BIN

Fig.

ront chacun par une de ces droites et par la perpendiculaire correspondante ; donc l’un de ces plans sera parallèle à l’autre, comme contenant deux droites respectivement parallèles à deux autres droites contenues dans ce dernier ; donc ils couperont le plan de projection suivant des droïtes parallèles : mais ces droites seront les projections des droites données; donc, etc. |

Soit donc (AB, A'B') la droite donnée, et (C, C') le point donné. La projection horizontale de la droite demandée passera nécessairement par le point C, et sa projection verticale par le point C'; et puisque ces deux projections doivent être respectivement parallèles aux droites AB , A’B’, il ne s'agira que de mener par le point C, CD parallèle à AB; par le point C', C'D' parallèle à A'B', et la droite (CD, CD”) que l’on obtiendra , sera la droite demandée.

60. PROBLÈME 2. Mener par un point connu (C, C'), un plan parallèle au plan donné (EF, FG).

Il est évident que le plan cherché aura ses traces parallèles à celles du plan donné. Or, il suit de là que si l'on mène par le point (C, C’) des parallèles aux traces EF, FG, ces parallèles seront dans le plan demandé, et qu’elles perceront 1 plans de projection suivant des points des traces de ce plan. Menons donc par le point (C, €’) une parallèle à la trace EF : cette trace est elle-même sa projection horizontale, et elle a pour projection verticale la ligne de terre (25); donc, si l’on mène par le point C la droite CH parallèle à EF, et par le point C’ » C'H' parallele à FH, la droite (CH, C'H) sera parallèle à EF, et par conséquent contenue dans le plan demandé. Mais cette droite perce le plan vertical au point H'; donc si l’on mène par ce point la droite HT parallèle à GF ; puis par le point I, la droite IK parallèle à EF; le Pins (KI, IH”), ainsi Mg. sera le plan cherché.

Si l’on mène par le point (C, C’) une droite parallèle à FG, cette droite étant dans le plan (KT, IH’), percera nécessairement le plan horizontal en un point de KI; en sorte que la construction de cepoint donnera le moyen : de vérifier le résultat obtenu par les opérations précédentes.

Gr. Exécution de l'épure. Les parties FE, FG, des traces du plan donné, étant situées sur les portions antérieure et supérieure des plans de projection , elles sont vues et doivent par conséquent être indiquées en lignes pleines (56). Les prolongemens de ces traces, au-delà du point F, sont

ponctués, parce qu'ils sont situés sur les parties postérieure et inféricure dés mêmes plans. Quant au plan demandé, il est entièrement caché, sur chacun des plans de projection, par la surfacé du plan donné : les traces MK, LH’, doivent en conséquence être ponctuées.

62. PROBLÈME 5. Mener un plan par trois points donnés (A, A’), (B, B') ec (C, C”).

Par les deux points (A, A”), (B, B'), menons une droite (AB, A'B'), elle sera dans le plan demandé : or, elle percera le plan vertical en (D, D') et le plan horizontal en (E, E'); donc le premier point (D, D') appartient à la trace verticale du plan cherché, et le second (E, E”) à sa trace horizontale. Menons de même par les points (A, A’) et (C, C/) ure nouvelle droite (AC, AC), elle sera aussi dans le plan cherché; donc le plan F’ où elle percera le plan vertical, et le point G où elle percera le plan horizontal, appartiendront aux traces de ce plan. Donc enfin, si l’on mène les droites D'F', GE, qui passent par les points obtenus (D, D')et (F, F°),(G, G'}et (E, E’), elles détermineront le plan demandé (GE, D'F').

El est clair que si l’on mène par les points (B, B') et (C, C’), une troisième droite (BC, B'C'), elle sera, comme les deux premières, située dans le plan demandé, et percera par conséquent les plans de projection suivant des points I et J des traces obtenues GE, D'F’. On pourra déterminer ces points, et ce sera un moyen de vérifier l'exactitude des constructions faites ; mais comme les iraces GE, D'F’, doivent déjà se rencontrer en un même point H de la ligne de terre, de dernière propriété sera dans la pra tiauR une suffisante vérification.

63. PROBLÈME 4. Mener par un point quelconque une droite perpendiculaire à un plan donné, et déterminer le point d'intersection de la droite et du plan. |

Pour distinguer facilement, dans le discours, le plan donné, des Fr plans de projection, nous remarquerons que ce plan ést en général incliné par rapport à ces derniers, et nous le nommerons /e plan incliné.

64. Cela posé, concevons que la droite dématidée soit menée dans l’espacé : le plan projetant de cette droïte correspondant au plan horizontal, sera évidemment perpendiculaire au plan incliné; donc il sera perpendiculairé au plan horizontal et au plan incliné ; donc il sera perpendiculaire à leur intersection : donc cette intersection, ou, ce qui revient au même, la trace horizontale du plan incliné, sera perpendiculaire au plan projetant.

