RL (: AB +1 BC

angle mOn’ = ce qui fournit la proportion

angle mOn : angle mO'n' !: =

| Gel

Et comme mOn etmO'n représentent les courbures en B, pour les deux angles PI. 7.

. e rs Fig. 9 de tangentes PBC, PBC', il viendra, en désignant par C et C' les courbures correspondantes à ces angles,

GC Her C'est-à-dire que Les courbures sont entre elles , sur toutes les courbes possibles , en raison inverse des rayons des cercles osculateurs.

99. C’est donc au moyen de ces rayons qu'on devra mesurer les courbures, et c’est ce qui fait qu'on donne aux cercles osculateurs le nom de cercles de courbure; et que, par suite, on nomme leurs rayons et leurs centres, rayons de courbure et centres de courbure (*).

On remarquera que lorsqu'une courbe est plane, elle a tous ses plans osculateurs confondus en un seul, qui contient les centres de tous les cercles osculateurs, ou, ce qui revient au même, tous les centres de courbure. Pour une courbe à double courbure, au contraire , les plans oscula-

teurs étant tous différens (96), les centres de courbure se trouvent au à dans une suite de plans (772).

100. DES DÉVELOPPÉES ET DES DÉVELOPPANTES (**). On sait que si une droite, considérée dans un plan, tourne autour d’un de ses points supposé fixe, tous les autres points de la droite décriront autour du point fixe des circonférences de cercles concentriques. On va voir par ce qui suit qu'il n’y a aucune courbe qu'on ne puisse concevoir engendrée d’une manière analogue.

Soit ABCN une courbe quelconque tracée sur un plan; si l’on conçoit qu'une droite SR se meuve autour de cette courbe, sans glisser sur elle et sans cesser de lui être tangente, chaque point D de la droite SR décrira une courbe EDCOV, qui sera ce qu'on appelle une développante de ABCN ; et cette dernière courbe prendra, par rapport à la ligne décrite EDCOV, le nom de développée.

101. Chaque élément mm’ de la développante EDCOV, sera perpendiculaire à la direction correspondante SR de la droite mobile ; car cet élément aura la même direction qu'aurait en D l'élément d’un arc de cercle décrit du point de contact B, comme centre, avec un rayon BD. Ainsi, la tan-

Fig.

EE

(*) C'est d’après les idées d’un de mes amis (M. de Maizière, ancien professeur) que j'ai amélioré dans cette édition la théorie des courbures des lignes. (**) Cet article est tiré en grande partie de la Géométrie descriptive de M. Monge.

gente DT de la développante, est per pendiculaire : à la tanpente correspon= dante DB de la développée, ou, ce qui revient au même, les normales à la développante sont tangentes à la développée.

102. Si le point décrivant D est pris sur la droite RS, du côté BD qui s’approche de la développée, la courbe décrite DLKC s RCE a de ABCN ; et lorsque le point D sera devenu lui-même le point de contact C de la ai6te mobile et de la développée, cette dernière courbe et la développante se rencontreront en C. Mais la développante ne franchira pas la développée, car dès que le point de contact de la droite mobile aura dépassé le point C, le point décrivant reviendra sur lui-mème, ‘en parcourant une ligne qui aura la figure COV. Et comme la courbe décrite est toujours perpendiculaire à la direction de la droite mobile, les deux branches CDE, COV, de la développante, seront perpendiculaires à la droite PM, qui touche ABCN en C, et par conséquent tangenies entre elles et normales à la développée.

* Le point C, suivant lequel deux branches d’une même courbe se réunissent ainsi, est ce qu'on nomme un point de rebroussement.

105. Puisque tous les points de la droite mobile RS s'appuient successi= vement sur ABCN , sans que cette droite éprouve de mouvement dans le sens de sa longueur , il s'ensuit nécessairement , que la partie BD de la droite RS, comprise entre la développante et la OR O ES est égale en longueur à l'arc BHGC. De même, les tangentes HL, GK, NO, YZ, etc. , sont égales aux arcs HGC, GC, CN, CNY, etc., qui leur re D |

Il suit de là que si un fil flexible et inextensible est enroulé sur la développée ABHGC, et qu’on vienne à le développer, à partir de l'extrémité C, ce fil prendra successivement les positions ABHGK, ABHL, ABD , etc. ; et en supposant qu'il ne glisse pas sur la développée, le point C décrira la branche CDE de la développante, comme un point d’une droite tournant autour d’un centre fixe décrit une circonférence.

