CHAP. {14 DES) SURFACES CYLINDRIQU ES

on-dirà, ien.se :éonformant à la notation que l'on vient Depot que la PL 0,

courbe(rstuyrts t'u'v'at), est l'intersection des deux cylindresrstu} r's'é'u's'x", 169. Les cylindres, comme le dernier que nous yenons de:mommer dont les bases sont des cerclés;:s ‘appellent cylindresoa bases! DE

Lorsque la base est une elkpse; ;ume hyperbole où uné'parabole., te cylindre

prendrle nom de cylindre à à base elliptique ; “hyperbolique ou parabolique. :€és: différentes! espèces de: guerre HR ee DE la: dénomination générique de eylindres du Second degré (fs soi août oc ju RON ETER . On verra ‘plus loin: (666) que les cylindres: à bases chipique sont tous pds cflindresf x bases circulaires: ADasi : He | jo, oNous:réservons pour un autre: endroit. (208)! CE qu on RHONE sd dire ici des cylindres droits, qui sont une variété de éylindréssà bases elliptiques. ‘1170.E xécution de) ee ig': ve, AE: 10: Commeñçons pare €e Li ést relatif au plan home | D'après ce qu'on à vu: or 50), +4 Lis 1 uU ; qui fossile contour.de:la projection horizontale du cylindre; devront être vues, tant qu'elles:seront: situées au-dessus: du plan horizontal: or, les tracés horizontales de ces droites sont les pointsi(R , R°), (U , U'); donc les projections 1R, uU }:des mêmes droites, doivént être marquées-pleines j jus-

qu'aux points R et 1e Si on Les Sete au- “del, “elles detwaient: être ponctuées.

191. La ob horizontale rstu dela directrice, comprise entre les:

contours vus/rR, uÜ, est aussi nécessairement vue. Eu effet, châquérpoint derstw, est lx projection de deux points de cetté directrice, Pun (4, 4) situé sur l'arc supérieur (rséu, r'st'u), Vautre(r, 1) Situé sur l'arc inférieur

(rs, r'xv'u);°or , de ces deux. points, celui (#, #) qui appartient à Farc

RE est, par ARR à au plan horizontal, ‘sur le dessus dé Ja surface ;

e). Ce nom appartient à l'Analyse appliquée plutét qu'à la Géométrie; il vient de ce que Péquation de ces cylindres est du second degré. Les équations de Vellipse, de lhyperbole et de la parabole, étant aussi du second degré, on A BRHEUS ces lignes des courbes di second degré} }9 20419 D | |

En général, le say de Pate due Durhe ou! FU MA est le même.que le nombre de points;suivant lesquels, cette coûrbe on-cette surface peut être rencontrée-par une. droite. La ligne droite est par conséquent layseule igre, et le plan la seule surface , qui soient du premier degré. |

Les dénominations de lignes'et Surfaces du premier mi ‘du scéond degré CUSRRIS : à célles de lignes et surfaces du prerhier ét du second otre.

Lg.

donc 1l est-vu en projection horizontale ‘donc il n’y'a pas de point de rstu qui ne soit la projection d’un point ‘vu de la directrice. La Fe rstu doit: en conséquence être pleine (56). | Puisque chaque point £de rstu correspond à deux points(s, 2 G, &”) de’ la directrice,,le plus élevé (f, #”) cache évidemment l’autre ; d’où 1l suit quel tous les élémens qui passent par des points de l’are (rstu, r's't'u)} sontiwus| en projection horizontale; ét.que tous ceux quipassent par des’ points de l'arc (rstu, r'x'v'u"), ne le sont pas. Donc les élémens (sS;'s"S)),; (T,\"T!), quipasb sent par les points (s, s"),(é} #’), de la directrice, ont leurs projéctions:sS, #T, vues, et par conséquent pleines; tandis que ceux (eV, #'V'), (xX, æ'X')yqui passent: par les points {u, #7), (æ,) x°),: dela même directrice ; ont leurs po jections#V,, xX; cachées, et par conséquent ponctuées: enba | 172 1l suit de là que depuis l'élément (rR, r‘R’), qui passe par le dat (r, r°), jusqu'a l'élément (4U, w’U”), qui passe par le point (&;, uw), tous les élémens de la partie supérieure du cylindre sontvuss-et, qu'entre lesmêmes élémens, ceux de la partie inférieure ne sont pas vus: Ce résultat était déjà connu, car'les élémens (rR, r'&), (4U, w'U'), ayant pour projections les: contours rR, uU, du cylindre ,,ces élémens partagent ce cylindre en deux portions; ; l’une supérieure ; dont tous les! ékémens sont vus. ÿ l'autre inférieure, dont les élémens'sont cachés (158): es Toutefois, comme les élémens vus ne sont pas entièrement au-dessus du plan horizontal, il est clair qu'ils cessent d'être vus à l'endroit où ils traversent la trace RSTU, et qu’au-delà de cette trace ils doivent étre ponctués., 175. Quant. à da trace RSTUVX,, il est évident qu'elle se compose de deux parties ; l'une RXVU, suivant laquelle les élémens cachés du cylindre. percent le plan horizontal; l’autre RSTU, suivant laquelle le.:même plan est percé par les élémens vus! Or, il est évident que les élémens cachés percent le plan horizontal suivant les points d’une trace cachée, et que les élémens vus le percent suivant les points d’une trace vue; donc, l'arc RSTU doit être marqué par une ligne pleine, et l'arc UVXR par une ligne sb 19

