CITAP. I. DU MODE DE REPRÉSENTATION DES SURF

tance, parce qu'elle conduit (148), dans presque tous les cas usuels, à la construction du plan tangent.

151. Supposons , par exemple, qu'il s'agisse de mener par un point d'une sphère un plan tangent à cette sphère. On concevra qu’elle soit engendrée par un cercle mobile autour d'un de ses diamètres, et l’on remarquera que chacun des points de la génératrice décrit, dans le mouvement qui produit la sphère , un cercle perpendiculaire à la charnière. D’après cela on conçoit qu'il sera facile de mener par le point de contact donné, 1°. une poëition de la génératrice ; 2°. le cercle, perpendiculaire à la charniére, correspondant au point de contact. On aura donc deux lignes qui se croiseront en ce point; on leur menera des tangentes par ce même point, et le plan tangent cherché sera déterminé. |

152. Les plans tangens offrent un moyen graphique de mener des tangentes aux lignes d’intersection des surfaces; car un point de l'intersection de deux surfaces étant sur un élément rectiligne de cette intersection, et cet élément étant lui-même l'intersection des deux facettes correspondantes de ces surfaces , l'élément rectiligne prolongé est l'intersection des facettes prolongées ; c’est-à-dire que la tangente en un point de l'intersection de deux surfaces est la ligne droite suivant laquelle se coupent les plans tangens à ces surfaces en Ce point. |

153. Parnui les intersections de surfaces, il y a une classe de Ltée dont on fait un grand usage dans la Géométrie descriptive : ce sont leurs intersections avec les plans de projection. On donne le nom de traces à ces intersections. Ces traces n'étant autre chose que la suite des points où les diverses positions de la génératrice percent les plans de projection, elles s’obtiennent avec une grande facilité (126). Et comme c’est à ces plans que lon rapporte les positions de toutes les grandeurs, les traces, en général, aident puissamment à se bien figurer la situation d’une surface représentée.

Cette fonction les rend très utiles, aussi les indique-t-on toujours sur une représentation soignée, On verra qu'il y a des cas simples où elles pourraient suflire seules pour représenter une surface, et pour qu’on püt faire sur cette surface toutes les opérations possibles (210 et 606).

154. Les contours qui enferment les projections des points d’une surface jouissent, encore plus pleinement que les traces , de la propriété de suflire quelquefois seuls à la représentation de cette surface; ce sont des espèces de profils qui dessinent les formes représentées , et qui, jusqu'a un certain point, en donnent le sentiment (204). |

Puisque ces contours enferment sur, chaque plan de projection espace où se projettent les points d’une surface, il est facile en général derles dé= terminer; en effet, ayant représenté la génératrice dans un.nombreisuffisant de ses positions, les ones. telles que nn'n"n"", qui toucheront et enfermeront les projections np, m'n'p', m'n"p"...,correspondantés à ces positions, seront les contours cherchés. Nous verrons dans la suite (387) un ‘autre moyen de-les déterminer. A

Ces contours sont quelquefois des lignes droites, et, pour L'éwdibairo: ils s’obtiennent alors fort aisément. o

155. Lorsque la génératrice d'une surface est composée. de; branches séparées, comme celles d’une hyrperbole,, par exemple, sa surface est souvent formée de parties distinctes, ou même isolées, qu'on: nomme: nappes (228 note, et 897), et il en résulte naturellement qu il ya: pour chaque nappe un contour particulier; mais cette circonstance, comme on Fap-

prendra par la suite, ne change rien à la manière de construire les contours. | |

156. Nous conclurons de tout ce qui précède, qu’en: 1 général pour représenter une surface , 1l faut,

Premmèrement, construire les projections d'un nombre suffisant de posttions de sa génératrice. 53 f

Secondement, construire les traces de cette surface, c’est-à-dire, la série des points où les diverses positions de la génératrice percent les plans de projection.

