure correspondant , du plan osculateur précédent dans le plan osculateur suivant.

IL est clair que c’est en vertu de ces déplacemens successifs des centres de courbure A’ B', C’, etc., que les normales de la courbe V”, qui étaient rencontrées chacune par la normale précédente et par la normale suivante, ne le sont plus pour la courbe V, et forment une surface gauche (772).

De même qu’on obtient la courbe V au moyen de la courbe V', on pourrait obtenir aussi la courbe V' au moyen de la courbe V. Pour cela, il ne s'agirait que de développer la surface développable qui a pour arête de rébroussement la courbe V. Dans ce développement , les élémens de la courbe V éprouveraient des torsions infiniment petites; les angles de courbure ne changeraient pas, parce que chaque élément décrirait une surface conique autour de l’élément précédent; les centres de courbure A, B, C, etc., viendraient se placer par la réduction des angles successifs de torsion à zéro, dans le plan du développement, et la transformée de la courbe V serait la courbe V’.

776. Enfin il est évident que, sans changer les angles de courbure, on peut former avec la courbe V, en changeant la loi des angles de torsion, une infinité de courbes à double courbure et une courbe plane V’. De même avec la courbe V’, et au moyen de torsions qui feront de ses normales une surface gauche, on pourra former une infinité d’autres courbes. D'où l’on voit que les angles de courbure et les angles de torsion sont des angles

indépendans (*).

(*) D'après ce qu'on vient'de voir , les dénominations d’angle de courbure et d'angle de torsion, pa-

9797- ProsrèmE 1°". Étant donnée une courbe à double courbure N, et un point P de cette courbe, on demande le plan osculateur qui correspond à ce point. -

Pour résoudre cette question, on prendra plusieurs points sur la courbe; par ces points, et par le point P, on menera les tangentes correspondantes (766) ; on déterminera les points où elles perceront l’un des plans de projection , le plan horizontal par exemple, et l’on décrira la trace T, qui sera le lieu de ces points. Cela fait, p étant le point où la tangente en P perce le plan horizontal, on menera par le point p une tangente 6 à la courbe T, et le plan qui passera par cette tangente et par le point P sera le plan osculateur demandé. En effet , les tangentes menées à la courbe donnée seront les élémens de la surface développable dont cette courbe serait l’arête de rebroussement (260), et le plan mené par la tangente 8 et par le point P sera l’enveloppée correspondante à ce point.

798. Proszème 2. Étant donnés une courbe quelconque et un de ses points, on demande le rayon de courbure qui correspond à ce point.

On commencera par déterminer le plan osculateur correspondant au point donné » (771), et l’on construira sur ce plan la projection cmnoz , de la courbe donnée. On prendra ensuite plusieurs points sur cette projection; par ces points on menera les normales corres-

“pondantes à la même projection; on décrira la développée UOG qu’elles détermineront ; enfin on construira (751) le point O, où la normale 7O, correspondante au point donné n, touchera la courbe UOG , et la partie 7O de cette normale sera le rayon de courbure cherché,

Pour le démontrer, soient mn et no les deux élémens infiniment petits, de la courbe donnée, par lesquels passe le plan osculateur qui sert de plan de projection, et élevons par les milieux de ces élémens les droites 46, y, qui leur sont perpendiculaires ; on sait que ces droites se couperont au centre de courbure de Parc mno, mais il est clair qu’elles

raitront naturelles. En effet, en pliant une ligne en un point, on lui fait subir une flexion, qui n’est autre chose qu’une courbure, quand la flexion est infiniment petite et que les points voisins en éprouvent d’analogues ; et lorsque sans rien changer aux élémens consécutifs a, b,c,d,... metn, de cetteligne, et sans faire sn l’angle des deux élémens m et n, on change le plan de ces élémens, c’est par une véritable torsion de

l'élément 7 autour de l'élément m.

Ces dénominations ont d’ailleurs l'avantage de conduire à la propriété qui distingue les courbes non planes des courbes planes, et qui consiste en ce que les premières présentent en chaque point une courbure et une torsion , tandis que les dernières ne présentent que des courbures.

Le nom d’angle de flexion donné à celui que nous appelons l’angle de torsion, a le défaut de s'appliquer naturellement à l’angle de courbure. D’un autre côté, si l’on courbe le plan hic ligne P autour des normales consécutives de cette ligne, la ligne P se changera en une autre ligne Q, dont la première sera la transformée (426) : or dans cette opération, le plan de deux normales consécutives aura subi une véritable flexion autour de chacune d’elles ; les angles de ce plan avec ses voisins seront donc des angles de flexion correspondans à des élémens de la courbe Q. Donc on sera induit en erreur, si l’on adopte le nom d’angle de flexion pour les angles de torsion ; car ce nom s’appliquera naturellement à la courbe Q, et ne devra cependant s’entendre que de l’arête de EURE de la surface développable formée en courbant le plan de la ligne P.

Nous remarquerons, en passant, qu’en courbant ce plan on a augmenté les angles de courbure de la ligne P; et comme elle a ses angles de torsion nuls, les courbes Pet Q diffèrént entièrement, et par rapport aux angles de courbure, et par rapport aux angles de torsion.