ponctuée. à

174. Passons maintenant à la détermination os lignes pleines et ponctuées dela projection verticale. L'obr à489b 9! Lis 5080248

On remarquera d’abord, que toute la partie du cylindre située au-déssus du plan horizontal est en avant du plan vértical, et que les contours s'$7, #V', de cette partie de cylindre, sont par conséquent vus ( 159). ct

On remarquera ensuite que, les élémens (sS,.5'8), (eV, 8! V), étant ceux

qui ont pour projections verticales les contours s'S', #'V’, ces élémens divisent la surface cylindrique en deux parties, l’une vue, l’autre cachée (158); que la partie vue est nécessairement la partie antérieure correspondante à la portion (srxv, s'r'x'v") de la directrice, et que la partie cachée est celle qui correspond à la portion (stuy, s't'u'w’) de la même directrice.

Cela posé, si l’on fait attention que les élémens (7R, r'R"), (xX, x'X), passent par les points (r, r”), (x, x")de l'arc (srxv, s'r'x’") de la directrice, on verra qu'ils sont sur la partie antérieure de la surface cylindrique, et l’on en conclura que leurs projections verticales r'R', x’X', doivent être pleines. Les élémens (4T, # T”), (aU, w'U”), au contraire, sont sur la partie postérieure ; car ils passent par dés points (4, 4"), (w, u'), de l'arc (stuv, s't'u'v"); donc ils ne sont pas vus : donc leurs projections £'T’, æ#’U”, doivent être ponctuées.

Enfin, la projection r's't'u'v'x", de la directrice, sera composée de deux arcs; l’un s’r'x'v", correspondant à la partie antérieure du cylindre, sera vu et marqué par une ligne pleine ; l'autre s't'u'v!, correspondant à la partie postérieure, sera caché, et devra par conséquent être ponctué.

175. Il serait assez éonvenalile de représenter la surface donnée en la supposant prolongée indéfiniment, et pour cela, ilne s'agirait que de marquer en points, lesprolongemens des élémens indiqués, les prolongemens des contours rR,uU, s'S’, v'V', et la trace verticale du cylindre; mais, comme les parties d’une surface, sur lesquelles on a besoin d'opérer, sont pour l'ordinaire situées dans l'angle antérieur et supérieur des deux plans de projection, il arrive presque toujours que, pour simplifier les épures, on ne s'occupe que de ces parties, C’est selon cet usage que l’épure est construite,

Passons à l'examen d’une autre famille de surfaces,

176. DES SURFACES CONIQUES. Les surfaces coniques sont celles qui sont engendrées par une droite mobile, assujettie à passer constamment par un point fixe, et à suivre dans son mouvement une courbe donnée.

D'après cela, une ligne (rstuvæ, s'v') et un point (A, A’) étant connus; :

si l'on imagine, par chaque point\de la courbe , une droite indéfinie qui passe par le point (A, A”), l’ensemble de ces droites formera une surface conique.

177. Pour représenter une telle surface % prendra sur la directrice (rstuvæ , sv’), une suite de points (r, 7’), (s, s”); (£, #!), etc.; par ces points, et par Je point (A, A”), on mènera les droites (Ar, Ar), (As, A's”, (At, A'#'), etc. ; chacune de ces droites sera une position de la génératrice,

PI, to.

Fig. 1.

ou ce que l'on appelle un élément de la surface conique, et les divers élémens représentés indiqueront la forme et la position de cette surface.