Il est clair que l'extrémité C d’un autre fil, enveloppé sur l'arc CNYU, décrirait semblablement la branche COV.

C'est cette propriété qui a fait donner aux lignes, telles que ABCN et VOCDE, les noms de développées et de développantes.

104. Étant donnée la développée ABCN, et sachant mener des tangentes à cette courbe, il sera facile de construire les branches CDE, COV, de la développante VOCDE. Pour cela, on mènera par des points G, H, B, etc., peu éloignés les uns des autres, des tangentes GK, HL, BD, etc. ; on portera ensuite la longueur curviligne CG de G en K, la arr curviligne

-CGH de H en L, la longueur curviligne CGHB de B en D, et ainsi de suite : on joindra les points obtenus K, L, D, etc., par la ligne CKLD.... (*), et cette ligne sera l’une des branches de la développante cherchée. L'autre branche COZV, se construira par le même moyen ; et comme le choix du ‘point C est arbitraire, on pourra, avec la même développée ABCN, construire une infinité de développantes.

105. Étant donnée une courbe plane quelconque VOCDE, on peut aussi la considérer comme une développante, et construire sa développée ABCN. En effet, co#eevons qu’on mène par tous les points de la courbe VOCDE des normales à cette courbe ; chaque normale sera coupée , par la normale précédente, en un point , et par la normale suivante en un autre point ; ces deux points comprendront un élément infiniment petit de cette normale, et la suite des élémens semblables de toutes les normales formera une courbe continue ABCN, qui leur sera tangente à toutes, et qui sera le lieu de leurs intersections consécutives. Or, je dis que cette courbe sera la développée de VOCDE. Pour le prouver, soient Zy, zy, deux normales consécutives de VOCDE, y le point où elles se coupent, Y le point où la première est coupée par la normale précédente, et Y’ celui où la seconde est coupée par la normale suivante : les droites infiniment petites Yy, y Y, appartiendront à la courbe ABCN. Cela posé, imaginons qu’un fil enveloppe sur cette courbe vienne à se développer, il occupera, dans un certain instant de son mouvement, la position XZyY'U; l'instant d’après, il occupera la position xzy Y'U : mais les côtés Zy, zy, du triangle mixtiligne infinment étroit Zzy, dont les angles en Z et z sont droits, et dont l'angle en y est infiniment petit, sont égaux entre eux ; donc le point décrivant, qui dans le premier instant se trouvait en Z , sera en z dans le second, c’est-à-dire, que ce point n'aura pas quitté la ligne VOCDE. Et comme il en sera de même pour tous les autres instans , il en résulte que le point Z engendrera la développante VOCDE; d'où il suit que la courbe tangente à toutes les normales d’une autre courbe , est une développée dé cette dernière. :

D’après cela il ne s'agira , pour obtenir la développée d’une ligne donnée VOCDE, que de mener un nombre suffisant de normales à cette ligne ;

(*) Pour bien tracer la ligne CKLD, il faut beaucoup de soin et beaucoup d’habitude:

et ilest nécessaire que les points K, L, D, etc. soient assez rapprochés les uns des autres

- pour b'en accuser la forme de cette ligne. L'art de bien mettre au trait une ligne courbe est indispensable à tous ceux qui veulent appliquer la Géométrie descriptive (129).

Ph».

Fig, 4.

L'ig. 4.

et la.courbe ABCN, décrite de manière à les toucher toutes, sera cette développée (*).