Fig. 2.

Fig.

se couperont sur la courbe UOG:; donc, etc. (Voyez, n°: 780 , un second moyen de solution) (*).

Si la courbe donnée était plane, on serait dispensé de construire le plan pe à correspondant au point donné.

779: DES DÉVELOPPÉES. « Si l’on concoit une droite menée parle centre d’un cercle perpendiculairement à son plan, etindéfiniment prolongée de part et d'autre, on sait que chacun des points de cette droite sera à égales distances de tous les points de la circonférence; que, par conséquent, si l'on imagine qu'une seconde droite, terminée d’un bout à un des points de la circonférence, et de l’autre à un point quelconque de la perpendiculaire, tourne autour de cette dernière comme axe, en faisant constamment le même angle avec elle, son extrémité mobile décrira la circonférence de cercle avec la même exactitude que si l’on eût fait tourner le rayon autour du centre. La description du cercle au moyen du rayon, et qui n’est qu'un cas particulier de la première, par sa simplicité est plus propre a donner l'idée de l'étendue du cercle : mais, sl ne s’agit que de descriphon, la première peut dans certains Cas avoir de l'avantage, parce qu’en prenant sur l'axe deux pôles placés de part et d'autre du plan du cercle, puis menant par ces deux points deux droites qui se couperaïent en un point de la cwconférence, et faisant ensuite mouvoir le système de ces deux droites autour de l'axe de manière que leur point d’intersection füt fixe sur l’une et sur l’autre, ce point décrirait la circonférence du cercle, sans qu'il eût été nécessaire d'exécuter auparavant le plan dans lequel elle doit se trouver. L ;

780. » Soit KAaD une courbe à double courbure quelconque tracée dans l’espace. Par un point À de cette courbe soit concu un plan MNOP perpendiculaire à la tangente en À ; par le point a infiniment proche, soit pareillement imaginé un plan mnOP perpendiculaire à la tangente en a; ces deux plans se couperont en une droite OP qui sera Faxe du cercle, dont le petit arc Aa de la courbe peut être censé faire partie : de manière que si, des points À, a, l’on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires "At entre elles , la rencontreront en un même point G;, qui sera le centre de ce cercle: Tous les autres points g, g', 8! descette droite seront chacun à égales distances de tous les points de l'arc infiniment

AL j : A à, ; ls ; (*) Le lecteur verra avec intérêt, dans les Annales mathématiques , ce que M. Dupin a écrit sur les deux problèmes précédens.

pêtit Aa, et pourront par conséquent en être resades comme les pôles. PI. 62. Fig. 3

Ainsi, si d'un point quelconque g de cet axe, on mène deux droites aux points À, a, ces droites gÂ, ga, seront pol és entre elles, et formeront avec l'axe des angles AgO, agO, égaux entre eux : en sorte que si l’on voulait définir la courbure de la courbe au point À, il faudrait donner la longueur du rayon de courbure AG, et que s’il s'agissait d’assigner le sens de la courbure, 1l faudrait donner ke position du centre G dans l’espace. Mais s'il est simplement question de décrire le petit arc, il suffira également ou de faire tourner la droite Ag autour de l'axe , sans altérer l'angle AgO qu’elle fait avec lui, ou de Gi tourner le rayon de courbure AG co la nent: à cet axe. F

» Ainsi, la droite OP peut-être regardée comme la ligne des pôles de l'élément Aa; le centre de courbure de cet élément est celui de ses pôles dont la distance x l'élément est un minimum ; enfin, son rayon de courbure est la perpendiculaire AG, abaissée de l'élément sur la higne des pôles.

781. » Que l’on fasse actuellement sur tous les points de la courbe à double courbure, la même opération que l'on vient de faire sur un de ses élémens, c'est-à-dire que par tous les points consécutifs À, A’, A’, A!!, etc., l’on fasse passer des plans MNOP, perpendiculaires chacun

à la tangente de la courbe au point où il la coupe; le premier de ces plans rencontrera le second dans une droite OP qui sera le lieu géométrique des pôles de l'arc AA’; le second rencontrera le troisième dans une droite O'F”, lieu des pôles de Pare A/A”", et ainsi de suite. Il est évident que le système de toutes les droites d’intersection, ou la surface courbe qu’elles forment par leur assemblage, sera le lieu géométrique des pôles de la courbe KAD'; car cette courbé n'aura point de pôle qui ne soit sur la surface, et cette surface n'aura pas de point qui ne soit le pôle de quelqu'un des élémens de la courbe.

782. » Du point À de la courbe, par lequel passe le premier plan normal MNOP, soit menée dans ce plan, et suivant une direction arbitraire, une droite Ag jusqu'a ce qu’elle rencontre la section OP quelque part en un point g; par les pois A’, g, soit menée dans le second plan normal, la droite Ag prolongée jusqu’à ce qu’elle rencontre la section OF” en un point g'; soit pareillement menée A"g/2", et ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g, g', g', etc., est une développée de la courbe KAD : car toutes les droites Ag, A/£', A'g”, sont les tangentes de la courbe

Fig.