178. Ces élémens (Ar, A/r'), (As, A's'), (At, A), etc., perceront le plan horizontal suivant les points R, S, T, etc. ; on construira ces points, et ils serviront à décrire l'intersection RSTUVX, du plan horizontal et de la surface donnée.

Lorsque cette intersection se trouvera, comme dans le cas de la figure, sur la partie antérieure du plan horizontal, elle aidera sensiblemennt à accuser la forme et la position de la surface, et par cette raison elle devra toujours, dans ce cas, être marquée sur la représentation.

La trace verticale s’obtiendra comme la trace horizontale; elle sera en général de la même utilité que cette dernière, et l'on devra l'indiquer sur l'épure , toutes les fois qu’elle se trouvera située sur la partie supémenre du plan vertical.

179. Enfin, pour que la représentation d'une | surface conique fasse image, il faudra mener les élémens (Ar, A’r'), (Au, Au), dont les projections horizontales Ar, Au, comprennent la directrice; et ceux (As, As’), (Av, Av), dont les a djections verticales A’s’ et Av’ , comprennent la projection verticale sx! de la même directrice. Ces dent , comme on le voit à l'inspection de la figure, servent à dessiner les projections de la surface conique; il convient par conséquent de les marquer avec soin.

180. Les surfaces dont nous nous occupons présentent une particularité remarquable : c'est qu’elles sont composées de deux parties distinctes, que sépare le point fixe par lequel passe constamment la droite qui les engendre. On donne le nom de nappe (155) à chacune de ces parties ; et l'on appelle centre le point qui sépare les deux nappes.

181. Une surface conique prend souvent le nom de cône, surtout lorsqu’on la considère comme limitée, et qu'on a égard au volume qu’elle renferme : ordinairement on désigne alors la directrice par le nom de base, et le centre par le nom de sommet.

182. Nous indiquerons toujours une surface conique au moyen des noms de sa directrice et de son centre , écrits entre les branches d’une accolade ; ainsi, par exemple, s’il s’agit 1 celle que représente la figure 7 nous l'appellerons la surface COQUE. { (A, A, (rstuvx, sw)}.

183. La directrice (rstuvx, s'v'), d'un cône, ayant une position déterminée, si l’on conçoit que le sommet (A, A), qui est le point de concours des élémens du cône, s'éloigne à l'infini ; il est clair qu'a mesure que l’éloi-

gnement augmentera , les élémens approcheront de plus en plus d’être parallèles, et que, lorsqu'ils concourront à l'infini, ils formeront une surface cylindrique.

Il suit de là que la famille de surfaces cylindriques est comprise dans celle des surfaces coniques, et que les cylindres à bases circulaires, à bases elhptiques, à bases hyperboliques, etc., ne sont autre chose que des variétés d'espèces de cônes, qui ont pour bases des cercles, des ellipses, des hyperboles, etc. -

184. Ces deux familles de surfaces ont entre elles la plus grande analogie, eton leurapplique la même nomenclature. Aïnsi, les cônes qui ont des cercles pour bases, s'appellent cônes à bases circulaires ; ceux qui ont pour bases des sections coniques, s'appellent cônes du second degré (169 DE et ces derniers se divisent en cônes elliptiques , cônes hyperboliques et cônes paraboliques , selon qu’on les considère comme ayant des ellipses, des hyperboles ou des paraboles pour bases (*).

185. On doit conclure de ce qui a été dit plus haut que, pour représenter un cône quelconque, 1l faut premièrement, représenter sa directrice ; -secondement , son sommet; troisièmement, un nombre suffisant de positions de sa génératrice; quatrièmement, les traces de ce cône sur les parties antérieure du plan horizontal et supérieure du plan vertical; cinquiemement enfin, les élémens qui, en projection horizontale ou en projechon verticale, forment les contours des projections du cône.

Mais pour que la représentation d’une surface conique fasse tout l'effet dontvelle est susceptible, il faut encore que les règles convenues sur l’execution des lignes (56) soient parfaitement observées. Pour éclaircir cet objet, nous allons déterminer les parties vues et cachées de la directrice ; nous nous ,occuperons ensuite successivement des parties vues et cachées des contours, des élémens et des traces.

