CHAPITRE IV

Des ! 19nes courbes.

81. Quoique nous ayons fait connaître, dès le chapitre 1°’, la manière de représenter les lignes courbes, nous ne nous sommes pas occupés, chapitre ur et chapitre nr, des problèmes à résoudre sur ces lignes, parce qu'il était bon d'exposer auparavant leurs propriétés générales, C’est ce que nous allons faire dans ce chapitre. Nous reviendrons d’abord à la représentation des courbes, puis nous les considérerons sous le rapport de leurs directions en chacun de leurs points, sous celui de leurs courbures variables d’un point à un autre, et sous celui d’une génération (analogue à celle du cercle) dont elles sont susceptibles. Cette marche nous conduira successivement aux tangentes , aux plans et aux cercles qu'on nomme plans osculateurs et cercles osculateurs, et aux lignes connues sous les noms de développantes et de développées. Nous exposerons ensuite la théorie d’une courbe fort usuelle, que l'on appelle hélice , et nous terminerons par la résolution des problèmes que l’on peut proposer sur les lignes courbes, considérées’ en elles-mêmes et par rapport aux grandeurs que nous savons représenter. Dans le complément (liv. VI, chap. nr), nous nous occuperons des propriétés qui ne sont pas assez élémentaires pour être actuellement exposées.

82. Nous avons vu précédemment (16), que les projections d’une ligne courbe définissaient la forme de cette ligne et sa position. D’après cela, si

- Jon trace arbitrairement sur le plan horizontal une ligne ABC, et sur le plan vertical une ligne A'B’C', il correspondra à la première de ces lignes une sürface-projetante verticale (6); à la seconde une surface projetante horizontale , et l'intersection de ces surfaces sera une ligne parfaitement déterminée de forme et de position.

Si les deux projections ABC, A'B'C', sont deux lignes droites , les sur-

. faces projetantes correspondantes à ces lignes seront des plans; la ligne (ABC, A'B'C”) sera l'intersection de ces plans, et cette ne sera par COnséquent une droite.

83. Si l’une des.deux projections ABC, A'B'C', est une ligne droite, la première par exemple, et que l’autre soit une ligne courbe, la surface

. projetante verticale correspondante à la ligne ABC sera plane, et la ligne (ABC; :A'B'C") se trouvera entièrement comprise dans un plan. Ce sera ce qu'on appelle par cette raison une courbe plane.

Enfin, si les projections ABC, A’B'C’, ne sont droites ni l une ni l’autre, et cela quelque système. de plans de projection que l'on choisisse (*), les poinis de la ligne (ABC, ABC’), ne pourront être à la fois contenus dans aucun plan : cette courbe participera par conséquent, de quelque manière

. que deux projections la représentent , de la courbure de deux surfaces projetantes ; et ce sera ce qu'on appelle une courbe à double courbure (773).

84. Le cercle. étant engendré par l'extrémité d’un fil d’une longueur constante et en mouvement sur un plan autour d’un point immuable, le filgénérateur a constamment toutes. ses parties situées dans ce plan; ainsi

-le cercle est:une courbe plane. u

Si l’on ,veut avoir un exemple d’une courbe à double courbure, on n'aura qu’à tracer sur le plan horizontal un arc de cercle ABC, et sur le plan

- Vertical un autre arc de cercle A/B'C'; ces deux arcs détermineront une

- courbe (ABC, A'B'C'), quisera, en nn, une courbe à double cour- : bure #0

ON On ARR que la Sd (ABC, AB C”) pourrait être Blane: quoique les projec- tions.ABC,.A’B'C’, fussent des courbes; et dans ce cas, il est.clair que si on la rephorkis à de nouyeaux te rectangulaires ” donnés par rapport aux premiers, il serait possible qu’en construisant ses projeclions sur cesnouveaux plans, lune d’ elles se trouvât une ligne droite, cr) Si les arcs ABC, A'B'C', avaient même rayon , et que leurs centres fussent sur une même droite . perpendiculaire : à la ligne de terre, la cour be (ABC, A'B'C'), qui leur cor- RS ,Sérait une courbe plane du genre de celles que Pon appelle elipses (voyez la :Note.2)

Pie.”

