PLIS

Fig. 2.

Fis. 5.

BC, B'C', AH, AH’, doivent être indiquées. en lignes pleines jusqu'aux points C, C’, H, H’(56). Au-delà des traces (C, C), (H, H”), les droites (BC, BC), (AH, AH”), sont évidemment cachées, et leurs projections doivent en conséquence être ponctuées. Les autres lignes de l’épure sont des lignes de construction, aussi les a-t-on tracées au moyen d’élémens linéaires détachés les uns des autres. |

Comme le plan (DE, EF) est d’une assez grande importance, on aurait pu l'indiquer au moyen de lignes mixtes (55).

72. PROBLÈME 6. Étant données deux droites (AB, A'P), ŒC, B’C”, qui se rencontrent en un point (B, B'), trouver l'angle qu’elles font entre elles.

Nous eoncevrons un plan par les deux droites données; mous déterminerons les points À et C où elles percent le plan horizontal ; nous mènerons par ces points une ligne droite AC, et cette ligne sera! la trace du ‘plan des deux droites. Nous imaginerons ensuite que ce plan s’abatte surle plan-horizontal , en tournant sur la trace AC ;.nous construirons les rabattemens des droites données , et l'angle de ces rabattemens sera l'angle cherché.

Or, dans le mouvement, les points du système décriront des arcs de cercles dont les plans seront perpendiculaires à la droite AC, et dont'les centres seront les divers points de cette droite. : Comme elle est horizon-

tale , ces plans seront verticaux. Donc si l’onsmène par le point B du plan

horizontal , la droite GD perpendiculaire à la charmière AC , D sera le centre de l'arc décrit par le point (B, B'), et cet arcsera compris entièrement dans le plan vertical GD ; doncle rabattement du point (B, B’) sera quelque part sur GD. Mais le rayon de cet arc est l’hypoténuse dutriangle rectangle dont

les côtés adjacens à l'angle droit sont l'horizontale. BD , et la verticale 2B'

qui se projette horizontalement en B; donc si l'on pérteiBD de ben d, et qu'on mène l’hypoténuse dB', cette dnbotéatse sera le rayon en question : donc en portant dB’ de D en G, on aura le rabattément G du point (B,:B).

Remarquons maintenant que les points À et C des droites données sont eux-mêmes leurs rabattemens; car ils sont dans la charnière AC, etn’ont pu par conséquent prendre aucun mouvement. Donc les deux points'A. et G sont..les rabattemens de deux: points de (AB, AB’). Pareïllement Get C sont les rabattemens de'deux-points-de (BC, B'C”) ; donc AG'et GC sont les

rabattemens: des droïtes données : donc enfin AGC est l'angle demandé.

73. Lorsque dux droites données ne:se° rencontrent pas, il n’y a-pas -

d'espace angulaire compris entre elles; mais comme on apprécie la différence de leurs directions, par l’angle sous lequel se coupent deux parallèles à ces droites menées par un même point, on est convenu de considérer cet angle comme celui que forment les droites données. * D’après cela, et d’après la solution précédente , il sera facile de trouver l'angle de deux droites quelconques, soit qu’elles se rencontrent ou bien qu’elles ne se rencontrent pas.

74. Exécution de l'épure. Les parties vues et cachées des droites données sont faciles à déterminer , et sont indiquées, les premières en lignes pleines, et les dernières en. lignes ponctuées. Quant aux côtés de l'angle cherché, ils

sont en lignes pleines vers le point G, où ils sont considérés comme résul-

tats du problème proposé, et ils sont indiqués vers les points À et C par des élémens rectilignes détachés ; parce qu’on les considère vers ces points comme des lignes de construction (56).

75. PROBLÈME 7. Un plan (AB, BC) et une droite (DE, D'E') étant donnés , on demande l'angle qu’ils font entre eux.

L’angle d’une droite et d’un plan n'étant autre chose que celui de cette droïte avec sa projection sur ce plan, il est évident qu’il a pour complément Vangle de cette droite avec une perpendiculaire abaissée sur le plan par un des points de la droite. à

Prenons donc un point @, D”) sur la droite donnée, et par ce point, menons une droite (DF, D'F’) perpendiculaire au plan (AB, BC) : cette droite fera avec la droite donnée un angle EGF facile à déterminer (72); et si l’on abaisse par un point F, pris sur l’un des côtés de cet angle, une droite FH perpendiculaire à l’autre côté, cette perpendiculaire fera avec le côté FG un angle GFH, complément de FGH, égal à l’angle cherché.

76. Exécution de l'épure. Le sommet de l'angle obtenu GFH étant sous le plan donné (AB, BC), les parties des lignes de construction HF, GF, qui sont situées vers le point F, et qui comprennent le résultat du problème, ne sont pas vues, et doivent par conséquent être ponctuées (56). Quant aux projections de la droite donnée, elles ne sont pleines que jusqu’au point (I, [”), où cette droite passe tout-à-la-fois sous et derrière le plan donné.

77. PROBLÈME 8. Deux plans (AB, BC), (AD, DC), étant donnés, trouver l'angle qu'ils font entre eux.

Pour résoudre ce problème, nous chercherons d’abord l'intersection commune de ces plans ; nous mènerons ensuite, par un point de cette inter-

Fig. 4.

Fig. 1.

| ETS

section, un plan qui la coupe perpendiculairement, ce plan déterminera sur les plans donnés deux droites d’intersection, et l'angle de ces droîtes sera l'angle cherché.

Les traces horizontales AB, AD, des plans donnés, se coupent en À; leurs traces verticales se en en C'; les points A et C’se projettent sur la ligne de terre en A et C: donc la droite (AC, A'C) est l'intersection des deux plans donnés.