186. Exécution de la fig. 2, pl. 10. La directrice (rstuvx, sv"), est com- P

posée de deux arcs, l’un (srxv, s'v'), antérieur par rapport au plan vertical; l’autre (stwv, s'v'), postérieur par rapport au même plan. Or, de ces deux arcs, le premier (srxv, sv’), a sa projection verticale sv" vue; car il n’y a rien, en-decà des points qui le forment, qui puisse cacher ces points : la ligne ss’ est en conséquence pleine.

Le second arc (stuv , ss’) est caché par le premier; il devrait par cette

. (°) On démontrera (605) que tous ces cônes sont des cônes à bases circulaires.

Fig. 2.

68 LIVRE Il. SURFACES COURBES.

raison avoir sa projection s'y ponctuée : mais comme cette projection est la même que celle de l'arc (srxv, sv), et que des points ne peuvent pas paraître sur un trait plein, on se trouve dans l'impossibilité. d'exprimer sur l’épure que l'arc (stuv, sv’) n’est pas vu en projection verticale.

Par rapport au plan horizontal, les contours rR, 4U, divisent la directrice en deux arcs, l’un (rstu, r's't'u'), qui est évidemment vu, comme étant sur le dessus du cône; l’autre (wvxr, u'v'x'r'), nécessairement caché, comme étant sur le dessous. Donc l'arc rstu doit être indiqué par unttrait plein, et l'arc wyxær par un trait ponctué,

187. Quant aux contours AR, AU, A’V', AS’, ils sont les Mn ne des élémens (AR, A’R’), (AU, / U”), (AV, A'V', (AS, A'S'), etils doivent être pleins, dans la figure prise pour exemple, à partir des points (R, R'), (U, U’), (V, V5, (8, S”), où ces sectes passent au-dessous du plan horizontal.

188. D’après ce qu’on a vu précédemment (158), ces mêmes élémens (AR, AR), (AU, A'U”), (AV, AV), (AS, AS"), divisent le cône en parties vues et en parties cachées. Ne considérons d’abord , sur la surface conique, que la nappe qui contient la directrice; on pourra aisément se convaincre, 1°. qu'en projection horizontale, la portion de surface qui correspond à l'arc vu (rstu, r's'l'u") de la directrice, est vue, et que par conséquent les projections horizontales AS, AT, des élémens (AS, AS, (AT, A'T"), qui passent par des points (s, s'), (4, #), de (rstu, r's't'u), sont: vues; 2°, qu'en projection verticale, la portion de surface qui correspond à l'arc vu (oxrs, v'x'r's") de la directrice, est vue, et que par conséquent les projections A’X', AR", des élémens (AX, A'X'), (AR, A'R°), qui passent par les points (x, x’), (r,r'), de l'arc (vxrs, v'x'r's"), sont vues;3°. qu'en projection horizontale, la portion de surface qui correspond àJ'arc caché (uvxr, u'v'x'r") de la directrice, est cachée ; et que les élémens (AV,/A!V, (AX, A’X"), qui sont sur cette portion de surface, et qui passent par conséquent par des points (v,.#"), (x, x!, de l'arc (uvxr, ww'x'r}, ont leurs projections horizontales AV, AX , cachées; 4°. enfin, qu'en projection verticale, la portion de surface qui correspond à l'arc (stuv, s'tu/v') dela directrice, est cachée ; et que les élémens (AU, AU”), (AT, AT, qui passent par des points de cet arc, ont par conséquent leurs projections verticales A'U', A"T’, cachées. |

189. Nous pouvons conclure de là cette règle Dénéhètent c'est Li ayant distingué sur une projection la partie vue de la directrice d’un cône de sa

CHAP. Il: DES SURFACES... CONIQUES... 6g

partie cachée , les élémens qui passent par des points vus de cette directrice

seront vus sur la:même projection, et ceux qui passent par des points cachés de la même directrice, aussi sur la même projection, seront cachés. Cela suppose bien entendu que les élémens et la directrice que l'on considère sont sur la même nappe du cône, et ilest d’ailleurs évident que ces élémens ne peuvent jamais être vus qu'au-dessus et en-decà des deux plans de projection.