Fig'o

Le)

Mais une droite perpendiculaire à un plan est perpendiculaire à toutes les droites qui se croisent par son pied dans ce plan; or, la trace horizontale du plan projetant est une droite située dans ce plan, et passant par le pied de la trace horizontale du plan incliné; donc ces deux traces sont perpendiculaires entre elles. Et comme la trace du plan projetant est la projection horizontale de la droite demandée, il s'ensuit que cette projection est perpendiculaire à la trace horizontale du plan incliné.

On démontrerait de même que la projection verticale de la droite : 2 mandée est perpendiculaire à la trace verticale du même plan; ainsi, nous pouvons tirer de ces raisonnemens la conclusion suivante : Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan, les deux projections de la droite sont respectivement perpendicu laires aux traces du plan.

65. Réciproquement, Lorsqu'une droite a ses deux projections respectivement perpendiculaires aux deux traces d'un plan, elle est perpendiculaire à ce plan.

En effet, chaque plan projetant de la droite en question étant perpendiculaire tte des traces du plan incliné, il est perpendiculaire à ce plan . lui-même. Or cette droite est l'intersection de ses deux plans projetans ; donc elle est l’intersection de deux plans perpendiculaires au plan CS donc elle est pérpendicoliare à à ce plan. A

66. On peut énoncer ainsi ces deux propositions réciproques : Lorsqu'il y a perpendicularité entre une droite et un plan, les projections horizontales et verticales de la droite , et les traces horizontales et verticales Hu plan, sont TPRRROPeRIÈne rectangulaires entre elles. DUR

67. D'après cela , soit (BC , CD) le plan auquel on demande d’abaïsser une perpendiculaire par un point quelconque (A , À") : il ne s’agira que de menér par les points A et A, les droites AH, A'H', respectivement perpendiculaires aux traces BC, CD, et la rot UE AH) sera la perpendiculaire demandée.

68. Construisons maintenant le point d'intersection de cette perpendiculaire et du plan (BG, CD) : on sait, par ce qu’on a vu n° 58 , que la mise au trait des lignes de l'épure ne présentera aucune difficulté, léréqru il sera connu. Pour le trouver, nous mènerons par AH le plan projetant (EA, EE), dont la trace verticale EE’ est perpendiculaire à la ligne de terre. Ce plan contiendra la droite (AH, A’H") ; donc il contiendra le point cherché : maïs ce point est aussi sur le plan donné; donc il est sur l'intersection commune de ces deux plans. Or, les traces de ces plans se coupent suivant-les:deux

points F et E’; donc ils ont pour intersection la droite (FE, F'E'). Et comme le point cherché est sur cette droite et sur (AH, A'H'), il est nécessairement projeté sur le plan vertical à l'intersection H’ de leurs projections. Menons donc H'H perpendiculaire à à GC, et nous obtiendrons le Don demandé (H, H).

En faisant, sur la projection A'H', des constructions one celles que* nous venons de faire sur AH, on vérifiera l'exactitude de la solution obtenue.

69. Il est évident que si la droite (AH, A’H'), n’était it pas perpendiculaire au plan donné, l'intersection commune (H, H”) ne s’en obtiendrait pas moins par les constructions que nous venons d'indiquer.

70. PROBLÈME 5. Par un point donné (A, A’), abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée (BC, B'C”. »

Concevons par le point donné un plan perpendiculaire à la droite donnée, elle le percera en un point, et si l’on fait passer une ligne droite

par ce point et par le point donné, cette droite sera la perpendiculaire

demandée.

Pour mener par le point (A, A’) un plan perpendiculaire à (BC, B'C), nous remarquerons que la trace verticale de ce plan, quelle qu’elle soit, est une droite perpendiculaire à B'C' (66), et ayant pour projection horizontale la ligne de terre; donc, si par le point (A, A’), nous menons une droite (AD, A’D"), dont la projection horizontale soit parallèle : à la ligne de terre, et la projection verticale perpendiculaire à a B'C', cette droite sera dans le plan cherché, comme étant parallèle à une droite contenue dans cé plan : donc elle percera le plan horizontal en un point D appartenant à la trace de ce plan. Menons donc par le point D la droite DE perpendicu- Jaire à BC, puis par le point E, la droite EF perpendiculaire à BC’; le plan (DE, EF) sera le plan de construction cherché.

Or, en appliquant à la figure les procédés exposés plus haut (68), on trouvera que la droite donnée (BC, B'C) perce le plan {DE, EF) suivant le point (G, G'); donc en menant par les points (A, A’) et (G, G) la droite (AG, A!G'), cette droite sera la perpendiculaire demandée.

71. Exécution de l’épure. Les parties BC, B'C', AH, A'H', des projections de la droite donnée et de la droite demandée, correspondent à des portions de ces droites, qui, à partir des traces (C, C’), (H, H”}, sont audessus du plan horizontal et en avant du plan vertical ; donc les projections

Fig. r.