106. Le cercle @ZE , qui a son centre Ÿ au point de contact de la normale Zy et de la développée, passe par les élémens infiniment petits WZ, Zz, de VOCDE; car le point Y est l’intersection des perpendiculaires élevées sur les milieux de WZ et de Zz, ou, autrement dit, il est l’intersection des normales consécutives qui rencontrent les élémens WZ et Zz: donc ce cercle est le cercle osculateur en Z.

Il suit de là que la développée de la ligne plane VOCDE est le lieu des centres de courbure de cette ligne (**).

11 est clair d'ailleurs que le cercle osculateur @Zz se trouve, par rapport aux élémens de contact WZ, Zz , d'un côté ® au dehors de la développante, et de l’autre côté Z au dedans.

107. Nous conclurons de ce qui précède que chaque courbe plane a dans son plan une développée et une infinité de développantes qu’on sait construire quand on sait mener des tangentes à la courbe donnée. De chaque développante obtenue, on peut déduire encore une infinité de développanies, et ainsi de suite; en sorte qu’une seule courbe conduit à une famille immense de développantes.

Nous verrons dans le Complément (782), en nous occupant des développées des courbes à double courbure , qu’une courbe quelconque a aussi une infinité de développées, qui Ai une fre aussi nombreuse que celle de ses développantes.

108. Mais il y a entre les développées et les développantes des différences à remarquer. Dans l'état actuel de la science, on ne sait pas déterminer, sans le secours de l’analyse, les points de contact des normales d’une courbe avec la développée de cette courbe (***). Il résulte de là, 1°. que la développante qu'on peut en déduire est connue par la détermination graphique d’autant de ses points qu’on en veut, tandis qu’ on n'obtient la développée que par, les tangentes de cette jé ce qui en rend le tracé fort difficile; 2°. qu’on ne peut pas construire Pare tr les normales

(*) ILest assez difficile de décrire exactement des lignes qui ne sont déterminées que par leurs tangentes; cependant cela est quelquefois indispensable dans la pratique.

(*) IL n’en serait pas ainsi dans le cas où la ligne donnée serait à double courbure (772).

C%*) On verra, dans le Complément (771), un moyen d'obtenir les points de contact des taagentes ZY, ON, etc. ; mais c’est seulement pour le cas où la courbe ABCN est menée.

de la développée, et, conséquemment, qu'on ne peut pas déduire d’une développée, sa propre développée, et la développée de sa développée, etc.

109. Lorsque la courbe plane donnée est une circonférence de cercle, les deux branches CDE, COV, de la développante, sont symétriques par rapport à la droite QC , menée par le point C et par le centre de cette circonférence ; chaque branche fait autour de ce centre une infinité de circonvolutions , dans lesquelles elle s'agrandit de plus en plus, et la développante prend le nom de spirale développante du cercle. Cest une courbe dont nous ferons fréquemment usage , et qu'il sera toujours facile de construire par le procédé du n° 104.

Passons maintenant à la théorie des hélices.

110. DES HÉLICES. Soit ABCDE une courbe quelconque tracée sur le plan horizontal. Prenons sur cette courbe une suite de points A, B, C, D. et imaginons par ces points des verticales (A, AA"), (B, KB’, (G, IC")... puis concevons qu’une certaine courbe coupe toutes ces verticales en de points (A, A”), (B, B), (C, C”)..., tels que les hauteurs de ces mêmes points au-dessus du plan horizontal soient dans un rapport constant avec les arcs AB, AC, AD..., rectifiés : cette courbe sera ce qu’on appelle une hélice. | Pour obtenir la projection verticale de cette hélice, voici les constructions qu'il faudra faire. On prendra sur un plan deux droites rectangulaires ad, dd', ayant entre elles le rapport constant des hauteurs aux arcs; on mènera la droite ad!, puis on rectifiera les arcs AB, AC, AD..., de a en b, de & en c; de a en d, etc.; on élevera ensuite les droites bb’, cc’, dd'..., perpendiculairement sur ad, et ces droites seront les hauteurs , au-dessus du plan horizontal , des points de l’hélice qui se projettent en A, B, C, etc. Donc, si l’on porte bb! de K en B’, cc’ de I en C’, dd’ de K en D}, et ainsi de suite, les points A’, B’, C', D'..., qu'on obtiendra, détermineront la projection verticale cherchée A'B'C'D'..