Troisièmement, constraire sur chaque plan de projection le contour qui enferme l’espace où se projettent les points de la surface, ouÿ ce qui revient au même, la ligne nn'n'n!", qui enveloppe sur ce plan toutes lés positions possibles map, m'n'p, m'n'p"..., de la génératrice (154). |

On ajoute ordinairement à l'effet de la représentation, en indiquant les lignes multiples (149), les arétes de rebroussement (25 1), et généralement les points et les lignes qui jouissent de propriétés remarquables sur les surfaces, et que, par cette, raison, on: appelle leurs points singuliers et > leurs

lignes sin gulières. |

"Mais a beaucoup de cas, on:se borne à construire. les contours des, pro-

jections , ou'bren les contours ,:les traces et les positions les pres Si tantes:de la génératrice.

157. Ce qui donne au mode de PR dont nous nous occupons un de ses principaux avantages, celui dé rendre les projections propres à

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faire image , c’est la manière de mettre au trait les lignes des épures. Elle découle des principes que nous avonsexposés dansles Préliminaires (50—56), mais elle exige ici quelques developpemens qui vont nous conduire à des règles générales,

Lorsqu'une surface fait partie des données ou des résultats d’une épure , ou lorsqu'elle en est l’objet le plus marquant, on doit la considérer comme existantréellement dans l’espace (56); or, d’après cela, les diverses parties de cette surface deviennent susceptibles de se cacher les unes les autres, et les lignes qui servent à la représenter, et qui doivent être pleines ou ponctuées selon qu’elles sont vues ou cachées , se trouvent, quant à leur mise au trait, tout-à-fait subordonnées à la manière dont la surface est vue, c'est-a-dire, à son effet sur l'œil, en sorte que cet effet est souvent rendu par l'exécution des lignes des épures.

158. Il suit de là que la détermination des parties vues et cachées d’une surface est un problème important de la Géométrie descriptive. Pour indiquer le moyen de le résoudre, soit MNP un plan quelconque de projection, SmnpqR une surface quelconque située au-dessus de ce plan, et m'n'p'q! le contour de la projection de cette surface. Il est clair qu'il y'aura sur SnrpqR, une ligne mnpq, dont la-projection sera le contour donné m'n'p'q'; or, cette ligne partagera évidemment la surface en deux parties, lune Smnpq, vue, parce qu’elle sera située à l’opposé du plan de projection par rapport à mnpq ; l'autre FRAME cachée, parce qu'elle sera du côté du plan de projection par rapport à la même ligne mnpq.

Ce qui précède s'applique aussi bien à toute portion de surface qui serait située au-dessus du plan MNP, qu’à la surface SmnpqR ; ainsi nous en conclurons que lorsqu'une portion de surface est seule dans l’espace, ou, ce qui revient au même, lorsqu'elle ne peut être cachée par aucune autre portion de surface, elle se trouve divisée par la ligne mnpq, qui a pour projection le contour m’'n'p'q" de la projection de cette surface, en deux parties, lune vue, parce qu’elle est à l'opposé du plan de projection MNP ; l’autre cachée, parce qu’elle est située vers ce plan.

159. On remarquera aussi, qu’en supposant toujours que la portion de surface dont il s’agit soit au-dessus du plan de projection, et soit seule dans l’espace, ou quete ne puis être cachée par aucune autre portion de surface, le contour m/n!p'q' est entièrement vu. Nous ferons par la suite un fréquent usage de cette conséquence et de la précédente.

160. Maintenant, nous allons passer à l'examen et à la représentation

FR

6o LIVRE II. SURFACES COURBES.

des diverses surfaces qui, par leurs propriétés particulières, par la simplicité de leurs générations , ou par l’usage qu'on en fait dans les arts, offrent de l'intérêt. ,

Les trois chapitres ci-après vont être consacrés à cet objet. Les surfaces y seront classées par familles, genres, espèces et variétés. Nous rangerons dans une même famille toutes celles qui seront soumises au même mode de génération , et nous diviserons les familles en genres, en espèces et en variétés , selon les diverses particularités qui pourront modifier ce mode.

Dans les livres suivans, nous construirons les intersections de surfaces, les plans tangens, et les tangentes aux intersections de surfaces, d’après la théorie générale exposée plus haut. Il était nécessaire qu’elle fût un peu connue pour passer à l'examen et à la représentation des surfaces qui vont nous occuper.

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