CHAPITRE IL

Des surfaces cylindriques, coniques, et de révolution.

161. Lrs trois corps ronds, dont on s'occupe dans les élémens de Géométrie, ont pour surfaces, ainsi qu'on va le voir, des espèces particulières de surfaces cylindriques, coniques, et de révolution ; ce qu’on a appris des trois corps ronds facilitera par conséquent l'intelligence de ce que nous allons dire.

162. DES SURFACES CYLINDRIQUES. On appelle surfaces cylindriques , ou simplement cylindres , les surfaces qui sont engendrées par le mouvement d’une droite qui suit une courbe donnée, et qui, dans toutes ses positions, est parallèle à une même droite.

La droite mobile est la Bénératrises la courbe qu’elle suit est la directrice, et les positions qu'occupe la génératrice sont ce qu'on appelle les élémens du cylindre.

Le nom de surface cylindrique et celui de cylindre s ARE inf remment ; cependant , la dénomination de cylindre se donne plus particulièrement quand on suppose la surface limitée et qu’on la considère sous

le rapport de son étendue ou sous celui du volume qu'elle renferme, et celle de surface cylindrique , quand on conçoit la surface indéfiniment prolongée et qu'on la considère sous le rapport de sa génération.

Lorsqu'on emploie le nom de cylindre on substitue ordinairement au nom de directrice celui de base du cylindre.

163. Cela posé, prenons pour directrice d’une surface cylindrique , la courbe qui se projette horizontalement suivant l'arc de cercle rstu, et PI 10. verticalement, suivant le cercle r's'£'wv'x". Prenons” pour génératrice la al droite (xX, x'X'), et proposons-nous de représenter cette surface. Pour cela, nous menerons par une suite de points (r, r'), (s, s"), (£, t), etc., de la directrice (rstu, r's't'u'v'x"), les droites (rR, r'R’), (sS, s'S"), (CT, t'T'), etc., parallèles à (aX, x'X’); ces droites seront des élémens de la surface dont il s'agit, c’est-à-dire des positions de la génératrice, et ils serviront à indiquer la forme et la direction de cette surface.

164. Connaissant ces élémens, on construira les points (R, R'), (S, S”), (T, T'), etc., où ils percent le plan horizontal ; par ces points on menera la ligne RSTUVX, et cette ligne sera évidemment la trace du cylindre donné. Cette trace aidera non seulement à dessiner le cylindre , mais comme elle sera elle-même sa propre représentation, et qu'en conséquence il sera plus facile de se la figurer que toute autre ligne de ce cylindre, elle offrira généralement cet ävantage, qu’en la prenant pour directrice, on aura la génération la plus propre à donner l’idée du cylindre.

Il serait aisé de construire au moyen des élémens (rR, r'R"), 6, s'S'), (ET, £'T”), etc. , la trace verticale du cylindre donné; mais comme elleest sur la partie inférieure du plan vertical, il en résulte qu’elle n’est pas vue, et qu'elle compliquerait assez inutilement la représentation.

On voit, planche 16, un cylindre dont les traces, horizontale et verticale, sont entièrement situées sur les parties antérieure et supérieure des plans de projection. Elles contribuent beaucoup dans ce cas à dessiner le cylindre, et elles doivent par conséquent faire partie de sa représentation.

165. Cherchons maintenant les contours de la surface donnée. Pour cela, menons au cercle r's't'u'v"x", les tangentes rr', uw’, perpendiculaires à la ligne de térre; elles FPE APR sur la ae donnée les points (r, 7”), (u, u'). Par les projections horizontales r et w de ces points, imaginons les droites rR, uU, parallèles à xX; je dis que ces droites composeront en-projection horizontale le contour du cylindre donné. En effet, elles comprennent la projection horizontale rstu de la directrice ; or, il n’y

PL

Fig. 1

69 LIVRE ff. SURFACES COURBES.

a pas de point de rstw, par lequel on ne-puisse mener la projection horizontale vV d’un élément indéfini du cylindre; done il n’y a pas de point compris entre, les droites rR' et U, qui ne soit la projection horizontale d'un point du cylindre en question (*). De plus, ilest clair que ce cylindre n'a pas de points au dehors des plans verticaux qui passent parles droites TR, a ; donc ces droites forment sur le plan horizontal le contour demandeé,

Pour avoir le contour analogue sur le plan vertical, on remarquera qu'il n’y a pas de point de la ligne r's't'u'v'æ', par lequel on°ne puisée mener la projection verticale d’un élément du cylindre, et l’on: en conclura que les droites s'S', #'V', qui sont parallèles à æ'X’, et qui comprennent la courbe r's't'u'#x!, enferment les projections verticales de tous les ponts de ce cylindre, et sont par conséquent le contour demandé.

Ces contours rR, 4U , s'$", v'V’, étant les projections d’élémens (R, rR 1 (aU , u'U; (58, s'S, (eV, UV 7), qui ont, par rapport aux plans de projection, une position remarquable, il convient de préférer ces élémens à tous les autres, quand il s’agit de représenter une surface cylindrique. -

166. On doit conclure de ce qui précède que pour représenter une surface cylindrique, il faut, premièrement, représenter la directrice et un nombre suffisant de positions de la génératrice; secondement, construire ses traces sur les parties antérieure du plan horizontal et supérieure du plan vertical; troisièmement enfin, représenter les élémens qui, en projection horizontale ou en projection verticale, forment les contours des projections de cette surface. 019 x CE AR

167. Comme un cylindre:est déterminé par sa directrice et sa a génératrice, nous le désignerons ordinairement par les noms de cés deux lignes, nn dans une accolade. Ainsi, lasurface cylindrique {{rstu,r's't'ulv"x"), (xX , x'X')} sera celle dont nous nous sommes occupés.

Lorsqu'un cylindre aura pour génératrice une droite perpendiculaire à l'un des plans de projection, il ne rencontrera qu'un de ces plans, et nous nous contenterons , pour le désigner, de nommer sa trace sur ce plan.

168. Il est clair que les surfaces projetantes d’une ligne courbe quelconque (rstu, r's't'u'v'x"), sont des surfacesslindriques, dont les génératrices sont respectivement perpendiculaires aux deux plans de a den à ‘D'après’ cela,

(*) On pourrait dire de deux points, car toute verticale qui a son pied entre R E: uU, rencontre évidemment le cylindre en deux points. !