ES

PE Go.

Fig. 4

29"g", puisqu'elles sont les prolongemens des élémens de cette courbe. De plus, si l’on concoit que la première Ag tourne autour de OP, comme axe, pour venir s'appliquer ie la suivante As, elle n'aura pas cessé d’être tangente à la courbe gg'g"; et son extrémité A, après avoir parcouru l'arc AA’, se confondra avec l'extrémité A’ de la ni Que l’on fasse de même tourner la seconde ligne Ag” autour de O’P', comme axe, pour qu’elle vienne s'appliquer sur la troisième Ag’, elle ne cessera pas de toucher la courbe gg’2", et son extrémité A! ne sortira pas de l'arc A’A", et ainsi de suite. Donc la courbe gg’g" est telle, que si l’on conçoit qu’une de ces tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente, etsansavoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des ponts de cette tangente décrira la courbe KAD ; done élle est une de ses développées. Mais la direction de la première droite Ag était arbitraire; et suivant quelque autre direction qu’on l’eût menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe gg'g” qui aurait été pareillement une développée de la courbe KAD. Une courbe quelconque a donc une infinité de développées qui sont toutes comprises sur une même surface courbe.

783. » Les droites Ag" et Ag” forment des angles égaux sr la droite O'P'; et l'élément g'g” étant le prolongement de la droite As", il s'ensuit que les deux AAAGE" consécutifs g2',9 gs , de la développée gg'£", forment des angles égaux avec la droite OP’ qui passe par leur point de rencontre. Or, lorsqu'on développe la surface pour l’appliquer sur un plan, les élémens de la développée ne cessent pas de faire les mêmes angles avec la droite O'P'; donc deux élémens consécutifs de la courbe gg'g", considérés dans la surface étendue sur un plan, forment des angles égaux avec une même ligne droite, donc ils sont dans le prolongement l’un de l’autre. IL suit de là, que chacune des développées d’une courbe à double courbure devient une ligne droite, lorsque la surface qui les contient toutes est étendue sur un plan; donc elle est sur cette surface la plus courte que l’on puisse mener entre ses extrémités.

784. » On déduit de là un moyen facile d'obtenir une quelconque des développées d’une courbe à double courbure, lorsqu'on a un modèle de la surface développable qui les contient toutes. Pour cela, il suffit de mener: par un point de la courbe un fil tangent à la surface, et de plier ensuite ce fil sur la surface en le tendant : car, en vertu de la tension, il prendra la direction de la courbe la plus courte entre ses extrémités ; il se pliera par conséquent sur une des développées.

785. » On conçoit d’après cela, comment il est possible d’engendrer, par un mouvement continu, une courbe quelconque à double courbure; car, après avoir exécuté la surface développable, touchée par tous les plans normaux de la courbe; si, du point donné dans l’espace, et par lequel Ia courbe doit passer, on dirige deux fils tangens à cette surface; etsi, après les avoir pliés ensuite sur la surface en les tendant, on les fixe par leurs autres extrémités ; le point de réunion des deux fils, qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface, sans glisser ni sur l’un des fils, ni sur l’autre, engendrera , dans son mouvement, la courbe proposée.

786. » Tout ce que nous venons de dire par rapport aux courbes à double courbure, convient'également aux courbes planes, avec cette différence seulement, que tous les plans normaux étant perpendiculaires au plan de la courbe, toutes les droites de leurs intersections consécutives sont aussi perpendiculaires au même plan, et par conséquent parallèles entre elles. La surface développable, touchée par tous ces plans normaux, est donc alors une surface cylindrique, dont la section perpendiculaire est la développée ordinaire de la courbe. Mais cette surface cylindrique contient de même toutes les développées à double courbure de la même courbe; et chacune de ces développées fait, avec toutes les droites génératrices de la surface cylindrique, des angles constans. Le filet d’une vis ordinaire est une des développées de la développante du cercle qui sert de base à la surface cylindrique sur laquelle il se trouve; et quelle que soit la hauteur du pas de la vis, si le diamètre du cylindrique ne change pas, le filet sera toujours une des développées de la mème courbe. »

D’après tout ce qui vient d’être dit, il sera possible de résoudre graphiquement le pro- - blème suivant.

187. PROBLÈME GÉNÉRAL. Étant donnée une courbe quelconque , on demande de construire une ou plusieurs de ses développées.

Pour résoudre cette question, on commencera par déterminer la surface développable qui est Le lieu des développées de la courbe donnée. On menera ensuite un nombre suflisant de plans normaux à cetie courbe; puis, ayant construit leurs traces horizontales et verticales, on menera une première ligne tangente aux traces horizontales, une seconde ligne tangente aux traces verticales, et ces deux lignes seront évidemment les traces de la surface cherchée.

Lorsqu’elles seront connues, on déterminera les points de contact suivant lesquels elles toucheront les deux traces de chaque plan normal(771); par ces deux points on menera une droite, et cette droite sera lun des élémens du lieu des développées. On construira autant

PI. Gx.

Fig. 4