Menons , par un point quelconque (E, E”) de cette intersection, un plan

qui lui soit perpendiculaire. Il aura pour trace verticale une droite inconnue PES a AC’ (66); laquelle droite se projettera horizontalement suivant la ligne de terre. Donc, si l’on mène par le point (E, E’) la ligne (EF, E’F'), dont la projection horizontale est parallèle à BA, et la projection verticale perpendiculaire à A’C', cette ligne sera parallèle à la trace verticale inconnue, et sera par conséquent dans le plan cherché : or, elle percera le plan horizontal en F; donc le point F appartient à la trace horizontale de ce plan. Mais cette trace est perpendiculaire à AC (66); donc, si l'on mène par le point F une droite FG à angle droit sur AC, cette droite sera la trace horizontale du plan mené par (E, E’) LR lairement à (AC, A'C'). Quant à sa trace verticale, il serait SHDÉLE de la construire.

Ce plan coupera les traces AB, AD, suivant les points K et H, et les plans donnés suivant deux droites, que les points (E, E)etK, (E, E’) et H, détermineront complètement. Or, il ne s'agira que d’avoir les angles de ces droites. Pour cela, on rabattra sur le plan horizontal (72) le plan dont Ia trace est FG; les points K et H resteront immobiles ; le point (E, E!) décrira

‘autour du point G un arc dont le rayon IE’ sera facile à construire, et ce

point viendra s’abattre en L. Les droites en question se rabattront ee conséquent en KL et HL, et KLH sera l'angle demande. *

78. Exécution de l'épure. X] est aisé de voir que le plan (AB, BC”) cache les parties DA, DC’, des traces du plan (DA , DC”) ; que la portion (AC, A'C) de l'intersection des plans donnés, comprise éntre 1 points (A, A),(C, C’), où (AC, AC”) perce les plans de projection, est vue; qu’à partir de l’intersection (AC, A’C'), et du côté opposé au point B, le plan (AD, DC’) se trouve au-dessus et en avant du plan (AB, BC'), en sorte que les portions AP, C'M, des traces du dernier ne sont pas vues, et qu’au contraire les parties AN, CO, de celles du premier sont vues. Enfin, il est aisé de voir que les lignes KL, LH, qui comprennent l'angle demandé, sont cachées par les plans

donnés; ainsi l'application des conventions du n° 56 ne doit présenter ici aucune difficulté.

La ligne KG étant de toutes les lignes de construction la ligne la plus importante, il serait assez convenable de l'indiquer en lignes mixtes (55).

Fig. 1.

79: PROBLÈME 9. Deux droites étant données ; on demande la plus courte ligne qui puisse les joindre.

Si ces lignes se rencontraient, la ligne demandée n’existerait pas; si elles étaient parallèles, cette ligne serait une droite quelconque située dans leur plan, et perpendiculaire à à chacune d'elles : d’où l’on voit que la question

ne doit être traitée que dans le cas où les droites données ne sont pas comprises dans un même plan.

De quelque manière qu'elles soient alors situées dans l’espace, on peut toujours mener par l’une un plan parallèle à l’autre; car si lon mène par un point de la première une droite parallele à la seconde, le plan que la première droite et cette parallèle détermineront sera le plan en question.

Or, si l’on conçoit que la seconde droite soit projetée sur ce plan, sa projection et la première droite se rencontreront en un point, et si l’on élève par ce point une perpendiculaire au plan auxiliaire, elle coupera à angle droit la seconde droite, elle coupera aussi à angle droit la premiere, elle sera par conséquent à la fois perpendiculaire à ces deux droites , et il s'ensuit qu’elle mesurera entre elles leur plus courte distance. En effet, elle sera la plus courte ligne qu’on puisse mener d’un point quelconque de la seconde droite à un point quelconque du plan auxiliaire, et conséquemment à un point quelconque de la première droite.

80. Soient donc (AB, A’B'), (CD, CD”), deux droites qui ne se rencontrent pas et qui ne sont pas parallèles; il ne s'agira, pour avoir la plus courte ligne qui puisse les joindre, ou, ce qui revient au même, leur plus courte distance, que d'exécuter les constructions précédentes.

On prendra donc sur la première (AB, A’B’) un point quelconque, par exemple, le point (A, A”) où elle perce le plan vertical ; par ce point on mènera la droite (AE, AE’) parallèle à la seconde droite (CD, CD’) : cette parallele et la droite (AB, A'P) perceront les plans de projection en des points (B, B'), (E, E’) et (A, A”), qui détermineront les traces du plan auxiliaire (BF, FA”). On abaissera par un point quelconque (C, C’) de la seconde droite (CD, C'D'), une perpendiculaire (CG, €'G/) sur le plan auxi-

Fig. 2

30 LIVRE JT. PRÉLIMINAIRES.

liaire (BF, FA”; elle le percera en un point (G; G'), et en menant par ce point une parallèle à la droite (CD, CD”), on aura la projection (GH, G'H') de cette droite sur le plan auxiliaire. Cette projection coupera la prémière droité (AB, A’B’) en un point (H, H'); on élévéra, par ce point, une perpendiculaire au plan (BF, FA), ou, ce qui’est la même chose, une parallèle (HD , HD”) à la droite (CG, C’G'), et cette parallèle, perpendie SS la fois sur les deux droites données, sera la ligne sur laquelle se mesure leur plus courte distance. Il est clair que cette perpendiculaire coupe la droite (CD, CD”) en (D, D”) : elle a son pied sur (AB, AB) en (a H) ; ainsi, la portion de droite (HD, H'D') est la ligne demandée.

AAA AAA AAA AAA AR AAA AAA ANA AA AAA AA AA AAA AAA RAA ANS AAA AAA AAA ANA AAA