85. Lorsqu'on veut opérer sur une courbe plane, on peut, pour l'ordi naire, se passer de plans de projection , parce qu'on la construit dans son plan, et qu'on opère sur ce plan; mais, pour opérer sur une courbe à double courbure, où même sur une courbe plane considérée avec d’autres gran-deurs qui ne soient pas dans son plan, il faut absolument le secours des plans de projection. D’après cela, dans la plupart des questions que nous aurons à résoudre, nous nous donnerons une ligne courbe, plane ou à double courbure, par ses deux projections ; seulement nous aurons le soin, lorsqu'il s'agira d’une courbe plane, de simplifier les données autant qu'il se pourra, en prenant une ligne droite pour l’une de ses projections.

86. Le premier usage que nous ferons des lignes ABCD , A'B'CD', qui déterminent une courbe (ABCD, A’B'CD'), ce sera de construire les points communs à la courbe et aux plans de projection : € 'est-à-dire les traces de cette courbe,

Or, on sait que les traces horizontales se projettent verticalement sur la ligne de terre (24); donc si des points A’ et D’, où la projection verticale A'B'CD' rencontre la droite MN, on élève des perpendiculaires A'A, DD, à cette droite, ces. perpendiculaires couperont la projection horizontale ABCD suivant les points À et D, ou (A, A’)et(D, D”), qui seront les traces horizontales cherchées.

Pour avoir les traces verticales de la même courbe, on se rappellera qu’elles doivent avoir leurs projections horizontales sur MN ; on en conclura que ces traces se projettent horizontalement en B et GC; on élevera perpendiculairement à la ligne de terre les droites BB", CC’; elles couperont la ligne A'B'C'D’ en des points B' et C', ou (B, B'} et (G; C’), et ces points seront les traces verticales cherchées.

87. Ces traces, que l’on construit ainsi dans tous les cas oisttiès servent à déterminer les parties de la courbe (ABCD, A'B'C'D'); cachées par les plans de projection. En effet, cette courbe traversant le plan horizontal en (A, A et (D, D’), elle a ses arcs (Ax, x), (Dr, D'y'), cachés à partir de ces points sur les deux projections, savoir : sur la projection horizontale , parce qu’ils sont au-dessous du plan horizontal , et sur la projection Cenere , parce qu’ils se projettent verticalement sur la partie inférieure du plan vertical, laquelle est cachée sur le dessin par la partie an= térieure du plan horizontal (30). Et la même courbe, perçant le plan vertical en (B, B') et (C, C), elle a son arc (BmC, B'm'C') derrière le plan vertical ; il n’est par conséquent pas vu sur la projection verticale, et il

CHAP. IV. DES LIGNES COURBES. S Ye

n'est pas vu non plus sur la projection horizontale; car il se projette horizontalement sur la partie postérieure du plan horizontal , laquelle est cachée sur le dessin par la partie supérieure du plan vertical.

Il est clair que les traces en question aident beaucoup à se bien figurer dans l’espace, la position de la courbe (ABCD, A'B'C'D"), par rapport aux plans de projection. Par cette raison, ét parce qu’elles séparent les arcs que cachent ces plans, de ceux qu'ils laissent voir, nous aurons soin en général de les marquer sur les épures par des lignes de construction AA", BB’, CC, DD.

88. Connaissant les traces d’une courbe, il y a une question qui se présente à l'esprit sur-le-champ, lorsqu'on les examiné en cherchant à se rendre compte de la forme et de la position de cette courbe ; c’est de déterminer les angles, plus on moins grands, sous lesquels elle perce en ces

points les deux plans de projection. Cette gûE son conduit directement à la théorie des tangentes.

