PROBLÈMES SUR LES TANGENTES et sur les lignes courbes

en général. On a besoin de déterminer les tangentes dans trois cas princi-

(*) Ce nom est tiré de leur équation, qu'il est facile d'obtenir. Prenons A'X pour axe des abscisses, et A'Y pour axe des ordonnées. Abaïssons B'P et Bp perpendiculairement sur A’X et sur AO; Bp sera ce qu’on nomme le sinus de l’arc AB, et nous aurons PB'— pB — sin arc AB ; et comme le rapport de l'arc AB à la hauteur KB’, égale à A'P, est constant (110), on aura, en appelant #2 ce rapport, arc AB—m X KB”. En désignant donc suivant Pusage A'P par x, et PB' par y, il viendra : PB°— sin mx, ou y = sin mx, qui est Péquation cherchée. Elle exprime , comme on voit, que lordonnée est le-sinus d'un multiple de Pabscisse,

paux, lorsque le point de contact est connu; lorsqu'on connait un point de la tangente, et enfin lorsqu'on connaît sa direction, c’est-à-dire une droite qui lui soit parallèle.

Le premier cas a été traité n° 94; ainsi, nous n'avons à nous occuper que des deux derniers. Avant d'aller plus loim, voyons sil est toujours possible de mener, par un point, ou parallèlement à une droite arbitrairement choisie, une tangente à une courbe donnée.

119. Pour cela, concevons dans l’espace une ligne courbe quelconque , et imaginons menées, indéfiniment en tous sens, toutes les tangentes de cette courbe ; il est évident que ces tangentes formeront une surface particulière, qui sera le lieu de tous les points des tangentes de la courbe en qüestion. Donc, pour qu’on puisse mener par un point donné une tangente à cette courbe, il faudra nécessairement que ce point soit dans la surface des tangentes ; et s’il s’agit de mener une tangente à la courbe, parallèlement à une droite donnée, il faudra que cette droïte ait une parallèle située sur la même surface des tangentes.

Si la courbe donnée était plane, par exemple, le lieu des tangentes serait le plan de la courbe , et pour qu'il y eùt une tangente qui passat par un point donné hors de la courbe, ou qui fût parallèle à une droite donnée, il faudrait que le point donné füt FER le plan de la courbe, ou que la droite

donnée füt parallèle à ce plan.

120. Il suit de là que s’il s’agit de mener par un point une tangente à une courbe, ce point ne pourra être donné que par une seule de ses projections, et 5 seconde projection s’ensuivra ; car si on se le donnait par ses deux projections, la tangente demandée n’existerait pas, à moïns que, par hasard, ce point ne se trouvât sur la surface des tangentes.

De même, si la tangente demandée devait être parallèle à une droite donnée , et qu'il n’existät pas entre cette droite et la courbe de relations particulières , d’après lesquelles la droite dût avoir une parallèle sur la surface des tangentes, on ne pourrait se donner que l’une des projections

dela droite » et l'autre s'ensuivrait.

Cela posé, passons à la rte des problèmes que nous avons annoncés au n° 117.

121. PROBLÈME 1. Mener une tangente à une ligne courbe (ACB, A’C'B”), par un point de l'espace dont la projection horizontale M soit connue. Puisqu'on sait mener des tangentes à la courbe (ACB, A'C'B') (94); lorsque