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Fig. r.

le point de contact de ces tangentes est donné , on ‘en saura mener dans le même cas aux projections ACB, A'C'P’, de cette courbe (90), ét lon pourra en déduire leurs normales (03). Or, il résulte de là un moyen facile de mener la tangente demandée. : | & | Prenons sur ACB ‘une suite de points a, a’, a"..., et menons par ces points les droites ab, a'b', a"b"..., normales'à ACB. Par le point M abaïssons sur ces normales les perpendiculaires Mb, Mb, Mb"..:, et décrivons le Tieu bb'D"L"... des points où se rencontrent chaque normale et la perpendiculaire correspondante. Ce lieu contiendra nécessairement le point de contact C de la tangente cherchée; car la normale suivant ce point, et la perpendiculaire abaïssée du point M sur cétte normale, ont pour intersec-

ion commune ce même point de contact : Idonc'il sera Pmtersection de la

projection ACB et de la courbe bD'B"b7. . Donc enfin, $i l'on mène par cette intérsection ét par le point M, la ligne droite MC; cette ER sera la projection horizontale de Ta tangente demandée.

Ayant trouvé la pr oj ection horizontale C du point de contact > Sa projection verticale C’ s’ensuivra; ét’en menarit la ldroite CM’, pet en C'à la courbe A!C'B’, on aura la tangente demandée (CM, CM).

Si l'on mène par le point M la droite MM” perpendiculaire à la ligne de terre, elle coupera CM’ en un point M’, qui sera la projection verticale du point donné. On voit par là que le point (M, M) était complètement déterminé par la seule projection M (:20).

122. PROBLÈME 2. Étant donnée une; courbe (ACB, AP), ec connaissant la projection horizontale PQ d'une ligne droite; .on demande de mener à la courbe. donnée une songe dont la PISIÉEROER horizontale soit parallèle a PQ.

Menons d’abord une ligne, droite tangente à la projection: Rois Et ACB et parallèle à FQ. Pour.cela, nous prendrons sur cette projection plusieurs points a, a!, d"...; par chacun d'eux nous mènerons les fangentes ab, æb', a". .. à la courbe ACB; nous porterons sur ces tangentes, à partir des-points de contact a, a!, a"..., et d'un même côté de ces points, une longueur arbitraire ab — a'b'= a"b" = etc. Par les points obtenus b, b!,b"..., nous mènerons les droites bd, b'd', bd”... , parallèles à PQ, et nous prendrons sur ces droites, du côté où Auelrtettes d’entre elles coupent la courbe ACB, les longueurs bd, b'd', b'd"..., égales à da. Enfin, par les points d, d', d'..., extrémités de ces longueurs, mous mè-

nerons la courbe auxiliaire. dd'd!... : cette courbe coupera évidemment la Pi. 8. projection ACB ; et je dis que le point d'intersection C, sera le point de 5? contact de laitangente cherchée CM. En.effet, la courbe auxiliaire dd'd”.. est le lieu d’une suite de points. d, d', d'..., qui forment avec leurs correspondans a et b, a’ et d', a".et b"..., une suite de triangles isoscèles abd, a'b!d', a"b'd"'.…..; or, celui de ces triangles qui répond à la tangente CM, a son angle en b nul ; donc, pour ce triangle, le point. d de la courbe dd'd"... coïncide avec le point de contact a: donc, etc.

Connaissant le pomt C, on en déduira la tangente CM, et l’on obtiendra la tangente demandée (CM, CM), en menant par la projection verticale C du point de la courbe donnée projeté horizontalement en G, la tangente CM (*). | |

193. PROBLÈME 3. Une courbe (ABC, A’B/C') étant donnée avec un fs 5 plan (DE, EF), on demande leurs points d'intersection.

Pour résoudre ce problème, nous concevrons par la projection horizontale ABC de la courbe donnée , une suite de verticales; elles formeront une des deux surfaces projetantes de la courbe donnée, et cette surface contiendra tous les points de cette courbe : donc elle contiendra les points cherchés. Mais le plan (DE, EF) contient aussi ces points; donc ils sont sur l'intersection de ce plan avec la surface en question : donc les points cherchés sont communs à cette intersection et à la courbe donnée. Or, il devient, d’après cela, aisé de les trouver.

Cherchons d’abord la courbe d’intersection du plan (DE, EF) avec les verticales qui ont leurs pieds sur ABC. Il est clair que cette courbe aura la ligne ABC pour projection horizontale : construisons donc sa projection verticale. Pour cela, nous ménerons une suite de plans verticaux , COMME (GK, KK’), dont les traces horizontales GK soient parallèles à DE; chacun d'eux coupera la surface qui est formée par les verticales dont les pieds sont sur ABC, suivant l’une (G, 2G”) de ces verticales, et lé plan (DE, EF), suivant ‘une horizontale (KG, K/G') facile à déterminer. Ces deux droites (G,8G) ; (KG, K’G), se rencontreront en un point (G, G’), qui sera l'intersection de la verticale (G, gG’) avec le plan (DE, EF); donc, si lon mène une courbe D'BL/, par les projections verticales de tous les points

rt

(*) Pour bien connaître la méthode qui vient de servir à la résolution des deux derniers problèmes, voyez la Note 3.

obtenus comme (G, G), cette courbe sera la projection verticale de l'intersection cherchée.