89. DES TANGENTES.. Imaginons une ligne courbe quelconque dans l'espace, et concevons qu’on prenne sur son cours un élément infiniment petit. Il est clair que la petitesse de cet élément empêchera qu’il ne participe de la courbure de cette ligne; donc on peut supposer que la ligne courbe en question soit composée de petites lignes droites, pourvu que ces droites soient infiniment petites, et que leur nombre soit en conséquence infini, Mais chacun de ces élémens rectilignes infiniment petits appartient à une ligne droite indéfinie qui, en-decà et au-delà de l'élément, s’écarte du cours de la courbe, et qui ne se confond entièrement avec elle que suivant ce même élément. Or, cette ligne droite est ce qu’on appelle une tangente , et l'élément commun à la droite et à la courbe, est ce qu’on appelle leur point de contact ou leur élément de contact.

90. L'élément infiniment petit d’une ligne courbe quelconque a pour projections deux élémens rectilignes, aussi infiniment petits, qui font partie des projections de cette cube > donc si l'on prolonge indéfiniment ces deux élémens, on obtiendra deux droites tangentes aux projections de la courbe, et qui ne seront autre chose que les deux projections de la droite CE dans l’espace à la courbe en question. C'est-à-dire , par exemple, que la tangente en (B, B') à la courbe (ABC, ABC’), a pour projections

les droites MB, MB’, respectivement tangentes aux projections ABC, A'B'C’, en B eten B’.

Fig. 1.

Fig. 2.

Fig. 1.

91. Si l'on veut appliquer cette théorie au cercle engendré par l'extrémité d’un fil, on remarquera que le point générateur décrit la même ligne, soit qu'il se meuve dans un sens ou dans le sens opposé ; on en conclura qu’à chaque instant du mouvement, le fil ne penche pas plus sur une extrémité de l'élément éngendré que sur l’autre extrémité, et que chaque élément est par conséquent à angle droit sur le rayon correspondant : d'où l'on voit que la tangente en un point d’un cercle est perpendiculaire au rayon qui passe par ce point. |

92. Quant au problème dont nous sommes partis (88), et qui consiste à trouver l'angle sous lequel une courbe quelconque (ABCD , A'B'CD'), perce un plan de projection , par exemple, le plan horizontal, il est clair que cet angle est celui que fait avec ce même plan l'élément infiniment petit qui correspond, sur la courbe, à la trace (A, A”) ou (D, D’). Ainsi, pour résoudre ce problème, il ne s'agira que de mener par les points (A, A) et (D, D’), des tangentes à la courbe (ABCD, A’B'C'D”), et de construire, par le procédé du n° 42, les angles de ces tangentes avec le plan horizontal.

93. L’usage des tangentes étant très fréquent dans toutes les applications des Mathématiques, on a donné désnoms particuliers aux grandeurs LE ont des rapports simples avec ces lignes. J

Ainsi, le plan mené par le point de contact d'une tangente, perpendiculairement à cette tangente, est ce qu'on appelle un plan normal. Les plans normaux d’une même courbe se distinguent d’ailleurs entre eux par les tangentes auxquelles ils correspondent, ou par Les poinis de contact de ces tangentes.

RUE une courbe est plane, et qu’on mène par le point de contact d’une de ses tangentes, une droite perpendiculaire à cette tangente et comprise dans le plan de la courbe, cette droite est ce qu’on appelle une normale de la courbe. D’ après cela, le rayon d'un cercle est la normale de la circonférence, au point où il aboutit sur cette circonférence.

Il suit de ces définit One , que les normales et les plans normaux se déduisent des tangentes par des opérations graphiques que déjà nous savons faire.

94: Pour compléter la théôrie des tangentes, des normales et des ( normaux, il s'agirait maintenant de résoudre cette question : Par un point donné sur une courbe connue , mener une tangente à cette courbe. On en trouvera la solution générale plus loin (766); mais comme cette solution est très compliquée , et par là très peu susceptible d’être utile dans la pra-

tique, nous ne pourrons choisir, par la suite, les exemples de lignes courbes dont nous aurons besoin, que dans les familles pour lesquelles les tangentes s'obtiennent par des procédés synthétiques particuliers. Nous nous bornerons aux familles que ce chapitre et la Note 1'° font connaître.