190. Sachant reconnaître qu’un élément de la nappe qui contient la directrice est vu ou n’est pas vu, il est facile de savoir s'il est vu ou caché sur l’autre nappe; car il est évident que tout élément situé sur la partie vue d’une nappe, est sur la partie cachée de l’autre nappe : donc on doit ponctuer sur une nappe tout élément plein sur l’autre. C’est en suivant cette règle que l’on a dessiné les deux projections de la nappe supérieure du cône pris. pour exemple. 7

191. Il ne nous reste plus à déterminer que PA parties vues et cachées des traces d’un cône ; or, ilest évident que les élémens de ce même cône, s'ils sont vus, perceront les plans de projection suivant des points vus, et que, s'ils sont cachés , ils perceront les mêmes plans suivant des points cachés. Il suit de là que l’on doit marquer par une-ligne pleine l'arc RSTU de la trace RSTUVX, parce qu’elle correspond à des élémens (AS, AS"), (AT, AT"), dont les projections horizontales sont vues; et que l’on doit indiquer en points l’arc UV XR de la même trace, parce qu’elle correspond en projection horizontale à des élémens cachés (AV, AV”), (AX, A'X").

192. DES SURFACES DE RÉVOLUTION. Imaginons une ligne droite (AB, A'B”), située comme on voudra dans l’espace, et concevons qu’une courbe donnée (CD , CD’), tourne autour de cette droite, de manière que chaque point de la courbe (CD, CD"), décrive un cercle dont le centre soit sur (AB, AB’), et dont le plan soit perpendiculaire à cette droite. La courbe (CD, CD’) décrira dans son mouvement une surface particulière qui aura la droite (AB; A'B') pour directrice, la courbe (CD, C'D') pour génératrice, et qui sera ce qu’on appelle une sur race de révolution.

On donne à la droite directrice (AB, A'B’), le nom d’axe de révolution.

On peut dire, d’après cela, que les surfaces de révolution sont des surfaces telles, qu'en les coupant par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution , les sections sont. des cercles dont les centres sont distribués sur cet axe. |

Fig. 2:

PL

l'ig.-6,

Fig. 6.

Fig. 6

195. Pour représenter une surface de révolution , il faudra décrire un certain nombre de positions de sa génératrice; or, supposons qu'on demande celle que la courbe (CD, CD) occupait, lorsque les arcs décrits par ses différens points étaient de z degrés. Pour obtenir cette position, on abaissera de plusieurs points (M, M”), (N, N’), etc., de (CD, C'D'), des perpendiculaires à l'axe (AB, ÀA'B"); on déterminera les pieds de ces perpendiculaires ; on construira les distances de chaque point (M, M') (N, N'), etc., aux pieds correspondans, et ces distances seront les rayons des cercles décrits par les points (M, M}, (N, N’), etc. Par les points obtenus on élevera , perpendiculairement à l'axe, des droites qui fassent avec les rayons dont les longueurs auront été construites, l’angle de » degrés (*); on portera ensuite sur ces perpendiculaires , à à partir de (AB, A'B'), les longueurs des rayons correspondans (**), et les extrémités des longueurs portées seront des points de la position cherchée de la génératrice : en menant donc une ligne par ces points, on aura cette position.

Avec un axe (AB, A’B’), dont les projections se trouvent placées d’ane manière quelconque par rapport à la ligne de terre, ces constructions seraient d’une pratique très pénible : la simplification des données va obvier à cet inconvénient.

104. On choisit ordinairement les plans de projection de mianière que l'axe de révolution soit perpendiculaire au plan horizontal, alors il se trouve projeté sur ce plan suivant un point O , et verticalement suivañt une droite 0'0" perpendiculaire : à la ligne de terre ; ce qui, ainsi qu’on va le voir, rend toutes les opérations fort simples.

Soit (ABCDE, A'BCD'E), la génératrice d’une sarface de révolution dont (0, 0'0") soit l'axe; à chaque point (A, A”), (B, B”), (C, C”), etc., de (ABCDE, A'B'CD'E") , il correspondra un cercle (AVA"Q, V'Q"), (BXB'R, X'R, (CYC'S, YS'); etc., et l'ensemble de ces cercles composera la surface décrite par la génératrice (ABCDE, A'B'C'D'E'). Si l’on veut avoir une position de cette génératrice , celle qu’elle occupait, par exemple, DE QE A 0 NPA PRO OP R POUPEE EEE RS

(*) Ce problème d'élever par un point de Paxe (AB, A'B'), et perpendiculairement à

cetaxe, une droite qui fasse un angle donné avéc une perpendiculaire au mêmeaxe, connue et passant par le même point , sera facile à résoudre ,; et pourra si servir à exercer les com-

mençans- (*). Ceux qui résoudront le Decbie de la note précédente * pourr ont aussi s'exercer

sur ce second problème : Porter sur une ligne droite donnée , à partir dur point donné ,

une droite d’une longueur connue.