Nous connaissons donc maintenant deux lignes (ABC, A/B'C'), (ABC, D'B'L'), qui contiennent les points demandés; et comme elles ont même projection horizontale ABC, ces points seront nécessairement ceux qui auront pour projections verticales, les points d’intersection des deux projections A'B'C', D'B'L’.

Dans le cas de la figure, ces projections ne se coupent qu’en un seul point B', qui correspond au point B de la projection horizontale; donc le plan (DE, EF) n’est percé par la courbe (ABC, A'B'C”) que suivant le seul point (B, B').

124. Exécution de l'épure. La partie (ADB, A'B’) de la courbe donnée est évidemment vue sur les deux projections : ainsi les lignes ADB, A'B', doivent être plemes. La partie inférieure (BC, B'C') de la même courbe est sous le plan donné, si on la considère par rapport au plan horizontal, et derrière ce plan, si on la considère par rapport au plan vertical, les arcs BC et B'C' doivent en conséquence être ponctués (56). Quant à la courbe D'B'L/ et aux autres lignes de l’épure, ce sont des lignes de constr uction.

125. Scholie 1%. Les constructions au moyen desquelles le ne précédent vient d’être résolu , auraient pu être faites au moyen de la courbe ABC, comme elles l’ont été au moyen de la courbe A'B'C’. Alors la surface pro) cts employée, au lieu d’être formée par les verticales dont les pieds sont sur ABC, aurait été formée par: des horizontales perpendiculaires au plan vertical RAR les points de A’B'C’, et l’on aurait trouvé pour résultat le même point (B, B') obtenu par les premières constructions. On peut par conséquent user, dans la pratique, de deux moyens équivalens qui se servent mutuellement de vérification.

126. Scholie 2. Supposons que le plan donné soit l’un des plans de projection, le plan horizontal, par exemple. La surface projetante qui, dans la solution générale , coupe le plan donné suivant (ABC; D'B'L”), coupera le plan horizontal suivant la ligne (ABC, EC); la ligne D'B'L' sera conséquemment remplacée par EC’, et les opérations qui donnaient le point B’ donneront le point C’. En élevant donc par ce dernier point la droite CC’ à angle droit sur EC’, on obtiendra la trace POP SRE (C V3e de “ courbe donnée. C'est ce qu’on savait déjà (86).

127. Scholie 3. Supposons que le plan donné soit perpendiculaire à l’un des plans de

projection , par exemple, au plan horizontal; et soit (AB , AC) le plan donné, et (MNP, M'N'P°) la courbe donnée. La surface projetante verticale de cette courbe coupera le plan (AB, AC) suivant les verticales (M, MM”), (P, PP’), dont les pieds sont en M et P; ces verticales remplaceront la courbe auxiliaire ( ABC, D'B'L'") de la fig. 3 , et elles contiendront par conséquent les points cherchés; donc ces points se projetteront horizontalement en M et P. Quant à leurs projections verticales M'et P", elles s’ensuivent des projections horizontales , et d’ailleurs les lignes MM’et PP", qui remplacent la courbe D'B'L’ de la fig. 3, coupent la ligne M'N'P' suivant ces projections verticales.

Si le plan donné était perpendiculaire au plan vertical, les constructions seraient tout-àfait semblables. D'où lon voit que les intersections d’une courbe donnée, et d’un plan perpendiculaire à l’un des plans de projection, se déterminent avec une extrême facilité.

128. ProszèmE 4. Une courbe et un point "étant donnés ; on demande les plans nor maux à cette courbe menés par le point donné.

. Pour résoudre ce problème, imaginons qu’on prenne une suite de points sur la courbe donnée; que lon mène par ces points des tangentes à cette courbe; que l’on abaisse , par le point donné, des plans perpendiculaires à ces tangantes; que l’on détermine les points d’intersection de chaque tangente et du plan perpendiculaire correspondant ; el enfin que lon mène une ligne courbe auxiliaire par ces points. Cette ligne étant le fieu des points de l’espace où chaque tangente est coupée perpendiculairement par un plan passant par le point donné, elle contiendra évidemment les points de la courbe donnée suivant nes les plans demandés sont normaux à cette courbe ; donc ces points seront communs à la courbe auxiliaire et à la courbe donnée. Il est FAR d’après cela, qu'ils seront connus dès que la courbe auxiliaire sera décrite. Or, quand on connaîtra ces points, on mènera les tangentes correspondantes, on abaïssera ensuite par le point donné des plans perpendiculaires à ces tangentes, et ces plans seront les plans demandés.

Nous laissons au lecteur le soin de faire les constructions.

129. Il y aurait encore un grand nombre de problèmes à résoudre sur

les lignes considérées par rapport aux points, aux droïtes et aux plans; maïs il est temps de nous occuper des surfaces. Toutefois, nous ferons remarquer, avant de quitter ce chapitre, que les quatre problèmes précédens wexigent pas seulement que l’on trace les courbes qui servent à représenter les données; leurs solutions exigent encore que l’on sache mettre au trait, avec beaucoup d’exactitude, ‘une courbe auxiliaire déterminée par des points. Plus nous avancerons et plus nous reconnaîtrons que pour opérer Sur les grandeurs géométriques, il est nécessaire de savoir bien dessiner les lignes courbes. D'après cela; les commencans doivent, par l'exercice, se former Foeil et la main à ce genre de dessin (912—917). ;

Fig. 4.