CHAP. |. DU MODE DE REPRÉSENTATION DES SURF

se trouvera déterminée ‘par trois conditions ; 1°. que la génératrice soit un arc horizontal ; 2°. que le centre de ce cercle se trouve toujours sur la verticale D; 3°. que le rayon de ce même cercle soit toujours égal à la distance de son centre au point A. |

158. Dans la plupart des surfaces que l’on emploie'dans les arts, la génératrice:est constante de forme, et la loi de son mouvement est donnée par la condition qu’elle soit située d’une manière déterminée par rapport à des lignes, des surfaces, ou des plans connus, auxquels on donxe les noms de lignes directrices , surfaces directrices, et plans directeurs.

Le plus souvent la génératrice s'appuie sur des lignes directrices, comme lorsqu'on engendre un plan par une de ses traces en mouvement parallèle ment à elle-même le long de l’autre trace, ou une sphère par le mouvement d’un cercle autour d’un de ses diamètres.

Nous verrons des cas où la génératrice est une droïte, et où elle doit toucher constamment plusieurs lignes, ou les rencontrer sous des angles donnés, ou toucher plusieurs surfaces, ou être toujours parallèle à un plan, etc. La suite fera connaître, parmi ces différentes manières d’engendrer les surfaces , celles qui présentent quelque intérêt.

139. Ce qui précéde étant bien entendu, on sentira qu’une définition de surface ne peint d'ordinaire à l'esprit l’objet qu’elle définit , que lorsqu’elle énonce une génération de cette surface. LÉ

Pour développer cette vérité, soient À et B deux points fixes connus, et soit M un point mobile éloigné du point A de la distance variable #, et du point B de la distance variable 6. On peut dire que la surface qui est le lieu des positions du point M, telles que # égale constamment 6 est un plan; et que celle qui est le lieu des positions du point M, telles que la droite # soit constamment perpendiculaire à la droite 6 est une sphère. Mais ces définitions n’indiquent aucune génération, et ne donnent d’abord l'idée ni du plan ni de la sphère.

. Cependant, elles appartiennent bien à ces deux surfaces. En effet, concevons par les * deux points À et B un plan quelconque : toutes les positions du point M qui seront situées dans ce plan, et qui satisferont à la première définition, formeront une ligne droite perpendiculaire sur le milieu de AB ; et toutes celles qui satisferont à la seconde, formeront un cercle dont AB sera l’un des diamètres. D’après cela, les deux définitions précédentes équivalent à celles qui suivent : ‘

Le plan est le lieu d’une suite de droites perpendiculaires sur le milieu d’une droite AB. La sphère est le lieu d’üne suite de cercles, ayant une droite AB pour diamètre commun. Ou , ce qui revient au même, le plan est engendré par le mouvement d’une droite constamment perpendiculaire en un point d’une droite fixe, et la sphère est engendrée par un cercle en mouvement sur un de ses diamètres. Or, ces dernières définitions conviennent au plan et à la sphère , et les peignent à l’esprit.

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Maintenant que l’on doit avoir des idées claires dés générations des surfaces et de l'utilité de ces générations, passons à l'exposition du moyer qu'elles procurént pour représenter les surfaces. |

140. Supposons d’abord que le mouvement d’une détail) constante ou variable de fornie , soit donné par la condition qu'elle s'appuie sur une directrice connue, &n restant constamment placée sur cette directrice d’une mañière détérminéé, Comme si, par exemple, ces lignes devaient se couper à angle droit, et que la tangente à la génératrite au point d'intersection düt être parallèle à un plan donné. |

On commencera pat tracér lés projections de la directrice : à chaque point de cette courbe il correspondra une position de la génératrice; on réprésentéra autant dé ces positions que cela sera nécessaire , et l’on aura la représentation de la surface. | an We

Il ést aisé de voir qu'on pourra déduiré d’une telle représentation autant de points de la surface représentée qu'on en voudra, et que les projections des diversés positions de la génératrice auront des formes particu= lièrés qui accuseront la forme de cette surface, La suité nous montrera que ce mode de-représéntation se prête à toutes lés opérations possibles, et que chaque projection jouit de l’utile proprieté de faire image.

141. Si la loi du mouvement de la génératrice n’est pas donnée au moyen d'une directrice qu'elle doive rencontrer; avec le secours de cette loi, quelle qu elle soit, on représentera la génératrice, dans autant de ses positions qu'on en ten soit qu’elle soit constante He forme en variant de position, soit qu’elle soit à la fois variable de forme et de position : d'où l’on voit que le mode de représentation dont nous nous occupons s'applique à tous les Cas.

Montrons actuellement l'usage qu’on peut faire de ce mode. Nous serons conduits à des conséquences importantes , et, par suite, à quelques moyens de le rendre plus propre à son objet et à l'exécution de projections bien intelligibles.

142. Une surface étant représentée par le moyen que l’on vient d’indiquer, il sera toujours facile de construire son intersection avec un plan donné. En effet, ayant un nombre suflisant de positions de la génératrice, on cherchera les points d’intersection de, chacune de ces positions avec le plan donné, et ces points appartiendront à l'intersection de ce même plan avec la surface en question. En menant donc une première ligne courbe par toutes les projections verticales des points d’intersection obtenus ; ‘une se-