1117. Il résulte de ces constructions que si l’on découpe le triangle add’, et qu'on place la ligne dd’ sur (D , KD”), puis que l’on courbe le plan add’ de manière que les longueurs ab, bc, cd..., s'appliquent sur leurs égales AB, BC, CD..., les points a, D’, c'..., viendront s’abattre en (A, A’), (B, B'), (C, C”)..., et la ligne droite ad', ainsi courbée, coïncidera avec l'hélice (ABC. .., A'B'C'...), sans que la figure add! ait éprouvé ni déchirure ni duplicature, Il est évident que le seul changement que cette figure

Fig.

Fig, 5

aura subi, c'est qu'elle se sera divisée en trapezes infiniment. étroits b'bcc', c'edd'..., dont les plans auront tourné sur les arètes bb’, cc’, ddl.) sw: vant lesquelles ces trapèzes se joignent, de facon que la ligne abcde.. . prenne la courbure ABCDE... Or, il est clair que dans ce chum l'angle constant b'ab, que les élémens de ad! font avec ad, n'aura nullement varié; donc tous les élémens de la courbe (ABC. .., AB'C'.), font le même angle b'ab avec le plan horizontal. |

Cette propriété remarquable caractérise les hélices:, et Pa , Comme on va voir, à leur définition (*). En effet , imaginons qu'on divise une hélice (ABC..., A’B'C'...), en arcs infiniment petits, et que l’om forme sur chaque arc élémentaire un triangle rectangle dont un côté soit wertical et l'autre horizontal; 1l est clair que tous ces triangles seront égaux entre eux, comme étant formés avec des hypothénuses égales , semblablement inclinées sur le plan horizontal. Or, il suit de là que si, à partir d’un point quelconque (A, A!) de lhélice, on prend deux ares à volonté (AB, A'B"), (ABCD, A'B'C'D'), les projections horizontales AB, ABCD, de ces arcs , seront formées par autant de côtés horizontaux des triangles’ en question, que les hauteurs KB’, KD’, des extrémités (B, B'), (D, D'), de ces mêmes arcs au-dessus du point (A, A’), contiendront de: côtés verticaux des mêmes triangles. Donc les hauteurs KB', KD’, seront proportionnelles aux arcs AB, ABCD : ce qui est justement la définition dont nous sômmes partis (110).

112. Puisque tous les élémens de l’hélice (ABC. .., A’B'C'...), font le même angle b'ab avec le plan horizontal, il sera aisé d'obtenir la tangente en un point donné (D, D’) de cette hélice. Pour opérer dé la’ manière la plus simple, voici ce qu’il faudra faire. On mènera par le point D'de la projection horizontale de l’hélice, la droite DT tangente à cette projection, et cette droite sera nécessairement la projection horizontale de la tangénte cherchée (90); on prendra DT égale à l'arc DCBA rectifié; on constrüirala projection verticale T’ du point T; enfin, on mènera TD" , et la droïte (TD, T'D') sera tangente en (D, D à l'hélice FE nee de , :} En

(9 Ilest AE que celte propriété convient à la ligne droite aussi Than qu'aux) héliges c’est que la ligne droite est l’hélice qui cor respond au cas où Ja ligne ABCD est elle-même une ligne droïte. Malgré cela, on ne considère pasordinäirement une|ligne droite comme

appartenant à la famille des hélices, parce qu’on suppose toujours que la ligne ABCD... soit courbe.

effet, cette tangente doit être dans le plän projetant vertical qui a pour trace la tangente en D'à la courbe ABC..., et elle doit faire, avec le plan horizontal, un angle égal à l'angle b'ab : or, la première condition est évidemment satisfaite; et quand à la seconde, il est facile de voir qu’elle l’est aussi, car on a cette proportion : l'arc ABCD, égal à TD, est à la hauteur KD’ du point donné à du point (A, À ), comme ab est à bb/.

