CHAP. I. DU MODE DE REPRÉSENTATION DES SURF

conde courbe par toutes leurs projections horizontales , on aura, avec toute l'exactitude que l’on pourra désirer, les deux projections de la ligne d’intersection cherchée.

143. Si le plan coupant était perpendiculaire à l'un des deux plans de projection , les constructions deviendraient extrèmement sumples. Supposons-le perpendiculaire au plan vertical, par exemple, et nommons T sa trace verticale. Tous les points qu'il contiendra se projetteront verticalement sur cette trace; donc elle sera la projection verticale de l'intersection cherchée. Désignons par À, B, C..., les projections horizontales des diverses positions de la génératrice , et par A’, B', C’..., les projections ver-

ticales correspondantes. Les courbes A’, B', C’... couperont la trace T en

une suite de points a', b!, c'..,, qui seront des projections verticales de points de cette intersection. Si donc on rapporte les points a/, D’, c'..., en projection horizontale en a, b, c..., sur les courbesrespectives A, B, C..., et qu’on mène la ligne abc. .., cette ligne sera la seconde projection de la courbe cherchée (abc..., a'b'e'...).

144. D’après cela, deux surfaces quelconques étant représentées sur les plans de projection , on pourra déterminer leur intersection commune. Pour cela, on mènera une série de plans auxiliaires quelconques, de plans horizontaux, par exemple ; chacun d’eux coupera l’une des surfaces données suivant une prenuère courbe, l’autre surface suivant une deuxième courbe ; on construira facilement ces courbes, et les points où elles se rencontreront appartiendront à l'intersection cherchée. Donc, si l’on décrit convenablement une première ligne qui contienne les projections horizontales de ces points, puis une seconde ligne qui contienne leurs projections verticales, ces deux lignes représenteront cette intersection.

145. Si l’on conçoit dans l'espace deux surfaces qui se coupent, si l’on concoit leur intersection commune, et si l’on cherche à se figurer leurs situations respectives auprès de cette intersection, on sera conduit à se demander les différens angles sous lesquels elles se coupent.

Or, de même qu'une ligne courbe quelconque peut être considérée comme un polygone dont lés côtés sont infiniment petits (89), on peut aussi considérer une surface courbe , comme un polyèdre composé d’une infinité de facettes infiniment petites , telles que l'angle que font entre elles deux facettes consécutives, diffère infiniment peu de-deux droits. Et si l’on imagine qu'une de ces facettes élémentaires soit prolongée indéfiniment dans tous les sens, il en résultera évidemment un plan qui touchera cette

surface suivant l’élément qui aura été prolongé; et ce plan sera ce qu'on appelle un plan tangent de la surface en question.

On donne à l'élément qui est commun au plan et à la surface , le nom de point de contact ou d’élément de eontact.

146. Cela posé, il est clair qu’on aura l’angle que font entre elles diet surfaces en un point de leur intersection, en construisant celui que font entre eux les deux plans tangens à ces surfaces en ce point. Ce moyen d'obtenir un tel angle ne peut faire connaître encore que bien imparfaitement l'utilité des plans tangens ; mais cette utilité sera suffisamment développée par la suite. Voyons maintenant comment se construisent ces plans.

147. Concevons par un point quelconque d’une surface, une infinité de courbes situées sur cette surface, et les tangentes à toutes ces courbes ; le plan tangent au point dont il s’agit sera le lieu de toutes ces tangentes. En effet, par cela seul que ces courbes passent par le point de contact du plan tangent, elles traversent la facette commune à ce plan et à la surface; elles ont, conséquemment , un élément rectiligne compris dans cette facette : mais la tangente à chaque courbe est cet élément rectiligne prolongé (80) ; donc cette tangente est dans le plan tangent, puisque ce plan n’est autre chose que la facette prolongée (145). Donc, etc.

148. Et comme deux droites suflisent pour déterminer un plan, ilne s'agira, pour avoir le plan tangent en un point d'une surface , que de mener par ce point deux tangentes à deux courbes connues sur la surface et passant par ce même point.

149. Il est clair que si les deux courbes avaient une même tangente, le plan tangent resterait indétérminé.

Et si ce point de contact était sur une ligne multiple , c 'est-à-dire suivani laquelle la surface se coupât elle-même, cette surface aurait en ce point plusieurs plans tangens, et deux tangentes à deux courbes menées par le point de contact, pourraient ne pas appartenir au même plan tangent ; elles détermineraient alors un plan coupant et non tangent (712 note.)

150. Toutefois, de ce qu'un plan coupe une surface , on ne peut pas conclure qu'il ne soit pas tangent à cette surface ; la suite nous en donnera de nombreux exemples (voyez les HOUR des n° 300 et 306). Sous ce rapport, une portion, de surface est ce qu’on appelle convexe lorsqu'elle n'est pas coupée par ses plans tangens; et on la nomme non-convexe quand au contraire ces pans la coupent et la touchent tout-à-la-fois.

La propriété qu'on vient de voir n° 147 est de la plus grande impor-