92. DES PLANS ET DES CERCLES OSCULATEURS. La tangente à une courbe ayant en commun avéc elle (89) un élément infiniment petit, elle est de toutes les lignes droites possibles celle qui, au point de contact, approche le plus de se confondre avec la courbe ; car pour qu'une autre droite touchât cette courbe plus intimement, il. faudrait qu'elle eût deux élémens consécutifs communs avec elle, ce qui est impossible, puisque deux élémens consécutifs d’une courbe ne sont pas dans la même direction.

Mais ces deux élémens étant toujours dans un même plan, on va voir sortir de cètte propriété des considérations nouvelles d'une grande utilité.

Soient AB, BC, deux élémens consécutifs infiniment petits d'une courbe quelconque ; ils détermineront un plan qui passerà par les deux tangentes consécutives MP, NQ, de cette courbe, et il la touchera aussi intimement qu'un plan puisse la toucher , attendu que pour qu'un plan se confondit avec elle suivant un arc d’une plus grande longueur’ il faudrait qu'il passât par un troisième élément situé à la suite de AB et BC, ce qui, en général, est impossible, puisqu’un plan ne peut être assujetti à passer par plus de deux droites.

Or, le plan que déterminent les deux tangentes consécutives MP, NQ, menées à la courbe par deux ‘élémens consécutifs AB, BC, est ce qu’on nomme le plan osculateur en B.

96. Si par BC, et par l'élément consécutif CD, on mène un nouveau plan, ce sera le plan osculateur en C, et ainsi de suite; en sorte qu’à chaque point B, C, etc., de la courbe, il correspond au plan osculateur particulier.

Il est clair que si tous les plans osculateurs se confondent en un seul, la courbe sera une courbe plane. Si; au contraire, ils diffèrent généralement les uns des autres, ce sera une courbe à double courbure.

97. Dans le plan osculateur ABC de deux élémens consécutifs AB, BC,

d'une courbe quelconque, élevons, sur les milieux 7n et n de ces PR sa

deux perpendiculairés mO , nO, ou, ce qui est la même chose (93), deux

normales à cette courbe. des M 7 se couperont en un point O0; etsi,

de ce point comme centre, avec la distance OB comme rayon, on décrit un

cercle, il passera par les trois points À, B, C, et coïncidera avec la courbe Le

Fig. 3.

donnée suivant les deux élémens AB, BC: d’où il suit qu'il sera de tous lés cercles possibles celui qui la touchera en B le plus intimement; car, pour qu'un autre cercle s'en rapprochàt davantage , il faudrait qu'il eùt plus de deux élémens, c’est-à-dire plus de trois points À, B, C, sur cette courbe, ce qui est impossible, puisque ces trois points suffisent pour le déterminer.

On appelle par cette raison le cercle qui a son centre en O, et dont le caractère est d’avoir deux élémens consécutifs AB, BC, communs avec la courbe, ou d’avoir deux tangentes consécutives MP, NQ, qui soient aussi tangentes à cette courbe, le cercle osculateur de cette même courbe en B.

98. La courbure en un point B d’une ligne ABCD... , provenant uniquement de ce que les tangentes MP, NO, ou les élémens AB, BC, qui aboutissent en B, comprennent un angle PBQ, il s'ensuit que plus cet angle est grand, plus la courbure est grande, et réciproquement. On voït, d’après cela, qu'il est naturel de prendre l'angle PBQ pour mesure de la courbure. Nous le nommerons, par cette raison, l'angle de courbure (774).

Mais PBQ = mOn; donc la courbure est aussi mesurée par l'angle mOr de deux normales consécutives.

Cela posé, on remarquera que mBn étant un petit arc du cercle qui a son centre en O, arc dont la longueur égale ? AB + ? BC, on a, en désignant par R le rayon OB, et par + le rapport du diamètre à la circonférence, arc nBn : 27kR :: angle mOn : 360°; a à

y. (Ds en ARE LT A 13: 2h arc mBn X 360°. FRA 27R 7

ce qui donne

l'angle mOn = ou (+ AB + ? BC) 360°

angle mOn — De

Il suit de là que si l'on fait varier l'angle PBQ , sans changer la longueur de BC, les positions x’ et 0’, que prendront/les points # et O , seront telles qu'on ait, en appelant R' le nouveau rayon, |

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