CHAPITRE PREMIER

Du mode de représentation des surfaces courbes.

130. Les projections des lignes droites et les projections des lignes courbes, fournissent, comme on l’a vu dans les Préliminaires, des représentations rigoureuses de ces grandeurs. Ces représentations sont telles, que si l'on mène une droite perpendiculaire à la ligne de terre, cette droite coupe les deux projections d’une ligne droite, ou les deux projections d’une ligne courbe, en deux points, qui sont les deux projections d’un même point de la droite ou de la courbe représentée, et qui représentent ce point (16 et r9).

Il suit de là que, dans le mode de représentation des lignes droites et des lignes courbes, chaque point de ces lignes est réellement représenté.

Il ne peut pas en être ainsi pour les surfaces ; car il faudrait pour cela, non-seulement que les projections de chacun de leurs points fussent indiquées sur les plans de projection, mais encore que les deux projections d’un même point eussent des marques particulières qui indiquassent leur * dépendance. Or, l’usage que nous avons déjà fait de la méthode des projections montre suffisanfment qu'un semblable mode de représentation serait impraticable, et qu'il n'aurait aucune fécondité.

131. Aussi ayons-nous représenté le plan, qui est la plus simple des surfaces, au moyen de ses intersections avec les plans de projection, et non pas au moyen des projections de ses points. Il s’agit donc de trouver, pour les surfaces en général, un mode de représentation analogue à celui qu'on emploie pour représenter le plan. Cest à quoi vont nous conduire les considérations suivantes. = fi |

132. Concevons une ligne dans l’espace, et imaginons qu’elle prenne un mouvement quelconque ; il est clair que le lieu de ce mouvement sera ce qu'on appelle une ete Si la ligne en question est une droite, par exemple,

CHAP. I. DU MODE DE REPRÉSENTATION DES SURF... 5x,

et que le mouvement imprimé soit tel que la droite mobile suive une droite fixe en restant constamment parallèle à sa position (*) primitive, la surface produite sera un plan. Et si la ligne mobile est un cercle, et qu'il se meuve autour d’un de ses diamètres, la surface produite aura tous ses points à la même distance du centre de ce cercle, et sera ce qu’on appelle une sphere.

Lorsqu'une ligne en se mouvant décrit ainsi une surface, on dit qu’elle engendre cette surface. On donne à la ligne mobile le nom de génératrice, et l'on désigne, sous celui de génération , chaque manière particulière d'engendrer une surface par le mouvement d’une ligne.

155. Il est facile d'indiquer sur une surface connue plusieurs espèces de générations. Le plan, par exemple, peut être produit par une droite mobile sur deux autres droites menées par un même point, ou par une droite passant toujours par un point fixe et se mouvant sur une droite fixe, ou par une droite, mobile autour d’un point fixe, de manière qu’elle fasse constamment des angles égaux avec deux droites menées par ce point.

154. Dans chacune de ces générations, la ligne génératrice est constante de forme, puisque c’est toujours une ligne droïte; mais il arrive quelquefois qu'on engendre une surface par le moyen d’une ligne variable de figure en même temps qu’elle varie de position.

Imaginons dans l’espace un cercle vertical, et concevons qu’un cercle borizontal mobile ait successivement pour diamètre toutes Les cordes horizontales du cercle vertical ; on voit que le cercle mobile variera de rayon, etpar conséquent de figure, à mesure qu'il changera de hauteur, ét qu'il décrira dans son mouvement une surface sphérique.

135. Concevons maintenant une surface quelconque soumise à la loi de continuité (**), et coupons-la par un plan horizontal ; la section sera aussi

(*) Nous prendrons souvent une position d’une ligne mobile ou d’une surface mobile, pour cette ligne ou cette surface dans cette position : nous croyons que le discours en sera tout-à-la-fois plus-clair et plus concis.

(*) On dit qu’une surface ou qu’une ligne est soumise à la oi de continuité, lorsque tous les points de cette surface ou de cette ligne satisfont à une seule et même définition. Ainsiune sphère est une surface soumise à la loi de continuité, parce que tous ses points satisfont à la condition adéquate d’être à une distance donnée de son centre. Un arc de cercle est, par la même raison , uné courbe soumise à la loi de continuité. Mais une ligne qui serait formée de plusieurs ares , ne serait point soumise à cette loi, parce que la condition à laquelle satisferaient les points d’un are, ne serait pas identiquement la même que celle à laquelle satisferaient les points d’un autre arc.