Ilrest clair que:si l’on voulait développer sur DT, au lieu de l'are DCBA,

“tout autre arc DCB commençant au point D, là tangente s'obtiendraïit par les mêmes constructions, moyennant qu'on substituät au plan horizontal

qui passe par le point (A, A”), celui qui contient le point (B, B'), cor-

respondant à l'extrémité B de l'arc DCB.

113. Maintenant que nous savons mener des tangentes aux hélices, nous allons démontrer que ces courbes sont des courbes à double courbure dans tous les cas où la ligne ABCD... n’est pas une digne droite. Pour cela, cherchons le lieu des points, tels que T, où les tangentes à l'hélice (ABC... A'B'C!...) percent le plan horizontal. On sait, par ce qui a été dit us haut, que le point T est sur la droite TD , tangente en D à ABCDE..., à une distance du point D égale à l'arc développé ABCD ; d’où l’on voit que lé lieu cherché’est la développante ARTS de ABCDE... Mais si l’hélice était une courbe plane, ses tangentes seraient toutes dans un même plan ; donc elles perceraient le plan horizontal suivant une droite : or, elles le percent suivant une Ro ER ESS donc l’hélice est une courbe à double courbure.

114. On donne à la courbe ABCD..., au moyen de laquelle une hélice est construite, le nom de base de l’hélice. Et lorsque cette base est un cercle, comme dans le cas de la figure, on appelle la courbe (ABC. .., A'B'C')..., hélice à base circulaire , la ligne verticale (0, A’X), axe de l'hélice , et la hauteur A'A"”, comprise entre deux intersections consécutives de la courbe avec une verticale (À, AA"), pas de l'hélice.

115. Nous ferons observer en passant qu'une hélice à base circulaire est entièrement déterminée quand on en connaît la base et le pas; car on sait alors que la projection AB d’un arc de cet hélice étant une certaine fraction de la base, cet arc s’élèvera, de l'extrémité (A, A°) à l'extrémité (B, B'), de la même fraction du pas. On déduit aussi de ces données l’inclinaison de l’hélice, c’est-à-dire l'angle de sa tangente avec le plan horizontal : en effet, si l’on décrit un triangle rectangle, en portant la circon-

Fig. 5

hly LIVRE I. PRÉLIMINAIRES.

férence de la base sur une horizontale, et le pas sur une verticale, l'hypoténuse de ce triangle aura l’inclinaison cherchée.

116. Ces considérations, en même temps qu’elles nous font connaître les hélices, nous font connaître encore une autre espèce de courbes : ce sont les projections verticales des hélices dont les bases sont des cercles. On désigne ces courbes sous le nom de sinusoïdes (*).

IL est évident qu'elles s'étendent à l'infini suivant l'axe A’X, et qu'elles le coupent en une infinité de points A’, E’, A", etc. Comme on sait mener une tangente T’D' en un point quelconque D’ d’une de ces courbes (112), il est aisé de voir que la courbure d’une sinusoïde change de sens aux points A’, E’, A”, etc., où elle coupe l'axe A’X. Ces points s'appellent, par cette raison, des points d'inflexion. Ils recoivent , dans le cas particulier des sinusoides , le nom de points de serpentement. :

117. Nous savons donc maintenant, au moyen de ce qui précède, et au moyen de la Note 1", construire des lignes d’une infinité d'espèces, savoir : des cercles, des ellipses, des hyperboles , des paraboles; des spirales développantes de cercles; des hélices à bases circulaires ; des sinusoïdes ; des développantes de cercles, d’ellipses, d’hyperboles et de paraboles; des développantes de ces développantes, et une infinité de développantes d’autres développantes ; ; enfin, toutes les hélices qui auraient pour bases des courbes des espèces ce ties

De plus, nous savons mener des tangentes à toutes ces lignes, lorsque le pot de contact de la tangente demandée nous est donné. Mais, comme il faut souvent mener des tangentes sans avoir leur point de contact, il est convenable que nous rangions parmi les questions que nous avons à résoudre sur les lignes courbes, plusieurs problèmes relatifs aux tangentes.